Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

200

B 2πr μ0I

	μ	I
	0

	2πr

Этот результат был нами получен РАНЕЕ по методу суперпозиций.

2) Расчёт индукции магнитного поля длинного прямого соленоида с током

По бесконечно длинному соленоиду с плотностью намотки n идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля внутри соленоида.

По принципу суперпозиции поле соленоида складывается из полей бесконечного числа витков. Внутри соленоида суммарная магнитная индукция будет направлена вдоль его оси (РИС. 24.9), более того, поле

B будет однородно, а вне соленоида поля витков будут скомпенсированы и результирующая магнитная индукция равна нулю (студенты должны показать это самостоятельно).

Применим теорему о циркуляции B

	Bdl μ0	I	L	.
	Bdl μ0	I		.
L

	L
4	3
	3
I
1	2

Рис. 24.9

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна из сторон (1-2) которого параллельна оси соленоида и лежит внутри него, противолежащая ей (3-4) — вне соленоида, а две другие (2-3 и 4-1) перпендикулярны оси соленоида

(РИС. 24.9). Циркуляция B по контуру L

Bdl 2 Bdl 3 Bdl 4 Bdl 1 Bdl 2 Bdlcos0

l12 — длина прямоугольника L. Сцепленный с контуром L ток

		12
I	L	nl
	L

3	Bdlcos	π		1	Bdlcos	π	B	2	dl Bl	,
	Bdlcos	2			Bdlcos	2	B		dl Bl	,
									12
2				4				1
			0				0
I	,

nl12 — число витков, приходящееся на отрезок соленоида длиной l12. Получим

Bl	μ nl		I
12	0	12

μ0nI

(24.3)

Как и должно быть, магнитная индукция на зависит от l12 — параметра произвольного контура интегрирования. Магнитная индукция также не зависит от формы и размеров поперечного сечения соленоида.

Полученный результат был достигнут нами РАНЕЕ с использованием метода суперпозиций.

3) Расчёт индукции магнитного поля тороида с током

Тороид — геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры.

Имеется тороид, внутренний радиус которого равен R1, внешний радиус — R2, с обмоткой из N витков, по которым идёт ток I (РИС. 24.10). Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от оси тороида.

Магнитное поле тороида является суперпозицией магнитных полей его витков. Поэтому вне тороида (при r < R1 и r > R2) B = 0. Внутри же тороида вектор магнитной

201

индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида в точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть только

от r. Применим теорему о циркуляции

Bdl

B
	0
	μ	I	L
			L

Выберем контур интегрирования L в виде окружности

радиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция B по контуру L

	Bdl		Bdlcos0		B		dl B		2πr .
	Bdl		Bdlcos0		B		dl B		2πr .
L		L				L
Сцепленный с контуром L ток
			I	L	NI .
				L
Получим
	B 2πr μ0NI				B			μ NI
	B 2πr μ0NI				B			0
								0
								2πr

при R1 < r < R2.

График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.

	O	R1
A	r	R2
A

Рис. 24.10

Рис. 24.11

Предельный случай

При R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)

		B	μ NI	μ0nI ,
		B	0	μ0nI ,
			0
			2πR
где n	N	— плотность намотки тороида. Формула
где n	2πR	— плотность намотки тороида. Формула
	2πR

дукцией магнитного поля длинного соленоида.

(24.4)

(24.4) совпадает с (24.3) — ин-

202

Лекция 25

3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции

Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции: поток вектора маг-

нитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

BdS

Поток вектора магнитной индукции

Φ BdS S

— магнитный поток

; [Φ] = Вб (вебер).

Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.

Доказательство

S1	Пусть на контур L натянуты две	поверхности S1 и S2
S1	L (РИС. 25.1). Составная поверхность S1	+ S2 — замкнутая. По
	L (РИС. 25.1). Составная поверхность S1	+ S2 — замкнутая. По
	теореме Остроградского-Гаусса для B

Рис. 25.1

		BdS 0.
		BdS 0.
S	S	2
1		2

При вычислении потока по замкнутой поверхности внешняя нормаль. Поэтому

		BdS			BdS1
		BdS			BdS1			BdS2 .
S	S	2	S	1		S	2
1		2		1			2

—

При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление

нормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали

dS2		. Из этого следует, что
	будут направлены в одну сторону; dS2 dS2

dS1

BdS1 BdS2 0		BdS1	BdS2 , ч. т. д.
S1	S2	S1	S2

ПРИМЕР

Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу

S′ α R

Рис. 25.2

Найдём поток однородного магнитного поля с индук-

цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силовые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).

