2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

— теорема Остроградского-Гаусса для поляризованности: поток поляризован-

ности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком.

Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

— теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.

— теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток век-

тора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

D — это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помогающая расчёту E .

в) Связь E и D

Формула (21.6) — определение.

Для изотропного диэлектрика58 (несегнетоэлектрика) P E , P ε0æE и

D ε0E ε0æE ε0 1 æ E .

58 Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости — величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов (см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрике

можно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса для E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остроград- ского-Гаусса для D .

171

У всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, у неполярных — меньше.

Для анизотропных диэлектриков D и E не параллельны. Диэлектрические свой-

ства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости

ПРИМЕР

Поле точечного заряда в однородном диэлектрике

Точечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 21.4). Найдём ряд векторных характеристик электрического поля, создаваемого этим зарядом.

172

Найдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)

Так как E E0 E , напряжённость электрического поля связанных зарядов

— поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов. Отношение

— диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз. Демонстрация: Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины

4. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Дивергенция

divE E

— скалярная функция векторного аргумента. В декартовых координатах

divE Ex Ey Ez ;x y z

в сферических координатах

Можно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме (21.4), (21.5), (21.7) следует теорема Остроградского–Гаусса в дифференциальной форме:

S

173

Расчёт объёмной плотности связанных зарядов (см. ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР)

Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядов в диэлектрике как функцию от расстояния r от заряда Q.

РАНЕЕ была получена зависимость поляризованности от r:

Рассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме Остроградского-

174

Лекция 22

3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)

5. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Проанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды (диэлектрика) в другую.

Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрические проницаемости ε1 и ε2), граничащие друг с другом (РИС. 22.1). В среде с ε1 существует

Рис. 22.1

Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 22.1А). Поток D

— нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.

2) En

Связь D и E в изотропном диэлектрике

D ε0εE ,

поэтому

— нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.

3) Eτ

Воспользуемся I уравнением Максвелла — условием потенциальности электростатического поля

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 22.1Б), а другая

— тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.

— тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.

3.3.4. Проводники в электростатическом поле

Свойства электростатического поля в проводниках59

1.Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю:

Eвнутри 0.

В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеются свободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрического поля.

Демонстрация: Клетка Фарадея

59 Следует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в проводниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.

176

2.Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности проводника:

Если Eτ ≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.

3. Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:

Демонстрация: Стекание заряда с острия 4. Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника):

Демонстрация: Распределение заряда на поверхности проводника

5.Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводника равна поверхностной плотности свободных зарядов:

177

так как заряд распределён только по поверхности проводника;

3.4. Электрическая ёмкость

3.4.1. Ёмкость уединённого проводника

Уединённый проводник — проводник, удалённый от других тел, так что влиянием их электрических полей можно пренебречь.

Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциал уединённого проводника при изменении его заряда. При увеличении заряда в n раз напряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см. ПРИМЕРЫ В РАЗДЕЛЕ

3.2.4).

Электрическая ёмкость уединённого проводника — характеристика провод-

ника, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

Ёмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойств среды, его окружающей.

ПРИМЕР

Ёмкость шара

Уединённый проводник — металлический шар радиуса R находится в вакууме (РИС. 22.5). Найти ёмкость проводника.

(см. ПРИМЕР 1 В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;

Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля:

178

— взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы, взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.

3.4.3. Конденсаторы

Конденсатор — система двух проводников, расположенных друг относительно друга так, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточено между этими проводниками — обкладками конденсатора. Модуль заряда каждой из обкладок

— заряд конденсатора.

Ёмкость конденсатора — характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками (напряжению на обкладках):

Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит от заряда, напряжения и т. п.

Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд, найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).

В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартные формулы60 для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даны

НИЖЕ.

60 Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполнено однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.

1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком

Имеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояние между обкладками — d, пространство между обкладками заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 22.7). Найти ёмкость конденсатора.

тора. Вне конденсатора поле отсутствует (это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшись результатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ), внутри конденсатора оно однородно;

DdS Dx Sторц , q S σSторц ,

S