Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4019 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

180

σ — поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки,

σQ S

Заметим, что легко найти поток D мы можем благодаря тому, что пластины считаются большими, т. е. практически бесконечными — мы пренебрегаем краевыми эф-

фектами. Получим

Dx σ	Q	.
	S

Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь D

D ε	εE
0

	D		Q
	x
	x
	ε ε		ε εS
	0		0

Затем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:

φ 0 φ d

U φ

ε εS

Наконец, по определению ёмкости (22.5)

ε εS

— формула, приведённая в ТАБЛ. 22.1. Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор

2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)

Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладками ε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.

				Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУ-
		τ		ЩЕМУ ПРИМЕРУ. Зарядим обкладки линей-
		τ	–τ	ными плотностями τ				(внутреннюю об-
			–τ	ными плотностями τ				(внутреннюю об-
	R1	R2		кладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так как
				кладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так как
				между	обкладками		нет диэлектрика,
				между	обкладками		нет диэлектрика,
h	r			можно обойтись без		D		. Теорема Остро-
				можно обойтись без				. Теорема Остро-

				градского-Гаусса для E
		A		градского-Гаусса для E
		A				q S
					EdS				.

							ε0
					S		ε0
		S		Поверхность интегрирования S выберем в
				Поверхность интегрирования S выберем в
	Рис. 22.8			виде цилиндра, коаксиального (соосного)
	Рис. 22.8			кабелю,	произвольной			высоты h, много

меньшей длины кабеля, радиуса r, где r — расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле. Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.

Поток E

EdS Er 2πrh,

181

заряд, охваченный поверхностью S, НИТИ). Получим

q	τh
S

(см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙ

Er 2πrh	τh	Er	τ	.
Er 2πrh	ε	Er	2πε r	.
	ε		2πε r
	0		0

Напряжение на обкладках конденсатора

U φ

φ R

E dr

2πε

Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,

C		τ	2πε
C		U		0
				0
	1		ln	R
	1
				2
				2
				R
				1

3) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком

Имеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равен R1, радиус внешней обкладки — R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I на РИС. 22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.

					Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладка
					имеет заряд Q, а внешняя обкладка — заряд –Q. Элек-
ε2 ε1				–Q	трическое поле существует только в пространстве
				–Q	между обкладками (R1 < r < R2). Применим теорему

		O r R1
	Q	O r R1			Остроградского-Гаусса для D
I			R2		DdS q .
		R0	R2			S
						S
					S
					S
II					Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,
					концентричной конденсатору. Поток D
	Рис. 22.9				DdS Dr 4πr2 ,
	Рис. 22.9				S

охваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,

D	4πr	2	Q

r

Dr 4πrQ 2 .

Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением

D ε εE E

, E

ε ε

4πε ε r2

IIr

ε ε

4πε ε r2

Напряжение на обкладках конденсатора

182

											R							R						R									R		Q				dr		R	Q		dr
												1						0							1								0		Q				dr		1	Q		dr
												1						0							1								0								1
U φ	φ	φ R		φ R									E		dr				E	IIr	dr					E		Ir	dr											2					2
			1		2									r						IIr								Ir						4πε ε					r	2		4πε	ε	r	2
											R							R						R									R	4πε ε					r		R	4πε	ε	r
											R							R						R									R			0	2				R	0	1
												2						2							0								2								0
							R							R
				Q	1			0				1			1			Q				1						1					1				1
				Q	1							1						Q				1						1					1				1
			4πε		ε r					ε r							4πε				ε R						ε R					ε R				ε R
			4πε		ε r			2		ε r					0		4πε				ε R						ε R					ε R				ε R
				0	2			2				1			0				0			2	0					2		2		1		1		1		0
				0	2		R					1		R					0			2	0					2		2		1		1		1		0
								Q				ε R R ε R R ε R R ε R R																							.
													1	1		2	1		0	1			2		0			2			2	1		2	.
													1	1		2	1		0	1			2		0			2			2	1		2
						4πε												ε ε R R R
									0										1	2		0	1		2
Ёмкость конденсатора
					C			Q									4πε ε ε R R R																		.
					C														0		1	2	0			1		2							.
																			0		1	2	0			1		2
								U				ε		R R ε R R ε R R ε R R
													1		1	2		1	0	1			2			0		2			2	1		2

При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.

