Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 408 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Лекция 8

1.11. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея

Принцип относительности Галилея (принцип эквивалентности): все инерци-

альные системы отсчёта эквивалентны. Никакими опытами, поставленными внутри ИСО, нельзя определить, движется ли она или покоится.

1.11.1. Преобразования Галилея

y		y′	t′
y

		t
			K′
	K	O′	x′
	K
O			x

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется относи-

тельно системы K со скоростью v (РИС. 8.1).

Зная координаты и время в системе отсчёта K, найдём координаты и время в системе K′ и наоборот, т. е. найдём связь между x, y, z, t и x′, y′, z′, t′ (ТАБЛ. 8.1).

В классической механике время во всех системах отсчёта течёт одинаково.

Рис. 8.1		Таблица 8.1
	Преобразования Галилея

K′ → K		K → K′
x x vt		x x vt
y y		y y
z z		z z
t t		t t

1.11.2. Следствия из преобразований Галилея

Инвариант преобразований — физическая величина, которая не изменяется при переходе из одной системы отсчёта к другой, т. е. величина, значения которой одинаковы во всех системах отсчёта.

1. Абсолютность одновременности

События, одновременные в одной системе отсчёта, одновременны и в другой: t1 t2 t1 t2 .

Это следует из того, что время является инвариантом преобразований Галилея:

2. Инвариантность длины отрезка

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′ (РИС. 8.2). Его длина в этой системе отсчёта равна l′. Выразим l′ через координаты концов отрезка в системе K′:

			2			2
l						.
	x2	x1		y2	y1

Свяжем координаты концов стержня в системе отсчёта K′ с координатами в системе отсчёта K через преобразования Галилея:

y	t	y′	t′
y					2

				l′
				l′
			1


l x2 vt x1 vt 2 y2 y1 2		K′
		O′		x′
x2 x1 2 y2 y1 2 l		O′		x′
x2 x1 2 y2 y1 2 l		K
— длина отрезка в системе отсчёта K	O	x1	x2	x
— длина отрезка в системе отсчёта K	O

	(измерение координат концов отрезка	Рис. 8.2
	происходит в один и тот же момент вре-	Рис. 8.2
	происходит в один и тот же момент вре-

мени t). Это означает, что длина отрезка — инвариант преобразований Галилея: l l inv .

3. Инвариантность интервала времени

Пусть интервал времени между двумя событиями 1 и 2 в системе отсчёта K′

t t2

Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта K

Так как

t	1	t
	1	1

и t

t , t

t2 t

t1 .

inv

4. Классический закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью u относительно системы отсчёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта K

u u v .

Доказательство

По определению скорости

ux dxdt , ux dxdt .

Выразим ux через координату и время в системе отсчёта K′:

ux dx vdt			dx		v ux
	dt			dt
Аналогично получим
uy	dy			dy

	dt	, uy		dt	uy uy
	dt			dt

uz uz .

5. Инвариантность ускорения

v .

;

По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′

	a	du
	a	dt
		dt

в системе отсчёта K

a dudt

(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

		d u v	du	a ;

u	u v , a	dt	dt

a a inv .

6. Инвариантность массы и силы

Постулируется, что масса и сила — инварианты преобразований Галилея:

m m inv , F F inv .

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:

F m a

1.12. Специальная теория относительности

1.12.1. 4-пространство

Время относительно, как и пространство. Введём 4-пространство — линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.

4-радиус-вектор:

	ict
		x
r			,
r		y	,
		z
		z

здесь c — константа, имеющая размерность скорости; i — мнимая единица. Модуль 4-радиуса-вектора

r	x	2	y	2	z	2	2	2	inv
							c t

(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).

Мировая точка — точка в 4-пространстве. Мировая линия — кривая в 4-пространстве.

ПРИМЕР

Материальная точка покоится в 3-пространстве. Мировая линия — траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) — изображена на РИС. 8.3.

ict

Рис. 8.3

1.12.2. Преобразования Лоренца

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) — нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени29 (см. 1.1.2).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется от-

носительно системы K со скоростью v (РИС. 8.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.

Искомые преобразования должны иметь вид

x f x,t ,v

t g x,t ,v ,

где f и g — функции, которые нужно найти.

При сдвиге координаты в системе отсчёта K на сдвиги в системе K′

x и времени на t соответствующие

	x f x

	t g x
	t g x

Это возможно только тогда, когда f и

x,t	t ,v f x,t ,v ,
x,t	t,v g x,t,v .

g — линейные функции x и t:

a1x a2vt ,

a3 x a4t. v

Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны. Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 8.2.

29 Полностью данный вывод приведён в ПРИЛОЖЕНИИ. Делать его на лекции не рекомендуется изза громоздкости элементарных алгебраических преобразований.

Таблица 8.2

Преобразования Лоренца

K′ → K

x	x vt
			2
		v
	1
		c	2

t	v		x
	c	2
t

			2
		v
1
		c	2

K → K′

x		x vt
x								2
						v		2
		1				v
		1				c	2
							2

	y y
	z z
		t	v				x
		t	c	2			x
t				2

							2
					v		2
		1			v
		1			c		2
							2

Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c — предельная скорость. Из опыта известно, что c — скорость света в вакууме.

При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках (например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом — через постулаты Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна

1.ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

2.Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.

1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца

1. Инвариантность интервала

Интервал между событиями 1 и 2 S12:

S122 c2 t2 t1 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

Интервал — инвариант преобразований Лоренца:

S12 inv .

Доказательство

Докажем, что малый интервал — дифференциал интервала dS12 — инвариант преобразований Лоренца:

dS2

c2dt2

dx2 dy2 dz2

, dS 2 c2dt 2 dx 2 dy 2

dz 2 .

Выразим dS

через время и координаты в системе отсчёта K:

dx vdt

, dx

, dy dy , dz

dz ;

								v	2
				2		2		v			dx	2	2vdxdt dx				2		2		2	2vdxdt
		2		c dt				c2			dx		2vdxdt dx					v dt				2vdxdt						2				2
		2						c2																	dy			2	dz			2
dS																2									dy				dz
		12													v	2
														1	v
														1	c	2
																2
							v
c				dt			v			2
		v								2	1		dx
	2	v	2		2					2	1		dx	2
	2		2		2									2
							c							dy	2	dz		2		2		2	dx	2	dy	2	dz			2	dS		2	,
							v	2						dy		dz			c dt				dx		dy		dz				dS		12	,
								2																									12
				1
				1			c	2
								2

ч. т. д.

2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)

y	t	y′	t′

1 2

	K′
	O′		x′
	K
O	x1	x2	x
O

Рис. 8.4

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′; для простоты расположим его вдоль оси x′ (РИС. 8.4). Длина отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится, — соб-

ственная длина отрезка

	.
l0 l

Выразим длину отрезка в системах отсчёта K′ и K через координаты его концов:

l			x			x		,
	0				2		1
	l	x			x		.
				2
						1

Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:

l	x	2	vt			x	1	vt			x	2	x		1		l
l

0				v	2				v	2				v		2		v	2
					2					2						2			2
	1					1					1						1
	1			c	2	1			c	2	1			c	2		1	c	2
					2					2					2				2

время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, что

		v	2
l l	1	v
l l	1		2
0		c	2
		c

l < l0 — длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.

3. Замедление хода движущихся часов

Имеются часы с пружинным (или другим) маятником, точка подвеса которого покоится относительно системы отсчёта K′ (РИС. 8.5). Период колебаний маятника в системе отсчёта, относительно которой точка подвеса маятника покоится

( x1 x2 ), — период собственных колебаний

T0 T ,

T				[события 1 и 2 — два последо-
T		t2	t1	[события 1 и 2 — два последо-

вательных прохождения маятником положения равновесия (или любой другой фазы колебаний)]. В системе отсчёта K события 1 и 2 происходят в точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятника

T t2 t1 .

Выразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:

	t		v		x	t		v		x
	t				x	t				x	t	t
	2		c	2	2	1		c	2	1	t	t
T			c					c			2		1		,
T					2					2				2

				v					v				v
		1		v			1		v		1		v
		1		c	2		1		c	2	1		c	2
					2					2				2

y	t	y′	t′


	K′
O′		x′
K
O		x
O
	Рис. 8.5

T		T0		,

	1		v2
			v2
			c2
			c2

T > T0 — ход движущихся часов замедляется.

