книги / Процессы тепломассопереноса в гетерогенных системах

T1:=400 К

Рис. 8. Программа расчёта степени превращения в аксиальном реакторе при переменных условиях работы катализатора (результатом расчёта является таблица концентраций компонента Цвыхр, вычисленных для заданных температур эксперимента)

41

Если режим работы неизотермический, высоту засыпки катализатора можно условно разбить на одинаковые зоны (в программе их 6) и подобрать в вышеуказанном операторе соответствующее значение прироста температуры, позволяющее провести линейную интерполяцию средней температуры зон по высоте реактора. Например: T←T1–34,5·i. Это означает, что в первой зоне катализатора температура равна T1; во второй: T2 = T1–34,5; в третьей T3 = T2–34,5 и т.д. Следует учесть, что при таком расчёте соответствующим образом должны быть изменены и величины Hp и N.

3.3. Определение параметров уравнения Зельдовича на основе экспериментальных данных

Программа, представленная на рис. 8, позволяет определить параметры, входящие явно или неявно в уравнение (48) и уравне-

ние Зельдовича (z, β0, Еmas, d0, Еd, k0, Еakt, χп, Rk, a, γ), на ос-

новании экспериментальных данных, полученных в лабораторном или полноразмерном изотермическом реакторе при проведении химической реакции по схеме, представленной на рис. 9.

Рис. 9. Схема проведения эксперимента по определению параметров уравнения Зельдовича

В качестве примера рассмотрим вариант определения любых 5–6 параметров из указанных выше по данным эксперимента, представленным в виде матриц на рис. 10 (Tэксп – заданные температуры шести экспериментов; Цвыхэ – безразмерные остаточные концентрации реагента на выходе из реактора).

Управляющим параметром уравнения, описывающего процесс, является температура эксперимента T. Её начальное значе-

42

ние T1 = 400 К. Последующие эксперименты проведены с интервалом 20 К. Критерием поиска параметров, как и в примере (в подразд. 2.3), является величина квадратичного функционала Фmin, которую необходимо уменьшить практически до нуля путем подбора значений определяемых параметров:

,

где Цвыхpi, Цвыхэi – расчётные и экспериментальные значения концентраций при Тэкспi.

Рис. 10. Результаты эксперимента по переработке компонента А в лабораторном реакторе

При заданной величине Emas остальные параметры: Eakt, Ed, β0, k0, d0; z – найденыпростымподборомипоказанынарис. 11.

Рис. 11. Результаты подбора параметров

Полученные экспериментальные и расчётные значения остаточной концентрации компонента А на выходе из реактора представлены на рис. 12.

43

3. Приобретение навыка математической обработки экспериментальных данных с помощью приведённой математической модели процесса.

Задания при изучении уравнения Зельдовича:

1.На основании физико-химических знаний описать влияние каждого из факторов приведённой модели на результаты работы реактора.

2.Объяснитьидеологиюпостроенияматематическоймодели.

3.Объяснить назначение каждого уравнения математической модели в программах.

4.Объяснить принцип поиска неизвестных параметров на основании экспериментальных данных и приведённой точной модели процесса.

5.Пояснить причину изменения вида зависимостей при изменении входных кинетических и диффузионных параметров модели.

6.Используя МНК, определить неизвестные параметры модели по экспериментальным данным.

45

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОДОЛЬНОГО МАССОПЕРЕНОСА

4.1. Понятие критерия Пекле

Аналогично рассмотренному выше варианту проведения химической реакции в гетерогенных условиях (разд. 2, 3) процесс в гомогенной среде также определяется процессами массопереноса и кинетикой химической реакции. Несмотря на изотропность процесса массопереноса, в большинстве случаев рассматривается только эффективная диффузия, действующая вдоль движущегося потока, хотя в некоторых источниках рассматривается и поперечный массоперенос [3]. Преобразование общего уравнения материального баланса химического реактора в цилиндрические координаты выполнено с использованием операторов Лапласа и Гамильтона в соответствующем представлении:

Уравнение (19): dCd D C u C wr – в стационарном ва-

рианте и без учёта поперечного массопереноса приобретает простой вид:

Введём безразмерные координаты [5]:

где L – характерная длина реактора.

46

Отсюда:

Послеподстановкивыражений(52) вуравнение(51) получим:

где PeL – безразмерный критерий продольного массопереноса,

число Пекле, равное отношению скоростей конвективного и диффузионного переносов вдоль оси движения потока реагентов

в реакторе: PeL uDL .

