2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

30

ный вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений

1.4.4. Центр масс механической системы

Внешние силы — силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы

Внутренние силы — силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную

Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует

14 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.

31

Нахождение центра масс системы двух материальных точек

Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?

риальной точкой массы m1; тогда координата точки массой m2 равна l. Из формулы (3.1) получим

Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,

Доказательство

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки

32

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-

1.4.5. Некоторые силы15

1. Гравитационная сила

Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки16 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки массой m1

(РИС. 3.6):

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Сила тяжести — гравитационная сила вблизи поверхности Земли

Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)

Fg Fт G mMR3 r ,

15В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.

16В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r —

это расстояние между центрами масс тел.

вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно (т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи поверхности Земли, движутся с ускорением g .

2. Сила упругости

Упругая деформация — деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.

Линейная деформация подчиняется закону Гука:

кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации —– пытается восстановить форму.

На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить

Рис. 3.8

(На РИС. 3.8 m — масса груза, 0 — положение недеформированной пружины.)

Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения — вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.

Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю равен

Природа упругости — в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.

17 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-

вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте Москвы g = 9,8156 м/с2.

34

Демонстрация: Динамометры

3. Сила сухого трения

Сила трения — составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обуслов-

лено неупругими деформациями тел.

Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в РАЗ-

ДЕЛЕ 2.9.2).

Закон сухого трения (закон Кулона):

— максимальное значение модуля силы трения — сила трения скольжения, N — модуль силы реакции опоры, µ — коэффициент трения — безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.

РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить и

Fтр = Fтр max = µN.

Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.

1.4.6. Кинематические связи

Кинематическая связь — ограничение, накладываемое на движение тела.

1. Координатная связь

Координатная связь — ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.

ПРИМЕР

Тело скользит по горизонтальному рельсу.

Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):

35

2. Нить

При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.

а) Невесомая нить

Во всех точках натянутой нити модуль силы натяжения одинаков:

Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:

Модуль скорости всех точек натянутой нити одинаков:

0

Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:

aτ2 aτ1 .

1.4.7. План решения задач по динамике18

1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)

18 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи.

36

2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев — лабораторная)

3.Рисунок (или несколько рисунков)

4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:

сил, ускорений и т. д.

5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме

6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)

7.Запись закона в проекциях на оси системы координат

8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)

9.Решение полученной системы уравнений в общем виде

10.Анализ результата и проверка размерностей19

11.Численный расчёт и оценка его результата

В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела — импульс материальной

точки

импульса материальной точки равно импульсу силы.

По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:

P pi .

Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.

Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ. 19 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.

Доказательство

Исходя из определения импульса механической системы,

Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:

— закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-

стемы остаётся неизменным с течением времени.

На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств про- странства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).

Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.

20 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.

38

Лекция 4

1.5. Динамика твёрдого тела

1.5.1. Момент силы

Момент силы21 — векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.

1. Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки:

вектор22 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.

Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z — ось, отно-

сительно которой рассчитывается момент силы; k — орт этой оси; A — точка при-

ложения силы F ; плоскость xy — плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O — точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точке

приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в точку приложения силы; F xy — проекция вектора силы на плоскость xy; M rF sin r,F xy

.

Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r — это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.

21Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.

22В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как ска-

лярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.

39

z

D

h

O A

xy

Рис. 4.2

Плечо силы — это скалярная величина — кратчайшее расстояние от оси до линии

1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

ренних сил, приложенных к нему же.

Преобразуем векторное произведение в левой части уравнения (4.3), используя выражение для ускорения материальной точки (2.5)