Полусфера S натянута на окружность радиуса R с центром в центре полусферы — точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:

Φ Φ BdS BdS cosα Bcosα dS

S S S

BS cosα πR2Bcosα.

203

3.7.4. Векторный потенциал

Ротор — векторная функция векторного аргумента — векторное произведение оператора векторного дифференцирования на векторную функцию:

	rot B			,B		.
	rot B			,B


В декартовых координатах
		i		j		k
rot B
rot B		x		y		z
		x		y		z
		B	x	B	y	B	z
			x		y		z

Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору. Из теоремы о циркуляции B в интегральной форме

	0
	Bdl μ		jdS
L		S
( j — плотность тока) следует, что

	rot B μ		j
		0

(25.1)

— теорема о циркуляции магнитной индукции в дифференциальной форме.

Векторный потенциал

стика магнитного поля —

A — векторная величина — энергетическая характеритакая, что

	rot A B	,
		,
причём

	div A 0	;
		;
[A] = Тл·м.

(25.2)

Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции

rot rot A μ0 j .

(25.1):

Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения:

rotrot A

В декартовых координатах:

A A

2 A μ j .

2 A

μ j

μ0 jy ,

2 A

μ j

0 z

	2	A ,
	2

(25.3)

204

Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.

Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля:

E E

(напоминаем, что φ—потенциал,

φ,			ρ
	ρ	2φ

			ε0
	ε

	0

ρ — объёмная плотность заряда).

Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля:

	icφ
		A

A		x
	A
			y


		A

		z

— 4-потенциал.

Методы расчёта магнитной индукции

метод суперпозиций

теорема о циркуляции

через

3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды

3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле

Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд

q, движущийся со скоростью

, с силой

F q vB
2

— сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).

Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.

ПРИМЕР

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью

в область простран-

ства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС. 25.3). Угол

между v и Запишем II

B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?
закон Ньютона для данной частицы
ma F2 ,	(25.4)

где F2 q vB . Сила F2 и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проекциях.

205


		O R
	α
	m, q
		m, q
	а	б
	Рис. 25.3
Сила F2	перпендикулярна скорости частицы,	так же направлено и ускорение, т. е.

a = an — нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)

— по окружности.

Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:

man

qvBsinα

По известной формуле кинематики (2.3)

тории;

m R qv B

	v	2
a	v
a
n	R
	R

, где v = v sin α, R — радиус траек-

mv

qB	.

Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка

3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током

		Рассмотрим участок проводника длиной dl, находя-
		щийся в магнитном поле с индукцией B , по которому
		идёт ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем
q		считать, что в проводнике движутся положительно за-
q	I	ряженные частицы), скорость их упорядоченного дви-
		ряженные частицы), скорость их упорядоченного дви-

жения — v . На каждый носитель магнитное поле действует с силой F2 q vB . Всего на данном участке про-

Рис. 25.4 водника находится dN носителей заряда, их общий заряд

dQ q dN .

Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды, dFА F2dN q vB dN dQ vB .

206

Представим

dl; направим

v dl

	dl	(dt — время, за которое носитель заряда проходит расстояние
	dt	(dt — время, за которое носитель заряда проходит расстояние
	dt

в сторону упорядоченного движения зарядов), тогда

так как

dFА

I	dQ	.
	dt

	dl
	dQ	dt


B

dQ
	dl,B
dt

I dl,B

Закон Ампера:

где dFА с током.

dF	I	dl,B	,

А

— сила Ампера — сила, с которой магнитное поле действует на проводник

ПРИМЕР

Взаимодействие прямых проводов с токами

Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими в одну сторону (РИС. 25.5А). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.

Направление индукции магнитного поля B1		провода с током I1 в точках, через ко-
торые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля B2 провода с током
I2 в точках, через которые проходит провод с током I1;			dF21 — сила, с которой поле
провода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF12			— сила, с которой поле про-
вода с током I2 действует на элемент тока dl1		показаны на РИС. 25.5А.
I1	I2	I1	I2



d		d
а		б
	Рис. 25.5

По закону Ампера

207

dF12	I	2	dl		,B	,
		2		2	1

dF21	I		dl		,B
		1		1	2
		1		1	2

dF		I	B dl		,
	12	2	1	2
		I	B dl .
dF
	21	1	2	1

Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B1	μ	I	, B2	μ	I
	0	1		0		2

	2πd			2πd

При l1 = l2 = 1

F12 F21 μ20πdI1I2 .