183

Лекция 23

3.4.4. Способы соединения конденсаторов

1. Последовательное соединение

Последовательное соединение конденсаторов — соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденсато-

ров, соединённых последовательно. Заряд каждого кон-

денсатора равен заряду всей батареи, так как все об-

Рис. 23.1

кладки кроме крайних (левая обкладка конденсатора С1

и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:

Q Q		Q
1	2	i

Напряжение на i-м конденсаторе

Ui Qi . Ci

Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:

		i						Q
U		i						i
U			U					i
								C
								i
Ёмкость батареи
C	Q			1
C	U					1
	U					1
					C
					C
							i

2. Параллельное соединение

Q			1		.
Q		C			.
		C
			i

1	N		1
	N
C			C
C	i 1		C	i
	i 1			i

Рис. 23.2

Параллельное соединение конденсаторов — соединение, при котором конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединённых параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:

U1 U2

UN U .

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:

		Q Qi CiUi U Ci .
Ёмкость батареи
	Q
	Q		N
			N
C	U	Ci ,	C Ci	.
	U		i 1

Нужно соблюдать правила построения электрических схем!

184

3.5. Энергия электростатического поля

3.5.1. Энергия заряженного конденсатора

Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силами совершается работа

*				q		.
δA dq			Udq		dq
	φ	φ		C

Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q

	Q	qdq	Q	2
*		qdq	Q
A		C	2C		.
A					.
	0
	0

Так как работа — мера изменения энергии, W = A*,

	Q	2	CU	2	QU
W
	2C		2		2

(по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора

q –q dq

Рис. 23.3

3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля

Q –Q

Рис. 23.4

Рассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС. 23.4); заряд конденсатора равен Q, площадь обкладок — S, расстояние между обкладками — d, конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле

внутри конденсатора однородно, его напряжённость равна			E . Ём-
	ε εS
кость этого конденсатора C	0	, а напряжение между обкладками
кость этого конденсатора C	d	, а напряжение между обкладками
	d

(по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энергия конденсатора

W	CU2	ε0εS	2 2	ε0εE2V	,	(23.1)
	2	2d	E d	2

где V = Sd — объём конденсатора.

Объёмная плотность энергии электрического поля — энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёме

	w	W
	w	V
		V

для однородного поля,

w dWdV ;

(23.2)

w Джм3 .

для неоднородного поля.

В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε

185

	ε εE	2
w	ε εE
w	0
	0
	2

Доказательство

Пусть в пространстве существует электростатиче-									φ + dφ
ское поле. Разобьём пространство, на плоские кон-									φ + dφ
ское поле. Разобьём пространство, на плоские кон-									φ
денсаторы: вдоль любой пары близко расположен-									φ
денсаторы: вдоль любой пары близко расположен-
ных друг к другу эквипотенциальных поверхно-
стей можно мысленно разместить тонкие провод-
ники, которые служат обкладками плоского кон-
денсатора (РИС. 23.5) (при этом поле не исказится,
так как проводник в электростатическом поле эк-
випотенциален). По формулам (23.1) и (23.2) объ-									Рис. 23.5
ёмная плотность энергии									Рис. 23.5
ёмная плотность энергии
	W			ε εE		2
w	W			ε εE		, ч. т. д.
w				0		, ч. т. д.
				0
	V				2
Так как в изотропной среде D ε0εE ,
w		ε εE E					DE	.
w		0						.
		0
				2			2
Выражение объёмной плотности энергии электрического поля

			w		DE
			w		2
					2

справедливо для любой среды.

