книги / Начала инженерного творчества

тимумов х11 и х21. Далее, оптимум ищут на прямой, соединяющей эти точки. Во всех поисках по направлению могут применяться любые одномерные методы поиска. После отыскания оптимума х3 вдоль направления х11–х21 опять ищут оптимум из точки х3 в первоначально заданном направлении и находят точку х31, затем опять в направлении х31–х11 ищут одномерным методом оптимум и т.д.

Вкачестве исходного направления задается обычно на-

правление одной из координатных осей (по х1 или по х2 и т.д.), хотя может задаваться любое направление.

Для квадратичных функций поиск заканчивается всего за три одномерных поиска, для неквадратичных – это итерационная процедура, сходящаяся к решению тем быстрее, чем ближе

R(x1, x2) к квадратичной функции.

Для трехмерной задачи (в случае квадратичного критерия оптимальности) необходимо сначала найти за три одномерных

поиска оптимум в одной плоскости (например, х3 = const1), затем в другой, параллельной ей (х3 = const2), далее потребуется один спуск вдоль направления точек оптимума в этих плоскостях.

Вслучае n-мерной квадратичной задачи общее число одномерных поисков будет определяться так:

Это число быстро растет с ростом размерности задачи. В целом метод успешно может применяться для задач невысокой размерности для функций, близких к квадратичным.

Пример 10. Для сравнения рассмотрим пример предыдущего раздела. Одна начальная точка х10 (1,4962, –1,0) совпадает с предыдущими точками в методах этой группы, в качестве другой выберем точку х20 (1,0,1,0) с R = 3,9719. Из первой точки ищем минимум по переменной х1, как и в методе Гаусса– Зайделя, получаем в результатe точку х11 (0,6962, –1) с R =

71

=1,6625. Из второй точки аналогичным образом ищем минимум и получаем точку х21 (0,1) c R = 2. В направлении через эти две точки опять ищем минимум критерия. Для этого можно

получить уравнение прямой типа х2 = k1х1 + k2, проходящей через две данные точки х11 и х21, изменять с шагом одну из пере-

менных, например х1 и вычислять соответствующее прямой значение х2. Такое уравнение в нашем случае имеет вид х2 =

=2,872 х1 – 1.

Меняем х1 и находим наилучшую точку на этой прямой (здесь для более точного нахождения применен следующий прием: из найденной лучшей точки при поиске с начальным шагом h = 0,1 еще раз ищем точку с h = 0,01, т.е. более точно, затем еще уточняют положение лучшей точки с еще более мелким шагом h). Найденная таким образом точка имеет координаты (0,3778, 0,0552) с R = 0,1239. Из этой точки опять ищем минимум по х1, с уменьшающимся шагом и получаем новую точку х31 (–0,0315, –0,0552) с R = 0,1239. Теперь аналогично предыдущему этапу ищем минимум по направлению от точки

х11 (0,6962, –1) к точке х3 (–0,0315, –0,0552) и получаем точку х4 с координатами (–0,0325, –0,0556) и R = 0,0071. Эту точку не удается улучшить поиском по х1, поэтому принимаем ее за решение.

2.2.3.Многомерная случайная оптимизация

Вметодах случайного поиска величина шага ∆x при построении улучшающей последовательности хм = х' + Ах' формируется случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг ∆x может быть различным в отличие от регулярных методов. Meтоды случайного поиска являются прямым развитием известного метода проб и ошибок, когда решение ищется случайно, и при удаче принимается, а при неудаче отвергается, с тем чтобы немедленно снова обратиться к случайности как к алгоритму поиска решения. При этом предполага-

72

ется, что случайность содержит в себе в том числе и искомое решение во всех его вариантах.

В литературе рассматриваются следующие методы: слепой поиск, метод случайных направлений, метод поиска с «наказанием случайностью», блуждающий поиск, которые отличаются эффективностью и возможностями.

Случайные методы поиска предпочтительнее регулярных в задачах высокой размерности n > 10 чаще при решении экономических задач. Поэтому здесь они рассматриваются кратко, преимущественно в ознакомительном плане. Методы этой группы позволяют в среднем быстрее выходить в район оптимума. Эффективны рассматриваемые методы и при поиске глобального оптимума.

Как и в предыдущих случаях, на рис. 10 приводятся лишь по одной из возможных траекторий поиска каждым из ниже рассматриваемых методов.

Рис. 10. Иллюстрация траекторий поиска оптимума функции методами случайного поиска: 1 – область оптимума; 2 – траектория метода случайных направлений; 3 – траектория метода с наказанием случайностью; 4 – траектория метода блуждающего поиска; 5 – начальные точки поиска

Кроме того, случайные методы имеют такую особенность, что даже при одних и тех же неформально задаваемых параметрах они дадут различные траектории поиска. Здесь, так же

73

как и в предыдущих случаях, приведенные траектории начинаются из различных начальных условий, с тем чтобы не загромождать построения.

2.2.4. Линейное программирование

Линейное программирование (ЛП) – это одна из математических задач оптимизации, которая широко применяется

винженерной деятельности.

Всвоей деятельности специалисты должны не просто искать решение какой-либо проблемы, а находить наилучшее (оптимальное) решение. Например, при выборе варианта технологического оборудования для изготовления тех или иных деталей желательно обеспечить их минимальную себестоимость [13]. Менеджеры предприятия, производящего несколько видов продукции, должны знать, сколько и какого вида продукции необходимо выпускать, чтобы доход был как можно больше или издержки как можно меньше [11]. С использованием ЛП решаются задачи перевозок, снабжения и многие другие.

2.2.4.1.Ограничения и целевая функция задач линейного программирования

Решение любой проблемы начинается с правильной постановки задачи. Если были допущены ошибки в формулировке задачи, то это приведет к неправильным конечным результатам, даже при безукоризненном решении.

Все модели ЛП имеют две основные составляющие части:

целевую функцию и ограничения.

Целевая функция описывает некоторое количество, которое должно быть минимизировано или максимизировано. Например, целевая функция может иметь смысл цены продажи или затрат выпускаемой продукции какого-то предприятия. Возникает естественный вопрос: сколько и какого вида продукции необходимо изготовить предприятию, чтобы получить

74

максимальную прибыль или снизить себестоимость, время изготовления и т. д. При составлении задачи учитываются также ограничения на функционирование исследуемого объекта.

Пример 11. Качество железной руды, добываемой на четырех шахтах, зависит от количества трех основных компонентов, которые мы условно обозначим через А, В, С. В частности, каждая тонна руды должна содержать по крайней мере 5 кг компонента А, 100 кг компонента В и 30 кг компонента С. Содержание компонентов в руде, добываемой в каждой из шахт, показано в табл. 13.

Анализ приведенных данных показывает, что, например, руда из первой шахты удовлетворяет требованиям по содержанию компонентов А и С, но не удовлетворяет требованиям по содержанию компонента В. Соответствующие выводы можно легко сделать и по остальным шахтам.

Очевидно, что для того чтобы иметь руду, содержащую достаточное количество компонентов А, В и С, необходимо смешивать руды из различных шахт. Это можно сделать разными способами.

Однако руда из каждой шахты имеет свою цену, а именно: одна тонна из шахты 1 стоит $800, из шахты 2 – $400, из шах-

ты 3 – $600, из шахты 4 – $500.

75

Чем должен руководствоваться менеджер предприятия, покупающего руду? Естественно тем, чтобы цена была как можно меньшей и при этом руда должна быть необходимого качества. Данную реальную проблему можно сформулировать как математическую задачу.

Обозначим через Х1 количество руды, которое должно содержаться в одной тонне смеси, добываемой из шахты 1. Аналогично: Х2, – количество руды из шахты 2, Х3 количество руды из шахты 3, Х4 – количество руды из шахты 4.

Цена одной тонны смеси будет выражаться целевой функ-

цией

Выражение 10X1 + 3X 2 + 8X3 + 2X 4 будет определять со-

держание компонентов А в одной тонне смеси. Поскольку это количество по условию должно быть не менее 5, то получаем

Все величины Х1, Х2, Х3, Х4 должны быть неотрицательны.

Необходимо найти такие неотрицательные значения Х1, Х2, Х3, Х4, которые бы минимизировали функцию (2.23) и удовлетворяли бы ограничениям (2.24–2.28).

Из вышеизложенного следует, что задачи линейного программирования это такие задачи, в которых целевая функция

76

есть линейная функция, а ограничения – линейные равенства или неравенства.

2.2.4.2. Общая постановка задач линейного программирования

Как правило, большинство реальных проблем, которые можно сформулировать как задачи ЛП, имеют дело с достаточно большим количеством факторов. Поэтому приведем формулировку задач ЛП в общем виде, т.е. когда число неизвестных равно n, а число ограничений равно m.

Найти такие значения неизвестных х1, х2, ..., хn, которые бы максимизировали (или минимизировали) целевую функцию

Знак ≤ подразумевает, что ограничения могут иметь вид

«=», «≥», «≤».

Выражение (2.29) – целевая функция задачи ЛП; Неравенства (2.30) и (2.31) – ограничения задачи ЛП. Величины С1, С2, ..., Сп в выражении (2.29) называются

коэффициентами целевой функции;

aij (i = 1, 2, ..., m; j = l, 2, ..., n) – коэффициенты условий (2.31);

bi – правые части ограничений (2.30); условия (2.31) – условия неотрицательности.

Соотношение между числом условий т и количеством неизвестных п, как правило, произвольно.

77

Все ограничения задачи образуют некоторую область

вn-мерном пространстве, которую называют областью реше-

ний или областью планов задачи ЛП.

Любая точка n-мерного пространства называется решени-

ем или планом задачи ЛП, если ее координаты (х1, х2, ..., хn)

удовлетворяют всем ограничениям задачи ЛП.

План называется оптимальным, если его координаты обеспечивают минимум или максимум целевой функции.

Ограничения, имеющие первоначально вид неравенств, можно свести к равенствам добавлением в каждое ограничение новых переменных, число которых равно числу ограничений.

Для иллюстрации этой возможности рассмотрим задачу,

вкоторой ограничения, например, имеют вид

Правые части всех неравенства превосходят на какую-то неотрицательную величину левые части. Если мы к левым частям добавим новые неотрицательные переменные х3, х4 и х5 соответственно, то при определенных значениях этих неизвестных неравенства станут равенствами, т.е.

78

x1 + x2 + x3 + x4 =1.

Здесь уже левые части первых трех неравенств превосходят на какую-то неотрицательную величину правые части. Необходимо от левых частей отнять некоторые неотрицательные переменные х5, х6, х7, такие, что неравенства превратятся в равенства, т.е.

Переменные, которые надо прибавить к левым частям неравенств вида «<» или отнять от левых частей неравенств вида «>», чтобы неравенства превратились в равенства, называются

вспомогательными или дополнительными переменными.

Значения дополнительных переменных неизвестны заранее. При вводе дополнительных переменных задача ЛП изменяется, так как увеличивается число неизвестных. Эти новые неизвестные должны быть введены в целевую функцию. Дополнительные переменные имеют конкретную интерпретацию.

Если ограничения задачи ЛП записаны в виде неравенств, то говорят, что данная задача записана в стандартном виде. Если все ограничения имеют вид равенств, то говорят, что данная задача ЛП представлена в каноническом виде.

Можно использовать векторы и матрицы для записи задачи ЛП. Действительно, из коэффициентов ограничений aij без труда составляется матрица

79

Запишем матрицы неизвестных, правых частей и целевой функции соответственно:

Тогда стандартную задачу ЛП можно записать так:

Задания

1. Предприятие ИВЦ «Техномаш» выпускает два вида огнетушителей – порошковые и аэрозольные. Цифровые данные о месячной производительности приведены в табл. 14. Сколько огнетушителей каждого типа должно производить предприятие в месяц, чтобы прибыль была максимальной?

Примечание. Прибыль от продажи порошкового огнетушителя составляет 40 ед., аэрозольного – 30 ед.

2. В двух цехах А и В одного завода собирается два вида продукции – мотопилы и сепараторы.

Допустимое время работы цеха А – 150 часов в месяц, цеха В – 160 часов в месяц. На сборку мотопилы требуется 10 ча-

80