Это число указывает степень приближения реактора к реактору идеального перемешивания или идеального вытеснения. Понятно, что режим идеального перемешивания соответствует значению D = ∞. Отсчёт значений критерия Pe в сторону режима идеального перемешиванияидёт, такимобразом, отзначенияPeL = 1 доPeL →0.

Таким образом, решение этого уравнения зависит от одного постоянного числа, и если правая часть уравнения не вызывает особых вопросов, то величина критерия Пекле полностью неопределённа.

4.2. Определение критерия Пекле по экспериментальным данным

Так же, как и в случае уравнения (42), соотношение (53) указывает, что всё вещество, подведённое в зону реакции за счёт конвекционного и диффузионного переноса, перерабатывается в продукты реакции. Правая часть этого уравнения описывает скорость химического превращения компонента. Левая часть уравнения описывает гидродинамические условия проведения процесса. Эта особенность открывает возможность определения параметра Пекле при решении только гидродинамической части уравнения при условии, что константа химической реакции и, следовательно, вся правая часть уравнения (53) равна нулю:

47

Однако решение уравнения (53) позволяет выяснить только стационарное теоретическое распределение концентрации компонента по длине реактора, анализ которого практически затруднен. Поэтому необходимо вернуться к нестационарному варианту уравнения:

Это уравнение теоретически позволяет рассчитать зависимость концентрации введённого компонента от времени на выходе из реактора при заданном значении критерия Пекле или подобрать такое значение критерия Пекле, при котором теоретическая кривая точно укладывается на экспериментальные данные, определяемые при лабораторном анализе состава потока, выходящего из реактора. Таким образом, открывается возможность реализации следующего метода определения критерия Пекле.

На вход в реактор необходимо подать инертное, легко определяемое в лаборатории вещество, растворимое в рабочей среде, имеющее примерно одинаковый коэффициент молекулярной диффузии с исходным сырьём, и отследить изменение его кон-

центрации во времени на выходе из реактора. Подачу этого инди-

катора, или трассёра, на вход реактора (возмущение) следует организовать по какому-то закону изменения концентрации во времени (например, в виде функции Дирака (импульс) или Хевисайда (ступенька)) [3,11]. Выходная кривая (отклик реактора на возмущение) несёт информацию о величине критерия Пекле. Уравнение (55) для случая одиночного импульса недавно решено, и решение позволяет найти значение продольного коэффициента Пекле для заданных условий химического реактора [12].

Практически описанный выше метод реализуется несколькими способами. Первый из них реализуется при анализе математических

48

характеристик кривой отклика, полученной при вводе индикатора на входреактораввидекороткогоимпульса– функцииДирака(рис. 14). Если кривая отклика близка по форме к нормальному Гауссову распределению, величина продольного критерия Пекле PeL может быть вычисленапо следующимуравнениям[3]:

где 2 – дисперсия времени пребывания; τi – длительность нахо-

ждения в реакторе i-й пробы индикатора; Cui – концентрация i-й пробы индикатора на выходе из реактора; σ – безразмерная дисперсия времени пребывания; – средняя длительность пребывания индикатора в реакторе.

Рис. 14. Схема исследования функции времени пребывания реагентов в реакторе

В случае иной организации потоков, отличающейся от представленной на рис. 14, подбор значения критерия Пекле также возможен по более сложным соотношениям, представленным, например, в работе Ю.М. Жорова [3].

Следует заметить, что практическая реализация этого метода вносит неизбежную методическую ошибку, связанную с тем, что

49

идеальная функция Дирака (импульс) характеризуется бесконечной высотой и нулевой шириной. При этом по условию нормировки её интеграл в пределах равен единице. Фактически при импульсном вводе индикатора ширина (длительность) импульса по техническим причинам имеет определённое конечное значение, которое невозможно создать сложением импульсов Дирака, поэтому предложен численный метод, устраняющий этот недостаток. Метод основан на суммировании кривых отклика, полученных от непрерывного пакета импульсов, имеющего конечную длину и высоту.

Как известно [5], уравнение, описывающее кривую отклика от одиночного импульса, может быть записано в виде

Оно описывает изменение безразмерной концентрации введённого индикатора за счёт диффузионного размывания импульса в зависимости от времени τ нахождения в реакторе и от координаты центра масс x. Значение x = z соответствует выходу из реактора, где и исследуется форма отклика реактора. Поскольку «возраст» (длительность пребывания в реакторе) для каждого импульса индивидуален, кривая отклика при суммировании даёт исчерпывающее описание отклика реактора на импульс конечной длины.

Отклик от одиночного импульса в движущейся системе координат

где u – линейная скорость движения потока внутри реактора. Проведём суммирование пакета:

50