При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправленных токах I1, I2 (РИС. 25.5Б) провода отталкиваются (формула для модуля силы взаимодействия проводов будет той же).

Демонстрация: Взаимодействие прямых токов

3.8.3. Рамка с током в магнитном поле

Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с ин-

дукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнитной индукции (РИС. 25.6А). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет — рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции.

	4	I
	4	3			α
		3			α
		α				3
						3
					α I

1		α		2
z		2
	а				б
			Рис. 25.6
Найдём момент сил Ампера — момент пары сил F12				и F34	. Пусть ось, перпендику-

лярная линиям магнитной индукции — ось z проходит через сторону 12. Единственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила

F34 . Её момент

M M34 l23F34 ;

M34 l23F34 sinα l23IBl34 sinα IBS sinα ,

где S = l23l34 — площадь рамки;

			208

	M p					B	,	(25.5)
					m		,	(25.5)

где

		p		ISn
		m

— магнитный момент рамки — характеристика замкнутого проводника (контура) с током (n — нормаль к поверхности рамки);

[pm] = А·м2.

Вектор магнитного момента показан на РИС. 25.6Б — вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта.

Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции.

Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле

2)«Сознательные» катушки

3.8.4.Работа силы Ампера

1. Энергия рамки с током в магнитном поле

Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совершить работу

		δA	*	*	dα Mdα Mdα pmBsinαdα ,
		δA		M	dα Mdα Mdα pmBsinαdα ,
здесь M	*	M — момент внешних сил, вектор углового перемещения dα				обозна-
здесь M		M — момент внешних сил, вектор углового перемещения dα				обозна-

чено на РИС. 25.6Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против часовой стрелки; M pmBsinα по формуле (25.5).

Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα

Энергия контура

δA*

pmBsinαdα

		m
		p Bsinαdα

pmBcosα const

Положим константу в этой формуле равной нулю; получим

	W p B	,
	m
W pmBcosα .

График зависимости W(α) представлен на РИС. 25.7.

α = 0 — устойчивое равновесие; α = π — неустойчивое равновесие.

π α

Рис. 25.7

209

Лекция 26

3.8.4. Работа силы Ампера (продолжение)

2. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле

Пусть прямолинейный проводник длиной l, по которому идёт ток I, движется в однородном магнитном поле. Магнитное поле дей-

ствует на проводник с силой Ампера F I	l,B	. Работу будет совер-

шать составляющая этой силы, лежащая в плоскости перемещения проводника,

F IlB ,

где B — компонента вектора магнитной индукции, перпендикулярная плоскости движения проводника (РИС. 26.1).

Рис. 26.1

Работа магнитного поля по перемещению проводника на малое расстояние dx (со-

ответствующее перемещению dr δA F dr

)

F dx IlB		dx IB dS

IdΦ

здесь dS — площадь поверхности, ометаемой проводником при малом перемещении dx (заштрихованная область на РИС. 26.1), dΦ — магнитный поток сквозь эту поверхность.

При перемещении проводника из положения 1 в положение 2

2 IdΦ

При I = const

A IΔΦ

(26.1)

Это выражение мощно обобщить на случай проводника произвольной формы.

В РАЗДЕЛЕ 3.8.1 мы пояснили, что сила Лоренца не совершает работы. Почему же совершает работу сила Ампера, которая есть суперпозиция сил Лоренца, с которыми магнитное поле действует на отдельные носители заряда в проводнике? На самом деле работу совершает не магнитное поле, а источник тока.

3. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле

Пусть имеется замкнутый проводник с током I, находящийся в магнитном поле. Проводник перемещается из положения 12 в положение 1′2′ (РИС. 26.2). Найдём работу магнитного поля по перемещению двух половин этого контура – 12 и 21 по формуле (26.1):

A A	A	I Φ Φ		I Φ	Φ
12	21	1	0	2	0
		I Φ	Φ	,
		2	1

где Φ1 — магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром 12, Φ2 — контуром 1′2′, Φ0 — контуром 11′2′2 (РИС. 26.2);

A IΔΦ ,

1			1′

Φ1	I	Φ0	I
Φ1		Φ0	Φ2

2′

Рис. 26.2

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf