2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

220

интеграл от этого выражения по I2 при I1 = const — взаимная энергия

Итак, энергия магнитного поля двух проводников

Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре 2, а затем — в контуре 1, то результат должен быть тем же:

W W1 W2 W12 W1 W2 W21 W12 W21 M12 M21 .

Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).

3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля длинного прямого воздушного соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,

где N — число витков соленоида, l — его длина, S — площадь поперечного сечения,

так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.

Объёмная плотность энергии магнитного поля

Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.

w B2

2μ0

221

(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1,

см. 3.11.6).

Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V

В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля

3.11. Магнитное поле в веществе

3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность

Макротоки — упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.

Микротоки — движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.

Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:

B B0 B .

Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-

222

Таблица 27.1

Процесс намагничивания

Намагниченность — векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:

3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля

1. Теорема о циркуляции B

Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:

Здесь и далее в этом параграфе I — макроток, i — микроток70.

Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.

2. Теорема о циркуляции J

Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.

69На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.

70В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.

223

Рис. 27.1

Рассмотрим элемент контура L длиной l (РИС. 27.1Б). Центры микротоков, сцепленных с участком l, находятся внутри цилиндра длины l и площади основания, равной площади S микротоков. Основание этого цилиндра параллельно плоскостям микротоков и составляет угол α с участком l. Объём этого цилиндра

где n — концентрация магнетика — число микротоков (молекул), находящихся в веществе единичного объёма. Сумма микротоков, сцепленных с участком l,

— теорема о циркуляции намагниченности: циркуляция вектора намагничен-

ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцепленных с этим контуром.

— напряжённость магнитного поля — вспомогательная силовая характеристика магнитного поля.

224

Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром:

Напряжённость магнитного поля определяется только макротоками.

3.11.3. Связь магнитной индукции, намагниченности и напряжённости магнитного поля

В отсутствие магнетиков индукция магнитного поля макротоков

Магнитная индукция при наличии магнетика отличается от индукции магнитного поля при том же распределении макротоков в µ раз. Возможно µ 1 (см. РАЗДЕЛ

3.11.6).

3) Для ферромагнетиков зависимости B(H) и J(H) нелинейные (см. 3.11.9).

3.11.4. Условия на границе раздела двух магнетиков

Проанализируем, как изменяется магнитное поле при переходе из одной среды (магнетика) в другую.

Пусть имеются два изотропных магнетика (относительные магнитные проницаемости µ1 и µ2), граничащие друг с другом (РИС. 27.2). В среде с µ1 существует магнит-

ное поле с индукцией B1 и напряжённостью H1 . Макротоки на границе раздела

225

Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 27.2А). Магнитный поток

— нормальная составляющая вектора магнитной индукции не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.

— нормальная составляющая напряжённости магнитного поля претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.

3) Hτ

Воспользуемся теоремой о циркуляции H

Hdl I L .

L

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 27.2Б), а другая

мала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция H по контуру L

— тангенциальная составляющая напряжённости магнитного поля не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.

— тангенциальная составляющая магнитной индукции претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.

227

Лекция 28

3.11.5. Магнитный момент атома. Спин

Гиромагнитное отношение орбитальных моментов

Помимо момента импульса и магнитного момента, описывающих орбитальное движение, электрон обладает ещё и собственным моментом импульса и магнитным моментом — спином. Спин — квантовый релятивистский эффект, не объяснимый с точки зрения классической теории.

71 С точки зрения современных — квантовых — представлений данная картина некорректна. Тем не менее сейчас, работая в рамках классической физики, мы представляем электрон как материальную точку, движущуюся по определённой (а именно круговой) траектории. Даже из таких представлений мы получим результаты, согласующиеся с экспериментом.

228

µБ — магнетон Бора, ħ — постоянная Планка. Модуль собственного момента им-

Демонстрация: Ориентация парамагнитного и диамагнитного стержней в магнитном поле

3.11.7. Диамагнетизм

Рассмотрим атом (один электрон, обращающийся вокруг ядра), находящийся во

пульса L электрона направлены под углом α к вектору магнитной индукции

вследствие этого изменяется момент импульса электрона. Изменение момента импульса за время dt

dL Mdt ,

так как M = pmB sin α,

dL pmBsinα dt .

72 Формулы (28.5), (28.6), (28.7) — экспериментальные результаты, обоснованные квантовой реля-

тивистской теорией. Обратим внимание на то, что gs pms .

Ls

i dt L 2me

[здесь мы использовали гиромагнитное отношение орбитальных моментов (28.4)].L

При ларморовой прецессии атом приобретает добавочный магнитный момент

Получается, что все электроны в атомах вещества, магнитные моменты которых ориентированы беспорядочно, если поместить это вещество в магнитное поле, приобретут дополнительные магнитные моменты, направленные одинаково — против поля. Соответственно вещество намагнитится против внешнего магнитного поля. Этот эффект называется диамагнитным и присущ все веществам без исключения.

где Z — число электронов в атоме, n — концентрация атомов вещества; с учётом

(28.8)

щадь.

Найдём магнитную восприимчивость диамагнетика. Так как µ ≈ 1, B μ0 H ; для изотропных слабомагнитных веществ J χH ;