2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

60

(здесь v1, v2 — модули скорости материальной точки соответственно в положениях

1 и 2).

Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки, входящей в эту систему,

В этом доказательстве мы не делали никаких различий между внешними и внутренними силами и их работами, поэтому подразумевается, что A = Ae + Ai.

1.8.4. Потенциальная энергия материальной точки

Поле (в математике) — величина как функция радиуса-вектора (или координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие на которую описывается этой силой, значит задать силовое поле.

Поле в физике — физический объект (см. РАЗДЕЛ 0.1 и, более подробно, 3.1.1).

Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещении материальной точки по любой замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, циркуляция силы по произвольному замкнутому контуру равна нулю):

В этом случае работа поля по перемещению материальной точки не зависит от формы её траектории, а зависит только от начального и конечного положения точки.

Доказательство

Изменением потенциальной энергии материальной точки при перемещении точки из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля, совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:

Потенциальная энергия материальной точки — работа потенциального поля по перемещению материальной точки в данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком:

61

Физический смысл имеет изменение потенциальной энергии. Сама же по себе потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. При ответе на вопрос, чему равна потенциальная энергия, нужно обязательно указывать, где выбрано начало её отсчёта (нулевой уровень).

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Видно, что работа силы трения зависит от длины траектории, соединяющей начальную и конечную точки, следовательно, сила трения не является потенциальной.

2. Работа силы упругости

Пусть пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x1 до де-

полная работа при растягивании пружины от x1 до x2

Эта работа не зависит от того, каким образом пружина переходит от деформации x1 к деформации x2, значит, сила упругости потенциальна. Изменение потенциальной энергии

Wп12 A kx222 kx212 .

62

Положим начало отсчёта потенциальной энергии в положении недеформированной пружины: Wп(0) = 0; при этом потенциальная энергия деформированной пружины

где h1 — высота точки 1 над нулевым уровнем, h2 — высота точки 2. Эта работа не зависит от формы траектории l, а определяется только высотой начального и конечного положений материальной точки массой m, следовательно, сила тяжести потенциальна. Аналогично, любое однородное поле будет потенциальным.

Положим начало отсчёта потенциальной энергии на нулевом уровне: Wп = 0 при h = 0, тогда потенциальная энергия тела массы m в однородном гравитационном поле (поле тяжести)

центральной силы F (силовой центр — точка

O) от точки 1 к точке 2 по траектории l (РИС. 6.9).Работа силы F

28 Это выражение не является определением потенциальной энергии, как ошибочно полагают многие студенты.

63

Эта величина может зависеть только от r1 и r2, поэтому центральное поле потенциально. Потенциальная энергия

Частный случай

Гравитационное поле (см. РАЗДЕЛ 1.4.5)

Пусть материальная точка массы m находится в гравитационном поле тела массы M на расстоянии

r от его центра масс (РИС. 6.10). По закону всемир- M  m ного тяготения

G — гравитационная постоянная. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Согласно (6.2),

1.8.5. Связь силы и потенциальной энергии. Градиент

Направление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции. Из II закона Ньютона

64

(здесь a — ускорение материальной точки, m — её масса). Материальная точка ускоряется в направлении, противоположном градиенту потенциальной энергии.

В точках, где grad Wп = 0, a 0 и материальная точка находится в положении равновесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии.

ПРИМЕР

Дана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором поле от декартовых координат: Wп = axyz, где a — постоянная. Найти силу, с которой поле действует на материальную точку, как функцию координат.

Видно, что F 0 в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат — там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0).

1.8.6. Потенциальная энергия механической системы

Если механическая система находится во внешних потенциальных полях и/или взаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными силами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией. По-

тенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внутрен-

них потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы — это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в эту систему):

ПРИМЕР

Потенциальная энергия системы двух гравитирующих тел

Рассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r (РИС. 6.10). Найти потенциальную энергию системы.

Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила — внутренняя и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при удалении тела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потенциальной энергии системы

здесь G — гравитационная постоянная.

65

Лекция 7

1.8.7. Закон сохранения и изменения механической энергии

Рассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпевают внешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенциальными силами, и конфигурация системы изменяется. Изменение кинетической энергии системы (см. РАЗДЕЛ 1.8.3) равно сумме работ внешних и внутренних сил:

где Ae п — сумма работ внешних потенциальных сил, Ai нп — сумма работ внутренних непотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую часть этого равенства:

В левой части равенства (7.1) стоит сумма изменений кинетической и потенциальной энергии системы. Введём величину

— механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергии. Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механической энергии системы. Т. е.

WAe нп Ai нп

—закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не из-

меняется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени).

Консервативные силы — потенциальные силы и непотенциальные силы, работы которых равна нулю.

Диссипативные силы — непотенциальные силы, работа которых меньше нуля.

При наличии взаимодействий, описываемых диссипативными силами, происходит диссипация энергии — переход механической энергии в другие виды энергии.

Демонстрации: 1) Маятник Максвелла 2) «Мёртвая петля»

1.9. Удар

1.9.1. Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар — удар, после которого соударяющиеся тела движутся как единое целое.

При неупругом ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется, а механическая энергия — нет. Происходит диссипация энергии.

Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. (Централь-

ное соударение — соударение, перед которым центры шаров движутся по прямой,

66

m1 m2

В этой формуле содержится информация о модуле и о направлении скоростей шаров; u ux .

Найдём долю η механической энергии, перешедшей во внутреннюю при ударе:

Если до соударения шары двигались в одну сторону, то v1x = v1, v2x = v2 и

67

1.9.2. Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар — удар, при котором соударяющиеся тела испытывают упругую деформацию.

При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс, и механическая энергия системы соударяющихся тел.

Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух шаров. Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения — соответственно v1 и v2 (РИС. 7.2).

Рис. 7.2

Решим эту систему самым быстрым способом:

затем разделим нижнее уравнение на верхнее и исключим u2x:

68

Частные случаи

Цель данного параграфа — обобщение материала, касающегося механики точки (поступательного движения твёрдого тела) и вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси, который отрабатывается на практических занятиях в I семестре.

1.10.1. Сравнение физических величин и законов поступательного и вращательного движения

69

Таблица 7.1 (продолжение)

1.10.2. Методы решения задач по механике

Методы решения задач