книги / Начала инженерного творчества

вводится фиктивный станок, на котором показатели работы равны нулю. В нашем случае будем считать, что станок 3, например, больше не используется. Это может быть отображено данными следующей таблицы (табл. 29).

Здесь не выполняется этап 1. Постарайтесь сами получить оптимальное решение х12 = х24 = х33 = х41 = 1.

Случай, когда некоторые назначения невозможны

Предположим, что некоторые назначения невозможны, например второй рабочий не может выполнять работу на третьем станке. В этом случае в соответствующую клетку заносится большое число. Это автоматически приводит к тому, что клетка окажется незанятой в оптимальном решении.

Задача о назначениях на максимум целевой функции

Здесь алгоритм венгерского метода имеет некоторые особенности. Прежде всего заметим, что венгерский метод позволяет решить задачи о назначениях на минимум. Для того чтобы применить этот метод, нужно каким-то образом свести данную задачу на максимум к задаче на минимум целевой функции. В задаче на максимум предпочтительнее выбирать клетки с наибольшими Сij, в то время как в задаче на минимум – клетки с наименьшими Сij. Оптимальное решение получалось в нулевых клетках последней преобразованной матрицы.

111

Рассмотрим особенности этой задачи на конкретном примере.

Пусть Сij – числа, характеризующие прибыль, которую приносит каждый i-й рабочий, если он работает на j-м месте. Матрица такой задачи имеет вид, представленный в табл. 30.

Принципиальное отличие задачи на максимум от задачи на минимум заключается в этапе 1. Здесь выбирается наибольший элемент в каждой строке и от него отнимаются все остальные элементы соответствующих строк.

Элементы табл. 31 уже имеют другой смысл. Это не чистые прибыли, а потери прибыли от максимально возможной. Для того чтобы достичь наибольшей прибыли, необходимо избежать потерь прибыли или, если это не удается, иметь их как можно меньшими. А это значит, что произведен переход от задачи на минимум к задаче на максимум.

112

В итоге оптимальное решение данной задачи будет выглядеть как

x11 = x23 = x34 = x42 = 1.

2.3. Контрольные вопросы и задания

Метод сканирования

1.Экстремум каких функций можно найти методом сканирования?

2.Основное достоинство метода сканирования.

3.Способ «размещения» точек вычисления критерия оптимальности на оси х.

4.Основные достоинства модернизированного метода?

5.Условие отыскания оптимального решения.

6.Как найти самое большое значение R(x)?

7.Трудно ли метод поддается алгоритмизации (составлению программы для решения задачи на ЭВМ)?

8.Как влияет вид функции R(x) на процесс нахождения решения?

Метод деления отрезка пополам

1.Для каких функций R(x) пригоден метод половинного деления?

2.Каково основное достоинство метода половинного де-

ления?

3.Каков способ «размещения» точек вычисления критерия оптимальности на оси x?

4.Условие отыскания оптимального решения.

5.Как влияет вид функции R(x) на процесс нахождения решения?

6.Всегда ли метод гарантированно дает решение?

7.Каким образом определяется следующий отрезок, на котором находится экстремум?

8.Сколько раз нужно вычислить R(x) на отрезке[а, b], если хотим найти решение с погрешностью 1 % от длины [а, b]?

113

Метод золотого сечения

1.Всегда ли метод гарантированно дает решение?

2.Как влияет вид функции R(x) на процесс нахождения решения?

3.Каким образом определяется следующий отрезок, на котором находится экстремум?

4.Основное достоинство метода золотого сечения.

5.Каким образом повысить точность нахождения решения?

6.Если отрезок [а, b]содержит внутреннюю точку с, то какое условие называется золотым сечением?

7.Сколько раз нужно вычислить R(x) на каждом шаге?

Метод градиента

1.При каком из алгоритмов выбора направления поиска

max R(x) метод будет более эффективен?

2.Как изменяется угол между двумя соседними направлениями поиска при приближении к оптимуму?

3.Что называется градиентом функции R(x1, х2)?

