Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

С. И. ИТЕНБЕРГ, Л. А. КАЛЬНИЦКИЙ

Одобрено Редсоветом СЗПИ 9 апреля 1973 г.

ДИ Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н ОЕ

ИИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ О Д Н О Й ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЛЕНИНГРАД

1973

4 V

{ Ч И Т А Л Ь Н О Г О 3A.-IA_

СЕМЕН ИЗРАИЛЕВИЧ ИТЕНБЕРГ ЛЕОНИД АЛЕКСАНДРОВИЧ КАЛЬНИЦКИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

@ — И з д а н и е Северо-Западного заочного политехнического института, 1973 г.

РАЗДЕЛ I

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 1

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

1.1. ДВЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Рассмотрим две задачи, которые исторически привели к поня тию производной — одному из важнейших понятий математиче ского анализа.

Задача о скорости движущейся точки

Пусть материальная точка движется по прямолинейной траекто рии, которую примем за ось Ох (рис. 1). Положение точки на тра ектории будет тогда определяться ее абсциссой х, которая будет

Ах

	Рис.	1
функцией времени	t : х = f (t). Последнее равенство называется
у р а в н е н и е м	д в и ж е н и я	т о ч к и ;	располагая этим

уравнением, можно для каждого момента времени t вычислить абс циссу х и установить положение точки на траектории.

Пусть в момент времени ^0 движущаяся точка занимала на тра

ектории положение М0		и имела абсциссу х0,		а по прошествии	вре
мени At	переместилась в положение Мх и имеет абсциссу х0 +				Ах.
Таким	образом, если	за время	точка не	меняла направления

движения, то | Ах \ есть путь, пройденный точкой за время Д^. Оче-

видно, Ах = f	(t0 + Дif) — / (L). Составим	отношение — , кото-
		At
рое называется	с р е д н е й с к о р о с т ь ю	точки за время At.

Скоростью v точки в момент времени t0 называют предел, к ко торому стремится средняя скорость точки за промежуток времени

At, когда

-> 0. Итак, по определению

(1.1)

Пример 1. Точка свободно падает в пустоте; вычислить скорость точки в произвольный момент времени t.

Уравнение		движения свободно падающей точки			х =	- i - g / a , так что по
формуле	(1.1)	находим
v =	lim	l-g(t+At)z	LgP	-- lim (gt,	+	-L	gM)		= j
	д/-»о М			д / - о \		2
Задача о проведении касательной к плоской кривой
Пусть М0		— какая-нибудь точка данной кривой (рис. 2). Возь
мем на этой		кривой другую точку М		и проведем секущую						М0М.
Пусть теперь		точка М приближается		вдоль	кривой			к	точке	М0
		по любому		закону	так,		что	расстояние
		между этими точками стремится к нулю.
		Если	при	этом секущая			М0М,		повора-

Рис. 2

Рис. 3

чиваясь вокруг точки М0,

будет

приближаться

к некоторой

пря

мой М0Т

так, что

угол между

прямыми М0М

и М0Т

будет

стре

миться

нулю,

то

прямая М0Т

называется

к а с а т е л ь н о й

к данной кривой в точке

М 0 .

Не всякая кривая обладает в каждой своей точке касательной.

Прямая М0Т

будет касательной к кривой в точке М0, если секущая

М0М

всегда

стремится в указанном выше смысле к этой е д и н с т' -

в е н н о й

прямой

М0Т,

по какому бы закону точка М ни стре

милась по кривой к точке

М0.

На рис. 3 представлена кривая, не имеющая касательной в

точке М0.

Здесь секущая

М0М

стремится к прямой

M0N,

если

точка М стремится к точке М0

слева;

если же точка М стремится

к точке

Мй

справа,

то секущая

М0М

стремится к другой прямой

M0L.

теперь в

прямоугольной. декартовой

системе

координат

Пусть

хОу

задана

кривая

своим

уравнением

у — f (х). Требуется

найти

уравнение касательной к этой кривой в некоторой ее точке М0 (х0; у0) (рис. 4).

Легко написать искомое уравнение касательной, зная угловой коэффициент /г„ касательной к кривой в точке М0. Возьмем на кри вой другую точку М (х0 + Ах, у0 + Ау) и проведем секущую М0М. Пусть ф будет угол наклона этой секущей к оси Ох. Наличие в точке

М0 касательной М0Т„ образующей с		осью Ох угол	ф0 , очевидно,
эквивалентно равенству ф0 =	Пгп ф,	которое, в свою	очередь, эк-
вивалентно равенству	Дд:->-0
вивалентно равенству
tgф 0	= limtgф .		(1.2)
	Д д ; - 0

а потому формула

(1.2)

дает

fe0

= t g 9 o =

l i m / ( x ° +

A * ) - / (

A ' ° )

.•

(1.3)

Пример

Вычислить

угловой

коэффициент

касательной к

кривой

у = хг-

в точке

абсциссой

х0 =

По

формуле

(1.3)

находим:

lim (2

+ Ах)3 — 23 =

( 1 2

+ ( Д л

_ ) 2 ) =

Предел

(1.3)

имеет ту же

самую структуру,

что

и предел

(1.1).

В обоих случаях отыскивается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, вызвавшему это приращение

функции, при условии,. что приращение аргумента стремится к нулю. Многочисленные задачи из разных областей математики, техники и естествознания приводят -к необходимости вычислять подобный же предел; отсюда ясна важность изучения его свойств.

1.2.ПРОИЗВОДНАЯ

Пусть функция у = f (х)	определена на	некотором	промежутке
и пусть х0 — какая-нибудь	точка этого	промежутка.	Придадим

значению х0 аргумента некоторое приращение Ах Ф О, такое, чтобы

точка х0 + Ах не вышла за пределы упомянутого

промежутка.

Тогда функция получит

приращение

f (Хо +

Ах) —f

(х„).

Определение. Если

при

Ах

-* 0 отношение —

стремится

к ко-

печному

или бесконечному

пределу,

то этот

Ах

называется

про

предел

изводной

от функции

у — f (х) по переменной

х в точке х0 и обозна

чается символами у'

или

(х0):

у'=Г

(х0)

= lim - ^ - = lim /(* . +

**) - /(* . ) .

( М )

Ах--0

Ах

Д л : - 0

Ах

Иногда, указывая переменную, по которой берется производ

ная, пишут у'х.

Если

предел (1.4)

конечен,

то

производная на

зывается

к о н е ч н о й ,

если

же

этот предел

бесконечен, то

про

изводная

называется

б е с к о н е ч н о й .

Таким образом, конечная производная в данной точке пред

ставляет

собой

ч и с л о .

Если конечная

производная существует

в каждой точке некоторого множества Е,

то

она

оказывается,

ф у н к ц и е й

от х, заданной на этом множестве.

Используя результаты

предыдущего

параграфа,

выраженные

формулами (1.1) и (1.3), и введенное в настоящем параграфе по нятие производной, можно сформулировать следующие два пред ложения, содержащие механический и геометрический смысл

производной:
1. Если		х = f (f)		есть		уравнение	прямолинейного			движения
точки,	то	производная		f	(t)	представляет		собой	скорость		точки
в момент		времени	t.
2. Производная			f (х)		функции у		— f (х)	геометрически			пред
ставляет		собой угловой		коэффициент			касательной		к графику		этой
функции	в точке с абсциссой					х.
При	этом, если		существует касательная,					то существует			и про

изводная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси Оу, отвечает конечная производная, случаю же касательной, па раллельной оси Оу,— бесконечная производная (угловой коэффи циент прямой, параллельной оси Оу, равен бесконечности).

•6

Пример 1. Прямолинейное движение материальной точки задается урав нением х = f,[t) = Yt + 1 (х— в сантиметрах, t— в секундах). Вычис лить скорость точки в момент времени tB = 3 сек.

Имеем:

	„ = П з ) = П т / P + A Q + i - y ! t I B \| t a							т Т + Т й - а		_
		д; - о		At		д<-*о		. дг
			= П т —		* — 1 — = —		см/сек.
										4
	Пример 2. Написать уравнение касательной						к	кривой	у =f	(х) =
в точке с абсциссой			х0 =	2.
	Вычисляем угловой коэффициент касательной к данной кривой в дан
ной	точке:
				4	4_
		,,	..	2 + Д х	2	..		2	'
	k0 = /' (2)		- lim	•	- — lim			=	— 1.
			Ах-+о	Ах		Ах-о 2 + А
	Итак, касательная проходит через точку М0 (2; 2) и имеет угловой ко
эффициент k0		= — 1, поэтому ее уравнение				будет у — 2 =			— 1 (л: — 2) или
х +	у — 4 =	0.					ft	(х) = хп, где п — нату
	Пример 3. Вычислить производную функции						ft	(х) = хп, где п — нату
ральное число.
	В данном случае не указана точка, в которой надо вычислить									производ

ную, следовательно, эту производную нужно вычислить в произвольной

точке х. Пользуясь			формулой		бинома		Ньютона, имеем:
				, .	,.	(х +	Ах)п — хп
				/' (я) =	lim	- — !	-	=
					д-о		Ах
=	lim I пхп-1		+		'>• хп-2Ах		+	. . . + Ах"'1}	= пх"-х.
Итак,	для любого			х
					(хп)'	=	пхп-1.		(1.5)
		1.3. ОДНОСТОРОННИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Аналогично		понятию одностороннего предела							(ч. I , гл. I I I , § 3)
вводят понятие		о д н о с т о р о н н е й						п р о и з в о д н о й . Л е
в о с т о р о н н я я				и п р а в о с т о р о н н я я					производные в
точке х0	определяются, соответственно,							как односторонние пределы
					д.г<о		Ах
					й.Хч-0
И
			f+	(*0 ) =	П т f f a + A * ) - / ( * o ) _
					д*>о		Да;

Из существования производной в точке х„ следует существова ние обеих односторонних производных в этой точке, а из существо-

вания	и р а в е н с т в а		д р у г		д р у г у	односторонних	произ
водных следует существование				производной.
Пример. Вычислить		обе односторонние производные функции					f, (х) =
= \| х \|	в точке х = 0.
Имеем:
	f l r o - l i m	' 0 + A * ' - ' 0 U l i m
	дд.-<о		AX		АХ->О	АХ
	Ax-rQ
	t< ... ..		\|0 + Дх\| — .\|0\|			Ax
	Т+ (0) =	lim	- — •	!	•—- = lim	= 1.
		Дл->о		Ах	дл--о Д*

1.4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение. Если приращение функции у = f (х) в точке х можно представить в форме

Ау = А Ах + а Ах,

где А от Ах не зависит, а а 0 при Ах -> 0, то эта функция на зывается дифференцируемой в точке х.

Из последнего равенства находим

А =*0—а;

Ах

перейдя здесь к пределу при Ах -+ 0, получим

А = у' = Г (*)•

Итак, если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, то приращение функции в этой точке можно представить в виде

Ay = f (х) Ах + аАх,

(1.6)

где а -> 0 при Ах 0. Отсюда следует, что если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, то она обладает в этой точке конечной производной. Покажем, что справедливо и обратное утверждение. Пусть производная /' (х) конечна в точке х; по определению произ водной

Hm - ^ - = f (х).

Д х - 0 Дх

Функцию, стремящуюся к конечному пределу, можно предста вить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции.* Поэтому из предыдущего соотношения следует, что

= /'(*) + «,

Ах

где а 0 при Ах -»- 0. Отсюда сразу же вытекает (1.6), что и озна чает дифференцируемость функции у =. / (х) в точке х.

* С. И т е н б е р г , Л. К а л ь н и ц к и й . Линейная алгебра. СЗПИ, 1973. В дальнейшем в скобках указание: «там же».

Итак, условие дифференцируемости функции у = f (х) в точке эквивалентно условию конечности производной f (х) функции в этой точке.

Следующая теорема дает необходимое условие дифференцируе

мости функции в точке.
Теорема. Если	функция	у	= f (х)	дифференцируема			в точке х,
то она непрерывна	в этой	точке.			у = /	(х)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	функция	у = /	(х)	дифферен
цируема в точке х; тогда приращение этой функции						в	этой точке
представимо в форме Ау =			/' (л:) Ах	+ а Ах,	откуда	следует, что
lim Ay = 0. Но это и означает, что функция у					= / {х)		непрерывна
в точке х (там же,	стр. 161).
а)				5)

Рис. 5

Следует отметить, что обратная теорема не имеет места, т. е. из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Для подтверж дения сказанного рассмотрим две функции, графики которых представлены на рис. 5. Обе эти функции непрерывны в точке х0, но не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к графику

первой функции в точке с абсциссой х0				параллельна оси Оу, а по
тому первая функция обладает в точке х0				бесконечной			производной.
График второй функции в точке с абсциссой х0						вообще		не имеет
касательной,	поэтому эта функция в точке х0				не имеет и производ
ной. Точки,	подобные х0	на	рис. 5, а	называются			т о ч к а м и
в о з в р а т а	ф у н к ц и и ,		а подобные точкам хп на рис. 5, б —
у г л о в ы м и	т о ч к а м и .
1.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Определение. Функция		у = f (х) называется				дифференцируемой
на некотором	промежутке,		конечном или		бесконечном,			если она
дифференцируема в каоюдой точке этого				промежутка.

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