книги / Начала инженерного творчества

сов в цехе А и 20 часов в цехе В. Для сборки сепаратора – 15 часов и 10 часов соответственно. Необходимо, в соответствии с требованиями, осуществить проверку качества. Каждая мотопила должна быть испытана в течение 30 часов, сепаратор – в течение 10 часов, но все вместе не менее чем в течение 135 часов. По крайней мере общая численность продуктов мотопил и сепараторов должна быть не менее 5. Каков должен быть план работы цехов А и В, чтобы прибыль была максимальной, если издержки и доход от одной мотопилы составляют $2 000 и $3 000 соответственно, а от одного сепаратора – $1 500 и $2500 соответственно и на одну мотопилу должно приходиться не менее 3 сепараторов?

3.Придумайте самостоятельно проблему, которую можно представить как задачу ЛП.

4.От стандартного вида задачи ЛП вы перешли к каноническому. Чему стало равно число переменных?

2.2.4.3. Геометрическая интерпретация решения задач линейного программирования

Если задача ЛП является задачей с двумя неизвестными х1 и х2, то можно применить для ее исследования так называемый графический способ, основанный на геометрической интерпретации задачи ЛП.

Ограничения задачи ЛП определяют некоторую область в первой четверти плоскости xl0x2. Чтобы построить эту область (область планов задачи ЛП), необходимо графически решить систему неравенств, представляющих собой ограничения. Для этого изобразим область допустимых решений задач ЛП.

Известно, что любое линейное неравенство с двумя переменными делит плоскость на две полуплоскости, точки одной из которых удовлетворяют данному неравенству, точки другой – не удовлетворяют. Границей этих полуплоскостей является прямая, в уравнении которой левые и правые части такие

81

же, как и в данном неравенстве. Например, изобразим графически неравенство 2x1 −3x2 ≤ 6.

Алгоритм построения

1.Строится прямая 2x1 −3x2 ≤ 6.

2.Все точки, лежащие выше прямой, удовлетворяют данному неравенству. Для этого достаточно взять какую-нибудь точку из любой полуплоскости и проверить, удовлетворяют или нет ее координаты данному неравенству. Самое простое –

взять точку О(0, 0), 0x1 −0x2 ≤ 6.

Следовательно, выбранная точка принадлежит множеству точек, удовлетворяющих данному неравенству. Если неравенство нестрогое, то точки прямой также будут удовлетворять неравенству.

Рис. 11. Графическое изображение неравенства

2x1 −3x2 ≤ 6

Теперь ясно, как изобразить графически систему неравенств. Необходимо графически изобразить каждое неравенство, пересечение (общая часть) решений всех неравенств и будет изображать искомую область. Например, изобразим графически систему неравенств

82

Необходимо рассматривать только первую четверть, так как х1 и х2 неотрицательны. Решением данной системы является многоугольник, вершины которого находятся в точках (0, 0), (0, 10), (5, 8), (9, 4), (11, 0). Вершины многоугольника, являю-

щегося решением данной системы неравенств, определяются попарным решением линейных уравнений системы (2.34). Если данные неравенства суть ограничения задачи ЛП, то любая точка из полученного многоугольника (включая его границы) будет являться планом задачи ЛП (рис. 12).

Рис. 12. Ограниченный план задачи ЛП

Рассмотрим еще один пример. Изобразим графически решение следующей системы неравенств:

83

5x1 + x2 ≥ 15, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Чем отличаются решения систем неравенств (2.41) и (2.42)? В первом случае получен многоугольник, т.е. ограниченное множество; во втором – область оказалась неограниченной (рис. 13). Итак, области планов задач ЛП могут быть как ограниченными, так и неограниченными.

Рис. 13. Неограниченный план задачи ЛП

А как поступать в случае, когда система неравенств в ограничениях задачи ЛП изображается, например, в виде двух областей?

Этот случай свидетельствует о том, что задача ЛП сформулирована неправильно, так как различные условия (рис. 14) области А и Б противоречивы. Этот случай называется несо-

вместной задачей ЛП.

Теперь перейдем к графическому изображению целевой функции

Z = С1х1 + С2х2.

Если величина Z будет принимать различные значения Z1, Z2 ..., то очевидно, что целевая функция может быть изображена в виде параллельных между собой прямых. Например,

84

возьмем Z = 3x1 + 2x2. Придавая Z различные значения, изобразим прямые, соответствующие Z1 = 0, Z2 = 6, Z3 = 12.

Рис. 14. Несовместная область планов задачи ЛП

Введем следующие определения: прямая, имеющая общие точки с многоугольником и лежащая по одну сторону от него,

называется опорной прямой.

85

Соответственно, план задачи ЛП, принадлежащий опорной прямой и находящийся в вершине многоугольника, называется опорным планом (рис. 16).

Теперь становится ясным, как графически найти решение задачи ЛП, т.е. из множества точек, являющихся планами задачи ЛП, выбрать оптимальный план. Для этого необходимо:

1)построить область планов задачи ЛП;

2)построить прямую, соответствующую какому-нибудь значению целевой функции, например С1х1 + С2х2 = 0;

3)перемещать эту прямую параллельно самой себе до соприкосновения с областью допустимых планов задачи ЛП.

4)в случае решения задачи на максимум (минимум) эту

прямую перемещать в направлении вектора C (C1, C2) (противоположном), пока она не станет опорной. Точка опорной прямой, одновременно принадлежащая области допустимых планов, будет оптимальным решением.

Замечание. Этапы 2 и 3 можно объединить, т.е. сразу строить прямую, соответствующую какому-то значению целевой функции, которая бы имела общие точки с областью допустимых планов.

Примеры: Рассмотрим следующую задачу ЛП:

x1 + 6x2 ≥ 6, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Строим область планов задачи:

– строим прямую 2x1 + 5x2 = 0( A);

86

Рассмотрим случай задачи на максимум:

Изобразим область допустимых решений (треугольник ABC) и прямую (D), соответствующую нулевому значению целевой функции, т.е. 2x1 −5x2 = 0 (рис. 18)

Рис. 18. Область решений представляет треугольник

Прямая D не имеет общих точек с треугольником ABC, поэтому передвигаем прямую D в направлении, обратном вектору С, параллельно самой себе. Построим две опорные прямые Е и F.

Увеличение значения целевой функции происходит в направлении вектора (2; –5), следовательно, значение функции Z В точках прямой Е больше, чем в точках прямой F. В данном

88

случае максимум целевой функции находится в точке В (в точке С – минимум). Очевидно, что значения Z В любых других точках треугольника ABC меньше, чем в точке В, и больше, чем в точке С.

Графически определив точки, в которых целевая функция имеет минимум (или максимум), можно найти координаты этих точек. Для этого надо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными x1, x2. Эти уравнения определяются прямыми, на пересечении которых находится точка, являющаяся оптимальным планом.

В частности, в задаче (2.43) координаты точки В определяются из системы уравнений:

x1 + x2 = 2;

Тогда min Z =(6 5 )2 +(4 5) 5 = 325 .

В задаче (2.44) координаты В определяются из системы x1 + x2 = 4;

2x1 − x2 = 2.

Ее решение

x1 = 2; x2 = 2;

max Z = 2 (2)−5 (2)= −6.

Из приведенных примеров можно видеть, что оптимальный план любой задачи ЛП находится в точке, являющейся одной из вершин множества допустимых решений. Такие точки называются угловыми точками. В таком случае возникает во-

89

прос, как быть в случае, когда прямая, изображающая целевую функцию, становится опорной более чем в одной точке?

Этот случай возможен только тогда, когда прямая, изображающая целевую функцию, параллельна одной из сторон многоугольника решений, например, как на рис. 19.

(D) : C1x1 + C2 x2 = 0, (C1 > 0, C2 > 0).

Здесь прямая D соответствует нулевому значению целевой функции

Z = C1x1 + C2 x2 .

В этом случае максимум целевой функции определяется координатами любой точки отрезка АВ, в том числе и координатами угловых точек А и В. Это случай, когда задача ЛП имеет множество решений.

Графический способ решения задач ЛП применяется лишь в том случае, если число неизвестных равно двум. В принципе графически можно найти решения и для случая п = 3, но при этом необходимо строить плоскости в системе трех координат, наглядно изображать объемные картины. Во всех остальных случаях графический способ неприменим.

Аналитически задача ЛП решается симплекс-методом, который заключается в алгебраическом переборе угловых точек области решений в направлении улучшения целевой функции.

Пример 12. Задача об оптимальном плане выпуска стуль-

ев [21]. Мебельная фабрика может выпускать стулья двух типов ценою в 8 и 12 условных единиц (у.е.). Под заказ выделены материальные и людские ресурсы (табл. 15).

90