Согласно определению объёмной плотности, энергия электрического поля в объёме V

	W		wdV		DE dV	.
					2
		V		V
ПРИМЕР
Энергия электрического поля заряженной сферы
По сфере радиуса R, находящейся в безграничном
однородном диэлектрике относительной диэлек-								I
трической проницаемостью ε, равномерно распре-								II
делён заряд Q (РИС. 23.6). Найти энергию электриче-								II
делён заряд Q (РИС. 23.6). Найти энергию электриче-							Q
ского поля в сферическом слое, внутренний радиус							Q
ского поля в сферическом слое, внутренний радиус							O	R
которого равен r1, а внешний — r2 (r1, r2 > R), кон-							O	R
которого равен r1, а внешний — r2 (r1, r2 > R), кон-							ε
центричном заряженной сфере, и энергию электри-							ε
центричном заряженной сфере, и энергию электри-
ческого поля во всём пространстве.								r
Сначала нужно найти напряжённость электриче-
ского поля. Аналогичная задача (при ε = 1) была ре-
шена нами ранее (см. ПРИМЕР 1 В РАЗДЕЛЕ 3.2.3). Вос-								dr

	пользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса	Рис. 23.6
	для D и связью D и E в изотропном диэлектрике,	Рис. 23.6
	для D и связью D и E в изотропном диэлектрике,
	получим, что при r > R (область I на РИС. 23.6)

EIr

при r < R (область II) EIIr = 0.

186

		Q
		4πε εr	2
			2

		0

В области I объёмная плотность энергии электрического поля

w	r	ε εE
w	r	0
		0
I		2
		2

2	ε εQ		2
Ir	ε εQ
	0
	0
	2	ε	2	2	4
	2 16π	ε		ε r
		0

Q		2
Q
2	ε εr		4
2			4
32π
		0

Разобьём пространство вне заряженной сферы на бесконечно тонкие сферические слои, концентричные заряженной сфере. Энергия электрического поля в слое радиуса r и толщины dr

					Q			2									2
dW w		(r)dV			Q							2				Q dr
dW w		(r)dV			2					4	4πr		dr						2
	I				2		ε εr			4					8πε εr				2
				32π			ε εr								8πε εr
								0			2						0
											2
Энергия поля в сферическом слое радиусами r1 и r2
r		2				2				r				2
2		2			Q	2			1	2			Q	2		1		1
W	Q dr				Q				1				Q			1		1
W	8πε εr		2		8πε ε r							8πε ε				r		r
r	8πε εr				8πε ε r					r		8πε ε				r		r
r		0					0			r				0		1		2
1										1

Энергия поля во всём пространстве

		2		Q	2
0		Q dr	2	Q
W		8πε εr		8πε		εR
	R	8πε εr		8πε		εR
	R	0		0

(внутри заряженной сферы поля нет).

Заметим, что энергия поля всегда положительна вне зависимости от знака заряда.

3.6. Электрический ток

3.6.1. Электрический ток. Сторонние силы

Если в проводнике (на каком-либо его участке) существует непостоянное электри-

ческое поле, то напряжённость поля внутри проводника трический ток.

E 0

и имеет место элек-

Направление тока — направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц.

Сила тока61 — скалярная алгебраическая величина — характеристика тока, равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единичный промежуток времени:

I dqdt ; [I] = А,

ампер — одна из основных единиц СИ.

Знак силы тока определяется тем, совпадает ли направление движения положительных зарядов с выбранным положительным направлением обхода проводящего контура (см. НИЖЕ).

61 Эту величину в электротехнике называют током.

187

Плотность тока — векторная характеристика тока, по модулю равная заряду, проходящему в единичный промежуток времени через единичный участок поперечного сечения проводника, а по направлению совпадающая с направлением движения положительных зарядов (РИС. 18.1)62:

dSdI n ;

		А
		2 .
		2 .
		м

Почему возникает электрический ток? На некотором участке проводника происходит разделение зарядов. Такое разделение не может произойти под действием кулоновского (электростатического) поля; под действием кулоновского поля разделение зарядов, наоборот, исчезает. Разделение зарядов происходит под действием электромагнитных (неэлектростатических) полей; эти поля называют сторон-

ними силами63.

