книги / Начала инженерного творчества

случае говорят, что линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это записывается следующим образом:

вестные истинные значения коэффициентов.

Приведенную запись можно прочесть следующим образом: например, вычисленное значение коэффициента b1 является совместной оценкой коэффициентов β1 и β23, т.е. величина b1 свидетельствует как о влиянии фактора x1, так и о совместном влиянии факторов x2 и x3. Итак, в рассматриваемом ДФЭ нельзя отделить линейное влияние факторов x1, x2 и x3 от их парных взаимодействий.

Сказанное свидетельствует о значительной потере информации при проведении ДФЭ по сравнению с полным факторным экспериментом, но это естественная плата за сокращение числа опытов. Действительно, ПФЭ для трех факторов должен был бы содержать 23 = 8 опытов, а в данном случае опытов требуется вдвое меньше.

Указанные в табл. 35 четыре опыта, поставленные для оценки влияния трех факторов, представляют собой половину ПФЭ или дробную реплику. Составляют дробные реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми независимыми переменными. Эти реплики условно обозначает 2к–р. Тогда, если ПФЭ 26 включает 64 опыта, то 1/2-реплика (полу-

реплика) содержит 26–1 = 32 опыта, 1/4-реплика (четвертьреплика) – 26–2 = 16 опытов, 1/8-реплика – 26–3 = 8 опытов. Ес-

тественно, что минимальная дробная реплика для построения линейной модели должна включать не менее (k + 1) опытов, где k – число факторов.

Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых определяющих контрастов. Полуреплика 23–1 построена после приравнивания x3 к x1x2, т.е.

151

Это выражение называют генерирующим соотношением.

Оно в общем случае показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект. Умножим обе части генерирующего соотношения на x3,

Символическое обозначение произведения столбцов, рав-

ное +1 (или –1), называют определяющим контрастом.

С помощью определяющего контраста можно определить систему смешивания эффектов. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если 1 = x1x2x3, то для x1 имеем x1 = х12 x2x3 =

=x2x3, так как всегда x2 = 1. Находим для столбца x2 : x2 =

=x1 х22 x3 = x1x3, для столбца x3: x3 = x1x2 х32 = x1x2.

Если существует какая-либо априорная информация об эффектах взаимодействия, то ее следует использовать при выборе реплики. В случае, когда предварительной информации нет, стремятся выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высокого порядка. Последнее связано с тем, что очень часто основные эффекты сильнее парных взаимодействий, парные – сильнее тройных, тройные – четверных и т.д.

3.9. Понятие о планах второго порядка

Речь идет о планировании эксперимента по идентификации модели более высокого порядка (квадратичной) вида:

152

Кроме того, необходимо, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. Опыты могут проводиться

в одной из двух областей: на k-мерном гиперкубе xj ≤ 1 или на

k

k-мерном гипершаре ∑ x2j ≤1.

j =1

Расчет коэффициентов уравнения (3.65) также проводится МНК, что соответствует матричной форме записи

Для построения модели (3.65) предложено большое количество планов. Наиболее широко распространены так называемые симметричные планы: планы типа 3k, разного рода композиционные (ортогональные, ротабельные, типа Вk); некомпозиционные планы Бокса-Бенкина; квази-D-оптимальные планы Песочинского и др.

Вкачестве примера рассмотрим композиционные планы.

Вданном случае композиционность означает последовательную достройку линейных планов до планов второго порядка. Эта процедура предполагает реализацию опытов ПФЭ или ДФЭ, а затем добавление к этим опытам («ядру» плана) некоторого количества так называемых «звездных точек». Такие планы обычно называют центральными, поскольку все опыты располагаются симметрично вокруг центра плана – основного уровня.

Например, один из центральных композиционных планов для k = 2 имеет вид, представленный в табл. 36.

153

Общее число опытов N композиционных планов при k факторах (если опыты не дублируются)

ных точек»; n0 – число опытов в центре плана.

Последовательность решения задачи состоит в следующем. Вначале ставят опыты 1–4, составляющие ядро плана и позволяющие построить либо линейную модель вида

k

y = b0 + ∑bj x j , (3.72)

j =1

либо неполную квадратичную модель вида

Если эти модели окажутся неадекватными, то добавляют опыты в звездных точках 5–8 и в центре плана (точка 9), что позволяет построить уже квадратичную модель.

Для композиционного плана второго порядка имеем следующий экспериментальный план:

154

Согласно экспериментальному плану и регрессионной модели в форме (3.68) получим матрицу [Х]

Матрицы коэффициентов [В] и [Y ] будут иметь вид

155

щий вид:

156

157

Анализ матрицы [М] показывает, что все нечетные моменты плана равны нулю. Под моментами понимают элементы матрицы [М] , а саму матрицу называют матрицей моментов. Итак, справедливо

Четные моменты не равны нулю, и для сокращения записи введем следующие обозначения:

Информационная матрица симметричного плана второго порядка имеет блочно-диагональный вид. Информационная матрица такого вида всегда будет соответствовать любому симметричному плану (композиционному и некомпозиционному). Справедливо и обратное утверждение: план называется симметричным, если он имеет информационную матрицу типа (3.78), в которой все нечетные моменты равны нулю. Все формулы, которые будут приведены ниже, будут справедливы для любого симметричного плана.

Ковариационная матрица будет иметь вид (3.82), а входящие в нее коэффициенты определяются выражениями

158

Формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии имеют вид

cov{b0bjj } = − Nb s2у; cov{bjjbvv} = − Nd s2у.

Свойства симметричных композиционных планов заметно зависят от величины звездного плеча α и числа опытов в центре плана n0. Величина α может быть определена, например, из условия ортогональности, которая упрощает вычислительные формулы и позволяет оценивать коэффициенты регрессии независимо друг от друга. Величина α2 определится по формуле

В табл. 37 приведены некоторые значения квадрата звездного плеча в зависимости от числа факторов и опытов симметричного композиционного плана.

Из табл. 37 видно, что значения звездного плеча могут быть по модулю намного больше 1, а значит, звездные точки будут выходить из факторного пространства, что может привес-

160