книги / Начала инженерного творчества

В этом случае для ортогональных планов дисперсионная матрица также имеет диагональный вид

а формула для определения неизвестных коэффициентов принимает вид

i=1

Все статистические свойства коэффициентов как случайных величин, а следовательно, и уравнения регрессии определяет ковариационная матрица [D], умноженная на дисперсию

воспроизводимости s2y ,

141

где сvv , c jj , cvj – соответствующие элементы ковариационной матрицы [D].

Предложенная ранее методика определения значимости коэффициента в модели с использованием выражения (3.31) является недостаточной при неортогональном планировании, поскольку строгая оценка значимости должна оценивать доверительную область одновременно для всех коэффициентов с учетом ковариаций. В связи с этим при неортогональном планировании проверка статистической значимости коэффициента является непростой задачей. Тем не менее рекомендуется и в этом случае проверять гипотезу о значимости коэффициентов по критерию Стьюдента.

142

При ортогональном планировании матрица дисперсий коэффициентов имеет вид

Таким образом, при ортогональном планировании дисперсии оценок коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле

или, если выполняется условие нормировки, то (3.54) принимает вид

bj N

Таким образом, при ортогональном планировании все ковариации и коэффициенты парной корреляции равны нулю, что подтверждает независимость рассчитанных коэффициентов друг от друга.

Поскольку коэффициенты модели bj являются случайны-

ми величинами, то и рассчитанные по модели значения функции отклика y0i являются случайными величинами, которые

характеризуются дисперсией предсказания s2y0i . По закону сло-

143

с центром в основном уровне.

Таким образом, дисперсия предсказания зависит от экспе-

пространстве ρi . Следовательно, в любом направлении на

одинаковом расстоянии от центра эксперимента полученное уравнение предсказывает значение y0i с одинаковой точно-

стью – дисперсией s2y0i . Планы, для которых выполняется ус-

144

ловие (3.59) получили название ротабельных. Случай ротабельности особо предпочтителен в задачах оптимизации, так как в этих задачах направление движения заранее неизвестно, и поэтому хотелось бы иметь в любом направлении одинаковые предсказательные возможности.

3.7. Критерии оптимальности экспериментальных планов

Такие свойства экспериментальных планов, как симметричность, нормировка, ортогональность, ротабельность, не исчерпывают возможные свойства планов. Для оценки и сравнения планов используют математические критерии их оптимальности, которые обычно связывают со строением ковариационной матрицы или с организацией и порядком проведения опытов.

В первую группу входят критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов уравнения регрессии. Сюда относят такие свойства планов, как ортогональность, D-, A-, E-опти- мальность и др. Этим критериям можно дать геометрическую интерпретацию в пространстве коэффициентов b0, b1, …bk. Оценки этих коэффициентов являются случайными величинами, а поэтому имеют разброс, который может быть охарактеризован (k+1)-мерным эллипсоидом рассеяния оценок. Ориентировка, форма и объем эллипсоида полностью определяются выбранным планом эксперимента, точнее строением информационной (или дисперсионной) матрицы. Перечислим некоторые критерии первой группы.

Ортогональность – очень удобное свойство планов. Она приводит к диагональному виду матриц [М] и [D], позволяет

оценивать все коэффициенты регрессии независимо друг от друга и поэтому усложнять или упрощать модель, исключая или добавляя коэффициенты без пересчета найденных. Число вычислений при этом минимально. Эллипсоид рассеяния ори-

145

ентирован таким образом, что направления его главных осей совпадают с направлением координатных осей в пространстве коэффициентов.

D-оптимальными называют планы, которым соответст-

вует

det[M ]= max или det[D] = min.

Определитель ковариционной матрицы пропорционален объему эллипсоида рассеяния. Следовательно, D-оптималь- ность приводит к получению эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов минимального объема. В статистическом смысле D-оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии всех оценок коэффициентов.

А-оптимальными называют планы, которым соответствует минимальное значение следа (т.е. суммы диагональных элементов) ковариационной матрицы. Поскольку на диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии оценок коэффициентов, то А-оптимальность обеспечивает минимум суммы дисперсий этих оценок без учета их ковариаций, или, другими словами, минимум средней дисперсии оценок. При этом эллипсоид рассеяния оценок коэффициентов имеет минимальную сумму квадратов осей и наименьшую длину диагонали прямого параллелепипеда, описанного вокруг этого эллипсоида.

Е-оптимальным планам соответствует наименьшее максимальное собственное значение (характеристическое число) матрицы [D]. Е-оптимальность минимизирует длину макси-

мальной оси эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов, т.е. не позволяет ему приобретать слишком вытянутую форму. Со статистической точки зрения она не дает возможности некоторым оценкам коэффициентов иметь слишком большие дисперсии или ковариации.

Критерии оптимальности второй группы определяют точность предсказания значений функции отклика с помощью построенной модели. В эту группу относят такие свойства пла-

146

нов, как ротабельность, униформность, G- и Q-оптимальность, максимальная точность координат экстремума и др.

Ротабельность обеспечивает одинаковую точность предсказания для точек, равно удаленных от центра плана по любому направлению. Иными словами, дисперсии предсказания инвариантны (независимы) относительно вращения координатных осей факторного пространства.

Униформность (равномерность) в дополнение к ротабельности требует, чтобы в некоторой области вокруг центра плана дисперсия предсказания оставалась примерно постоянной.

G-оптимальные планы минимизируют максимально возможную дисперсию предсказания. G-оптимальность гарантирует отсутствие в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точность оценки функции отклика.

Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию предсказания.

К третьей группе относят свойства планов, связанных со стратегией проведения экспериментов. Укажем некоторые из них.

Как правило, экспериментатор должен использовать минимальное число опытов. Этот минимум задается числом коэффициентов модели, а приближение к нему служит мерой на-

сыщенности планов.

Важным является шаговый принцип планирования эксперимента. C ним связана и композиционность планов. При композиционной стратегии эксперимент реализуется по частям, шаг за шагом. Решение о продолжении эксперимента и выборе метода на каждом последующем шаге принимают только по результатам предыдущего. Композиционные планы предполагают постепенное усложнение строящейся модели, переход от линейной к квадратичной, а в некоторых случаях к моделям более высокого порядка.

В ряде случаев композиционность планов является нежелательным свойством, поскольку композиционная стратегия

147

может привести к сокращению числа опытов, но не к сокращению общего времени работы, связанного с каждой новой подготовкой опытов.

Для борьбы с систематическими действующими во время эксперимента неконтролируемыми факторами используют рандомизацию, предусматривающую проведение опытов плана в случайном порядке с использованием таблицы случайных чисел.

Выбор критерия оптимальности и способа проведения эксперимента осуществляют исходя из конкретного содержания задачи. Построить планы, удовлетворяющие одновременно многим критериям оптимальности, удается только в отдельных случаях. В частности, планы ПФЭ, как и рассматриваемые ниже планы ДФЭ, являются одновременно D-, A-, E- и G-опти- мальными. Математически строго задача построения планов, близких к оптимальным сразу по нескольким критериям, пока не решена. Однако при отсутствии априорной информации о нелинейности модели следует отдавать предпочтение планам ПФЭ или ДФЭ, а в случае установления неадекватности линейной модели переходить к планам для идентификации моделей более высокого порядка.

3.8.Дробный факторный эксперимент для двухуровневых факторов

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию, однако с ростом числа факторов число опытов в нем резко возрастает. Так, при трех факторах следует поставить 23 = 8 опытов, при пяти 25 = 32, а уже при восьми 28 = 256 опытов.

В то же время, начиная эксперимент, исследователь часто не знает, в какой части изучаемой поверхности отклика он находится. Поэтому, естественно, в начале нужно попытаться получить некоторую, хотя бы и не очень точную, информацию при минимальной затрате труда на проведение эксперимента.

148

Именно из этих соображений на первых этапах ограничиваются построением лишь линейной модели локального участка поверхности отклика. Но если ограничить задачу только линейным описанием, использование полного факторного эксперимента становится явно нецелесообразным, поскольку число его опытов заметно превышает число коэффициентов линейного уравнения. Возникает желание сократить число опытов за счет той информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов и которая для построения постулируемой линейной модели несущественна.

Рассмотрим снова ПФЭ 22. Мы уже видели, что с его помощью с учётом эффектов взаимодействия можно построить модель вида

Однако, если есть основания предположить, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить всего три коэффициента: b0, b1, b2. Тогда квадратичный эффект взаимодействия факторов x1x2 , учитываемый коэффициентом b12, возмож-

но, имеет малую величину. Это предположение позволяет включить в схему эксперимента еще один новый фактор x3.

Для этого производится замена столбца взаимодействия x1x2 на столбец x3 с теми же знаками. Эта процедура записывается как x3 = x1x2. Таким образом, получена матрица планирования

уже для трех факторов (табл. 35). Формула ДФЭ записывается в виде

где k – число исследуемых факторов; p – число эффектов взаимодействия, заменяемых на действие нового фактора.

149

По результатам проведения опытов спланированного эксперимента можно построить линейную модель уже для трех факторов при числе опытных точек четыре, и число определяемых коэффициентов линейной модели также равно четырём.

и планы ПФЭ, обладают свойствами симметричности, норми-

ровки, ортогональности и ротабельности.

Наиболее важное отличие описанного планирования ДФЭ от полного факторного эксперимента заключается в следующем. Из плана видно, что величина коэффициента b3 в точности совпадает с величиной коэффициента b12 (знаки столбцов x3 и x1x2 одинаковые). Если в дополнение к столбцам, указанным в плане, построить столбцы x1x3 и x2x3, то они в точности совпадут со столбцами x2 и x1 соответственно и, следовательно, коэффициенты b13 и b23 совпадут соответственно с коэффициентами b2 и b1. Таким образом, планы ДФЭ уже не позволяют получить раздельные, независимые оценки коэффициентов, как это делалось при полном факторном эксперименте. В данном

150