4.Свойства градиента функции R(x).

5.Как оценивается эффективность поиска градиентным методом?

6.Какой алгоритм коррекции шага предпочтительнее вблизи оптимума?

7.Почему в районе оптимума величина шага ∆х убывает при использовании алгоритма х j = x j–1 – hgradR(x)?

8.Исходя из определения grad R(x) как вектора, указывающего направление возрастания функции, что лучше искать: min или max?

9.Что дает вычисление производных по методу с парными пробами?

Метод наискорейшего спуска

1.В чем основные отличия метода наискорейшего спуска от метода градиента?

2.По какому направлению осуществляется поиск из каждой текущей точки при поиске min R(x)?

114

3.Как вычисляется градиент R(x) в методе наискорейшего спуска?

4.Почему после нахождения min R(x) по направлению необходимо еще раз искать min R(x) по другому направлению?

5.Каковы условия окончания поиска?

6.Область наивысшей эффективности метода.

Метод сопряженных градиентов

1.Чем отличаются квадратичные методы оптимизации от линейных?

2.Какова сравнительная эффективность метода сопряженных градиентов и наискорейшего спуска вблизи от оптимума?

3.Как записывается алгоритм метода сопряженных градиентов?

4.Для каких функций R(x) метод сопряженных градиентов наиболее эффективен?

5.Вчем недостатки использованияметода второго порядка?

6.В чем отличие первого шага в методах наискорейшего спуска и сопряженных градиентов?

7.Какая процедура поиска осуществляется на каждом

шаге?

8.Возможно ли применение метода для недиффиренцируемых функций?

Метод Гаусса–Зайделя

1.Достаточно ли провести поиск оптимума поочередно по всем переменным последовательно?

2.Область наиболее предпочтительного использования метода Гаусса–Зайделя.

3.Можно ли найти оптимум за один цикл для квадратичной функции?

4.Может ли оказывать влияние на результат поиска (значение оптимума) порядок чередования переменных при поиске?

115

5.Может ли оказывать влияние на эффективность поиска порядок чередования переменных?

6.Условие окончания поиска min R(x).

7.Основное достоинство метода.

8.Основной недостаток метода.

Симплексный метод

1.Что называется симплексом?

2.Как находится вершина нового (следующего) симплекса?

3.Признак зацикливания симплексного поиска.

4.Причина зацикливания поиска.

5.Условие растяжения симплекса в процессе поиска.

6.Алгоритм сжатия симплекса в процессе поиска в одной из модификаций.

7.Условие окончания поиска.

8.Как находится точка, относительно которой отражается новая вершина следующего симплекса?

Линейное программирование

1.Дайте определения целевой функции и ограничений.

2.Приведите пример задачи ЛП.

3.Общая постановка задач ЛП.

4.Запись задачи ЛП в матричной форме.

5.Геометрическая интерпретация задач ЛП на плоскости.

6.Алгоритм графического решения задач ЛП.

7.Постановка транспортной задачи, приведите пример.

8.Общая постановка транспортной задачи.

9.Решение транспортной задачи методом «северо-запад- ного угла».

10.Решение транспортной задачи методом Фогеля.

11.Постановка задачи о назначениях. Приведите пример.

12.Алгоритм решения транспортной задачи.

13.Поставьте и решите транспортную задачу.

14.Поставьте и решите задачу о назначениях.

116

Раздел 3 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Рост требований к качеству выпускаемой продукции,

атакже уменьшение затрат на проведение научно-исследова- тельских и опытно-конструкторских работ (НИР и НИОКР) обусловили пересмотр традиционных методов научных исследований. Применявшиеся ранее для изучения многофакторных объектов однофакторные методы требуют больших затрат ресурсов (времени, средств), не гарантируют точность описания,

ав соответствии с этим и адекватность принятия последующих решений на основании принятой модели, например определение оптимальных режимов.

3.1. Основные понятия и определения

Применение методов планирования экспериментов играет важную роль как способ интенсификации научных исследований и проектирования новой техники. Планирование экспериментов является частью более общей задачи, называемой иден-

тификацией.

Испытательное устройство – это средство научного ис-

следования, предназначенное для создания и поддержания заданных условий проведения исследования.

Измерительный прибор – средство научного исследования в виде специального устройства, предназначенного для измерения параметров объекта исследования.

По основной цели все эксперименты можно разделить на три группы:

а) поисковые; б) проверочное;

в) демонстрационные.

117

По характеру исследуемого объекта различают физические, химические, биологические, психологические и социальные эксперименты. В том случае, когда объектом изучения служит непосредственно реально существующий предмет или процесс, эксперимент можно назвать прямым (натурным). Если вместо самого предмета используется некоторая его модель, то эксперимент будет называться модельным.

По методу и результатам исследования все эксперименты можно разделить на качественные и количественные. Качественные эксперименты предпринимаются для того, чтобы выявить действие тех или иных факторов на исследуемый процесс без установления точной количественной зависимости между ними (обычно поисковые эксперименты).

Количественный эксперимент строится с таким расчетом, чтобы обеспечить точное измерение всех существенных факторов, влияющих на поведение изучаемого объекта или ход процесса. Проведение такого эксперимента требует использование значительного количества регулирующей и измерительной аппаратуры, а результаты измерения нуждаются в достаточно сложной математической обработке. В реальной исследовательской практике качественные и количественные эксперименты представляют собой обычно последовательные этапы в познании явлений.

Различают однофакторный и многофакторный экспери-

менты. В том случае когда из некоторого числа основных факторов выделяют для исследования лишь один фактор и варьируют только им, то говорят о классическом эксперименте, который применяется значительно реже.

3.2.Место планирования эксперимента

впроцедуре идентификации технических систем

Идентификацией называется процедура построения оптимальной в определенном смысле математической модели объекта (явления) по реализациям его входных и выходных сигналов.

118

В зависимости от априорной информации об объекте различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров объекта. При этом априорная информация об объекте достаточно велика, и известна структура системы, задан класс моделей, к которому данный объект относится. Степень информированности экспериментатора относительно зависимости функции отклика от параметров y(x) характеризуется тремя основными уровнями.

1. Вид функции y (х, b ) известен. В этом случае задача

поиска математической модели сводится к определению неизвестных параметров этой функции:

_

yV x,bk

Требуется определить, какая из функций является истинной и найти неизвестные параметры. В этом случае планируется так называемый дискриминационный эксперимент.

3. Вид функции y (х, b ) неизвестен. В этом случае решается задача идентификации в широком смысле.

119

Наиболее благоприятен для экспериментатора случай, когда имеется информация об объекте, соответствующая первому уровню. Планирование экспериментов на этом уровне начало развиваться примерно в середине 60-х годов ХХ века, и к настоящему времени накоплен достаточно большой опыт, имеются разработанные экспериментальные планы для различных типов регрессионных моделей. При идентификации в широком смысле приходится предварительно решать большое число дополнительных задач. К этим задачам относятся: выбор структуры системы и задание вида математической модели, оценка степени стационарности, линейности, действующих факторов и т.д.

Структура идентификации в наиболее общем случае имеет следующий вид:

а) проведение оценочных экспериментов; б) регрессионный анализ (выбор вида уравнения регрес-

сии); в) планирование экспериментов;

г) проведение экспериментов; д) оценка коэффициентов модели (параметрическая иден-

тификация); е) проверка и подтверждение модели (диагностическая

проверка); ж) использование модели по ее назначению.

На первом этапе эксперимент проводится обычно традиционным способом однофакторного эксперимента, и на основании однофакторных зависимостей выдвигается гипотеза о модели объекта (явления). Возможен переход сразу к этапу б) в случае наличия априорной информации о модели или выработки соответствующих гипотез относительно вида модели.

Задача регрессионного анализа – установить вид модели, число входных воздействий, определяющих выход системы, определить доверительные интервалы для оценок коэффициентов модели.

120