I уравнение Максвелла:

при

Edl		B	dS
Edl		t	dS
L	S	t
L	S
Edl 0
L
		A	,

	Edl	q
	L	q
	L	0

;

здесь A — работа электрического поля по перемещению пробного заряда q0 по замкнутому контуру L. Представим напряжённость электрического поля в проводнике как

E E	кул	E	стор

(23.3)

— сумму напряжённостей кулоновского и неэлектростатического полей;

Edl E		кул	E	стор	dl
Edl E			E		dl
L	L

E	кул
E	dl
L

E	стор	dl	B	dS
			t
L		S

0	1 +	– 2
Теперь рассмотрим незамкнутый контур 1-2, лежащий в	1 +	– 2
проводнике (РИС. 23.7). Интеграл по этому контуру

кул

стор

кул

стор

Edl E

dl E

стор

dl;

Рис. 23.7

E12 Eсторdl

62РИСУНОК 18.1 следует нарисовать заново.

63Здесь и далее мы сталкиваемся с исторически сложившейся, но не очень удачной терминологией: сторонние силы — это не силы, а поля, т. е. физические объекты; ЭДС — это не силовая, а энергети-

ческая характеристика поля.

188

— электродвижущая сила (ЭДС) — энергетическая характеристика электромагнитного поля (поля сторонних сил), равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из начала в конец проводника;

3.6.2. Закон Ома

Большинство проводников подчиняется закону Ома. Экспериментальный64 закон

Ома в дифференциальной форме:

j σE

(23.4)

где σ — удельная электропроводность вещества. Закон Ома справедлив для ве-

ществ, в которых концентрация носителей заряда остаётся неизменной.

Удельное электрическое сопротивление вещества

	ρ		1	;
			σ
См		, [ρ] = Ом·м.
м		, [ρ] = Ом·м.
м

Подставим напряжённость электрического поля в виде (23.3) в закон Ома в форме

(23.4), затем умножим скалярно на элемент контура

j σ	E	кул	E	стор	,

					E	кул	dl	E	стор	dl
jdl σE	кул	dl σE	стор	dl	E		dl	E		dl
jdl σE		dl σE		dl		ρ			ρ
						ρ			ρ

Умножим это выражение на ρ и проинтегрируем по контуру 1-2 (РИС. 23.7):

кул

стор

ρ jdl

По определению плотности тока

jdl

ndl

E12

(23.5)

где S — площадь сечения проводника в направлении, перпендикулярном плотности тока. Подставим это выражение в (23.5) и проинтегрируем по участку 1-2:

2 ρdl

I 1 S φ1 φ2 E12 .

Интеграл в левой части этого равенства — электрическое сопротивление участка цепи 1-2 – характеристика проводника, зависящая от его формы, размеров и материала:

	2	ρdl
12		ρdl
12
R		S
	1	S
	1

[R] = Ом.

;

(23.6)

64 Этот закон для металлических проводников будет выведен в ПАРАГРАФЕ 6.5.

189

С учётом определения (23.6) перепишем (23.5) в виде

IR	φ	φ	E
12	1	2	12

— обобщённый закон Ома для участка цепи. Здесь:

φ1 – φ2 — разность потенциалов на участке 1-2;

E12 — ЭДС на участке 1-2;

			Aкул	Aстор
IR	U		12	12	— падение напряжения на участке 1-2.
		12
12			q0	q0

Демонстрации: 1) Падение потенциала вдоль верёвки 2) Усы Курёпина

(23.7)

3.6.3. Способы соединения проводников

В этом разделе рассматриваются однородные участки цепи, т. е. такие, в которых неэлектростатические поля не совершают работы (E12 = 0). Закон Ома для одно-

родного участка цепи

IR	U
12	12

1. Последовательное соединение (РИС. 23.8)

Для N проводников, тельно

I	I
1	2

соединённых последова-

IN I ,

Рис. 23.8	так как по закону сохранения заряда заряд,
	проходящий через любое сечение каждого из

проводников в определённый промежуток времени, одинаков.
Для однородного участка IiRi = Ui = φ1i – φ2i; общее падение напряжения
	U U1 U2	Ui	UN Ui .

Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых последовательно,

R U Ui

I I

Ui Ri ;

N Ri .

i 1

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4019 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf