2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

150

A

Q

B

Рис. 19.4

Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда проек-

угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dy;

dq τdy ,

τ — линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,

Выразим длину элементарного отрезка dy через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:

151

Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:

(стержень виден из точки C под углом 2α0). Из РИС. 19.4

Предельные случаи

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

Элементарный поток

ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

50 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.

152

Доказательство51 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

S

а

б

Рис. 19.6

Элементарный поток

dΦ EdS qcosα2 dS .

4πε0r

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарный поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

51 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае — III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.

153

Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать задачу

с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.

Случаи использования теоремы Остроградского-Гаусса

1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы

52 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление — величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.

154

Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)

Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере

(РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,

EdSII EIIr 4πr2 .

SII

Заряд, охваченный поверхностью SII,

q SII 0,

так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.

При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.

155

Er

Рис. 19.8

2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r — расстояние от нити до точки, где измеряется поле — точка A на РИС. 19.9) и произвольной высоты h, ось которого совпадает с нитью.

Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r.

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S τh

— заряд участка нити длиной h. Получим

157

Лекция 20

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)

3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).

σ

C

B A

S

Рис. 20.1

Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса

ната точки, где измеряется поле, — точка A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц. Торцы цилиндра S параллельны заряженной плоскости и расположены симметрично относительно неё. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S σSторц

— заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим

158

По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.

Ex

Рис. 20.2

Демонстрация: Сетка Кольбе

3.2.4. Потенциал

I уравнение Максвелла для электростатического поля

Edl 0.

L

Умножим это уравнение на пробный заряд q0:

— работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатическое поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).

[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4).]

Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку или работе поля при этом перемещении:

Потенциальная энергия — характеристика и поля, и заряда:

53 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.

159

Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физический смысл имеет разность потенциалов

— работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Работа электростатического поля по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.

Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля

φ12 2 Edl 2 Eldl ,

1 1

φ1 1 Edl 1 Eldl

φ 0 φ 0

элементарное приращение потенциала

E ddlφ gradφ