4. Относительность одновременности

Если события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (t2					t1 ),

но в разных местах ( x2				x1 ), то t2 ≠ t1 — эти события не одновременны в системе
отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.

При t2	t1 и	x2	x1 возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеется

причинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.

5. Релятивистский закон сложения скоростей

y	t	y′	t′

Пусть материальная точка M движется

со скоростью u		относительно системы

отсчёта K′ (РИС. 8.6). Найдём её скорость в системе отсчёта K.

По определению, проекции скорости в системе отсчёта K′

	K′
O′	x′
K
O	x
O
	Рис. 8.6

ux dxdt , uy dydt ,

в системе отсчёта K

ux dxdt , uy dydt ,

dzdt ;

		dz	.
		dt

Выразим эти проекции через координаты и скорости в системе отсчёта K′:

Итак,

dx vdt
	v
dt			dx
	c	2

dx vdt , dy

1 v2

u		v			,	u	y
x					,	u	y
x
1		v		u
1			2	u
	c		2	x
	c

u		v			,	u	y
x					,	u	y
x
1		v		u
1			2	u
	c		2	x
	c

dy	,	dz dz
dy	,	dz dz
							v		2
dy		1					v
dy		1					c	2
								2

				v
dt				v			dx
dt			c		2		dx
					2

							v	2
u		1					v
u		1						2
y							c	2
							c
			v
1			v			u
1				2		u
		c		2			x
		c

;

Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом — исходя из определения и преобразований Лоренца:

adux

xdt

	du
	x
, ax	dt

…

Лекция 9

1.13. Релятивистская динамика

1.13.1. Релятивистский импульс

Рассмотрим замкнутую механическую систему — два груза одинаковой массы m0, соединённых пружиной (РИС. 9.1). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она разжи-

мается и грузы движутся со скоростями

u	u
1

и u2

Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.

y	t	y′	t′

m0 m0

	K′
O′	x′
K
O	x
O

Рис. 9.1

Определим импульс материальной точки, как в классической механике: p m0u .

Используя РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ, получим в системе отсчёта K:

проекция начального импульса системы на ось x

		P1x 2m0v ,
проекция конечного импульса
P	m	v u			m	v u			.

2x	0 1		v	u	0 1		v	u

			c2				c2

Видно, что P1x ≠ P2x. Получается., что в системе отсчёта полняется, чего не может быть.

Подберём такое выражение для импульса, чтобы py py

K закон сохранения не вы-

. (В классической механике

py m0	dy

	dt	; так как dy = dy′, а dt = dt′, при таком определении py p

честве элементарного промежутка времени собственное время dτ

y .) Возьмём в ка-

= dτ′. Тогда

py m0 ddyτ m0 dτdy py .

Но dτ dt 1 u2 , поэтому c2

p		m dy		m dy
p		0		0
		0		0
	y	dτ			u
						2
			dt	1	c	2
						2

m u		y
0		y
			2
			2
1	u
1	c		2
			2

аналогично

px	m u				,		pz		m u
px	0		x		,		pz		0	z
	0		x						0	z
				2							2
	1		u						1	u
	1		c	2					1	c	2
				2							2

в векторной форме

		p				m0u		.

							2
					1 u
							c2

;

Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:

p mu ,

здесь m — релятивистская масса:

m	m
m	0
	0
			2
	1	u
	1	c	2
			2

1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точки

Если материальная точка изолирована, то её импульс

p mu const

. Если на точку

действуют другие объекты, то мера взаимодействия — сила F . Запишем уравнение динамики:

p F t

или, подставляя выражение для релятивистского импульса,

d		m0u	F
dt
dt	1 u2
		c2

— релятивистское уравнение динамики материальной точки.

Так как

F f u,t

и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразо-

ваний Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.

1.13.3. Энергия в релятивистской механике

Пусть тело движется под воздействием других объектов, которое описывается силой F , направленной параллельно перемещению l (РИС. 9.2). Тело разгоняется от начальной скорости u0 0 до скорости u .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 408 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf