книги / Процессы тепломассопереноса в гетерогенных системах

k1 k2

Рассмотрим в связи с этим сложный процесс: A B C,

протекающий с константами скоростей k1, k2 и коэффициентами диффузии D1эф; D2эф. Очевидно, что при этом параметры Зельдовича – Тиле χ1 и χ2 уравнения (24) для реакций также будут различны. В связи с этим математическое описание процесса будет состоять из двух дифференциальных уравнений второго порядка:

где ЦA, ЦВ – безразмерные концентрации компонента A и компонента B соответственно.

При использовании для решения этой системы процедуры Рунге – Кутты она должна быть представлена в виде четырёх уравнений первого порядка F(x,y) (рис. 3).

На рис. 3 приведён пример решения системы уравнений (43) при условии заданной концентрации компонентов A и B на внешней границе сферического зерна катализатора, равной 0,3. Первые производные концентрации компонентов в центре зерна равны нулю (в соответствии с граничными условиями).

Основными задачами при выполнении практической работы по разделу 2.4 являются:

1.Ознакомление с техникой преобразования системы дифференциальных уравнений второго порядка под использование стандартной процедуры «rkfixed».

2.Решение системы дифференциальных уравнений материального балансасиспользованиемстандартнойпроцедуры«rkfixed».

3.Исследование влияния параметров Зельдовича – Тиле и порядка реакций на распределение концентраций по радиусу зерна катализатора.

31

4. Приобретение навыка математической обработки экспериментальных данных с помощью приведённой математической модели процесса.

Задания при изучении модели процесса:

1.Найти частное решение системы дифференциальных уравненийпризаданныхкраевыхусловияхипорядкаххимическихреакций.

2.Пояснить принцип преобразования системы уравнений второгопорядкавсистемуизчетырёхуравненийпервогопорядка.

3.Исследовать влияние параметров, входящих в критерии Зельдовича – Тиле, на распределение концентраций по радиусу катализатора.

4.Объяснить принцип работы процедуры «rkfixed».

5.Пояснить значения начальных условий при решении матрицы уравнений.

6.Объяснить принцип поиска неизвестных параметров на основании экспериментальных данных и приведённой точной модели процесса.

7.Используя МНК, определить неизвестные параметры модели по экспериментальным данным.

2.5. Учёт теплового эффекта простой химической реакции

Рассчитаем распределение концентраций компонентов внутри зерна катализатора с учётом теплового эффекта простой химической реакции n-го порядка.

По аналогии с (24) и (43) запишем систему дифференциальных уравнений баланса для концентрации компонента и температуры в зерне катализатора:

33

где Hr – энтальпия химической реакции; λ – коэффициент тепло-

проводностикерамическогоматериаласферического катализатора. Поскольку основной целью расчёта является анализ влияния

теплоты химической реакции на распределение концентрации и температуры по радиусу зерна катализатора, константа скорости химической реакции, записанная в форме уравнения Аррениуса, должна быть представлена в виде, раскрытом относительно температуры. В принципе, раскрытыми относительно температуры должны быть и остальные параметры, входящие в критерий Зельдовича – Тиле (Dэф, λ, n), однако константа скорости ks оказывает наиболее сильное влияние на условия работы катализатора. Пример учёта остальных зависимостей приведён в разд. 3.

Пример решения системы (44) представлен на рис. 4. Как и ранее, расчёт проводится от центра зерна, где первые производные концентрации и температуры по радиусу равны нулю. Расчёт по процедуре Эйлера (в форме Рунге – Кутты) проводится в сторону увеличения безразмерного радиуса до границы зерна, где известны (заданы) значения интегрируемых параметров – концентрации компонента А и температуры Т. Поскольку, как и в предыдущем примере (см. разд. 2.4), оба вычисляемых параметра взаимно влияют друг на друга, подбор их исходных значений в центре (матрица граничных условий) проводится в двумерном пространстве {Т Ц} таким образом, чтобы получить одновременное совпадение обоих параметровсихзаданнымивеличинаминаграницезерна(приρ= 1).

Основными задачами при выполнении практической работы по разделу 2.5 являются:

1.Ознакомление с техникой преобразования системы дифференциальных уравнений второго порядка под использование стандартной процедуры «rkfixed».

2.Решение системы дифференциальных уравнений материального и теплового баланса с использованием стандартной про-

цедуры «rkfixed».

34

4. Исследование влияния параметров материального и теплового критериев Зельдовича – Тиле и порядка реакций на распределениеконцентрацииитемпературыпорадиусузернакатализатора.

Задания при изучении модели:

1.Найти частное решение системы дифференциальных уравнений при заданных краевых условиях и порядке химической реакции.

2.Пояснить принцип преобразования системы уравнений второгопорядкавсистемуизчетырёхуравненийпервогопорядка.

3.Исследовать влияние параметров, входящих в материальный и тепловой критерии Зельдовича – Тиле, на распределение концентрации и температуры по радиусу зерна катализатора.

4.Объяснить принцип работы процедуры «rkfixed».

5.Пояснить значения начальных условий при решении матрицы уравнений.

6.Исследовать влияние внутренних параметров теплового критерия Зельдовича – Тиле и порядка реакции на распределение концентрации и температуры по радиусу зерна катализатора.

7.Исследовать влияние знака теплового эффекта реакции на распределение концентрации и температуры по радиусу зерна катализатора.

8.Объяснить принцип поиска неизвестных параметров на основании экспериментальных данных и приведённой точной модели процесса.

9.Используя МНК, определить неизвестные параметры модели по экспериментальным данным.

36

3. РАСЧЁТ РЕАКТОРА АКСИАЛЬНОГО ТИПА, ЗАПОЛНЕННОГО СФЕРИЧЕСКИМИ ГРАНУЛАМИ КАТАЛИЗАТОРА

3.1. Оптимизация режима работы катализатора

Представленные на рис. 3, 4 зависимости концентрации и температуры от радиуса зерна несут важную техническую информацию об условиях работы катализатора. При оптимизации работы химической установки важно так загрузить реактор, чтобы работала вся поверхность катализатора. На рис. 5, 6 даны примеры нерациональных режимов работы, при которых катализатор либо загружен толькочастичновповерхностныхслоях, либопрактическинеработает.

Рис. 5. Пример нерационального режима работы катализатора: концентрация компонента падает практически до нуля уже при глубине 0,1 радиуса зерна (катализатор в объёме от 0,9 R до центра не загружен)

Рис. 6. Пример нерационального режима работы катализатора: концентрация компонента практически не изменяется по радиусу (катализатор не работает)

37

Анализ подобных зависимостей позволяет выбрать оптимальный режим работы реактора.

3.2. Производительность одной гранулы катализатора

Производительность одной гранулы катализатора может быть вычислена на основании уравнения (25), если известна пер-

жив её на количество одновременно работающих гранул, можно получить теоретическую производительность всего реактора. Однако следует учитывать, что условия работы первых слоёв катализатора существенно отличаются от условий работы последующих, поскольку по мере прохождения реактора концентрация реагентов изменяется, что сказывается на скорости химического процесса, а часто и на режиме работы катализатора. Процесс, например, может начаться как внутридиффузионный или кинетический, а по мере исчерпания сырья постепенно перейти во внешнедиффузионный режим. Поэтому при расчёте реального реактора численным способом необходимо учитывать эту особенность, например, следующим образом.

Введём параметр z, называемый коэффициентом проскока сырья.

Будем считать, что часть потока, равная 1–z, с начальной концентрацией С0 полностью поглощается гранулой катализатора и возвращается в поток с концентрацией С(R). Иначе говоря, с поверхности гранулы всё время «сдувается» поток с концентрацией, которая является равновесной в данных условиях работы катализатора. Этот поток идеально смешивается с потоком z, имеющим концентрацию С0, в результате чего на следующий слой гранул подаётся поток с новой начальной концентрацией С0. В соответствии с (22) безразмерная концентрация Ц(1) = C(R) / С0. Таким образом, при прохождении слоя катализатора толщиной 2R концентрация компонентаво всёмпотокеуменьшитсянавеличину

38

Знак (–) введён в соответствии с правилом составления кинетических уравнений в отношении сырья [5].

Если параметры z и Ц не изменяются, это выражение может быть легко проинтегрировано по всей высоте H слоя катализатора в реакторе с аксиальным типом движения сырья:

где Свых – концентрация компонента на выходе из реактора. Программа расчёта степени превращения компонента в ак-

сиальном реакторе по выражению (46) в этом случае (при условии Ц = const) имеет вид, показанный на рис. 7.

Рис. 7. Программа расчёта степени превращения в аксиальном реакторе при фиксированных условиях работы катализатора (соответствует (46))

39

Как правило, условие постоянства Ц не выполняется, в связи с чем необходимо учитывать изменение Ц по высоте слоя катализатора. При отсутствии аналитической зависимости это может быть учтено численно за счёт разделения общей высоты катализатора H на слои N, пересчёта параметра Ц для каждого слоя и пошагового вычисления по выражению:

Для этого случая программа расчёта степени превращения компонента по выражению (46) с учётом изменения параметров работы катализатора показана на рис. 8.

Для возможности учёта влияния температуры на режим работы катализатора основные параметры массопереноса и кинетики в программе представлены эмпирическими уравнениями, раскрытыми относительно температуры:

где Def – коэффициент эффективной диффузии; – коэффициент массопереноса; ks – константа поверхностной скорости реакции; d0, 0, k0 – предэкспоненциальные множители для диффузии, массопереноса и реакции соответственно; Ed, Emas, Eakt – энергии активациидлядиффузии, массопереносаиреакциисоответственно.

Если режим работы реактора по всей высоте слоя катализатора близок к изотермическим условиям, программа позволяет вычислить степень превращения сырья при прохождении всего слоя катализатора. С этой целью необходимо в операторе T←T1+20·i вместо цифры20 поставить0.

40