Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Рис. 1.1

Ответ: непрерывной.

Вопрос 1.1.9

Если функция y = f (x) … на [a,b], то она достигает на

этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Решение:

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она

достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Пусть yнаиб = M , yнаим = m.

Возможны следующие ситуации:

1.Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a; b] ,

вточке x1 M = f (x1 ).

Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a; b] , в точке x2 m = f (x2 ) (рис. 1.2).

2.Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a;b],

вточке x1 M = f (x1 ), а наименьшее значение на одном из кон-

цов отрезка, например в точке x = b, m = f (b) (рис. 1.3).

3.Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a;b],

вточке x1 m = f ( x1 ), а наибольшее значение на одном из концов

отрезка, например в точке x = a, M = f (a) (рис. 1.4).

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Рис. 1.4

4.Если функция на отрезке [a;b] монотонно возрастает, то

еенаибольшее значение будет f (b) (на правом конце отрезка),

а наименьшее f (a) (на левом конце отрезка) yнаиб = f (b), yнаим = f (a) (рис. 1.5).

Рис. 1.5

5. Если функция монотонно убывает, то ее наибольшее значение будет f (a) (на левом конце отрезка), а наименьшее f (b)

(на правом конце отрезка): yнаиб = f (a), yнаим = f (b) (рис. 1.6).

Рис. 1.6

6. Если функция является константной, в этом случае наибольшее и наименьшее значения равны, т.е. f (a) = f (b) и

M = m (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Ответ: непрерывна.

Вопрос 1.1.10
Если функция является бесконечно большой при	x → x0 ,
то прямая x = x0 есть вертикальная … графика функции.
Решение:
Вертикальная асимптота x = x0 существует только тогда,
когда точка x0 является точкой разрыва второго рода,	т.е. если

хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 равен беско-

нечности.

Ответ: асимптота.

§1.2. Задачи

Задача 1.2.1

На числовой прямой дана точка x = 3,6. Тогда ее «ε-окрест- ностью» может являться интервал ... .

1.(3, 2;4,0).

2.(3, 4;3,6).

3.(3,0;3, 4).

4.(3,6;3,7).

Решение:

ε-Окрестностью точки x0 называется интервал (x0 − ε; x0 + ε)

(рис. 1.8).

Рис. 1.8

Интервал (3, 2;4,0) является ε-окрестностью точки x0 = 3,6

при ε = 0, 4.

Ответ: 1.

Задача 1.2.2			3n4	− 2n2 + 1
Значение предела lim			3n4	− 2n2 + 1		равно ... .
Значение предела lim				+ 5n2 + 3		равно ... .
Решение:		n→∞ 6n4		+ 5n2 + 3
Решение:	3n4	− 2n2 + 1
Выражение	3n4	− 2n2 + 1		при n → ∞ представляет собой не-
Выражение	6n4 + 5n2 + 3			при n → ∞ представляет собой не-
	6n4 + 5n2 + 3
определенное выражение типа ∞					.
				∞

Разделим все слагаемые числителя и знаменателя на n4.

Учитывая,

что при

n → ∞ слагаемые

стре-

мятся к нулю, получим

−

− 2n

+ 1

3 −

lim

3 − 0 + 0

lim

= lim

n→∞

6n4 + 5n2 + 3

6 + 0 + 0

n→∞

6 +

lim

Ответ: 0,5.

n→∞

Задача 1.2.3

(

)

Значение предела lim

n − 17 −

n + 13

равно ... .

Решение:

n→∞

Выражение под знаком предела при n → ∞ представляет со-

бой неопределенное выражение типа (∞ − ∞).

Умножим и разделим данное выражение на сопряженное,

т.е. на

n − 17 +

n + 13.

( n − 17 − n + 13)( n −17 + n + 13)

lim

n − 17 − n + 13

= lim

(

− 17 +

n + 13)

n→∞ (

)

n→∞

= lim

n − 17 − (n + 13)

= lim

−30

= 0.

( n − 17 + n + 13)

n + 13 )

n→∞

n→∞ ( n

− 17 +

Ответ: 0.

Задача 1.2.4
Значение предела lim			x2	+ 4x − 2	равно ... .
Значение предела lim				2x + 3	равно ... .
		x→1		2x + 3
1)	3	;
	5
2)	1	;
	2
3)	−1;
4) 0.

Решение:

Поскольку пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля, предел частного равен отношению пределов числителя и знаменателя, т.е.

	f ( x)		lim f ( x)
lim	f ( x)	=	x→ x0	.
lim	g ( x)	=	lim g ( x)	.
x→ x0	g ( x)		lim g ( x)
			x→ x0

В данном случае

Ответ: 1.

Задача 1.2.5

lim	x2	+ 4x − 2	=	lim (x2 + 4x − 2)	=	3	.
				x→1
		2x + 3		lim(2x + 3)		5
x→1		2x + 3		lim(2x + 3)		5
				x→1

Значение предела lim	6	равно ... .

x→∞ 2x + 3

1)0;

2)2;

3)43 ;

4)∞.

Решение:

При x → ∞ знаменатель дроби неограниченно растет. Вели-

чина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

Таким образом, lim			6	= 0.
Таким образом, lim				= 0.
		x→∞ 2x + 3
Ответ: 1.
Задача 1.2.6			x2 + 4
Значение предела lim			x2 + 4		равно ... .
Значение предела lim			3x − 6		равно ... .
		x→ 2	3x − 6
1)	∞;
2)	1	;
	3	2 ;
3)	−	2 ;
4) 0.		3
4) 0.

Решение:

При x → 2 знаменатель дроби стремится к нулю. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Таким образом, lim x2 + 4 = ∞. x→ 2 3x − 6

Ответ: 1.

Задача 1.2.7

Значение предела lim x ( x + 2 + 2x − 3 ) равно ... .

x→ +∞

1)+∞;

2)0;

3)2;

4)1.

Решение:

Поскольку lim	x + 2 = +∞ и lim 2x − 3 = +∞,	функция
x→ +∞	x→ +∞
y = x + 2 + 2x − 3 является бесконечно большой при		x → +∞.

Произведение двух бесконечно больших функций есть бесконеч-

но большая функция. Ввиду этого lim x ( x + 2 + 2x − 3 ) = +∞.

x→ +∞

Ответ: 1.

Задача 1.2.8

Значение предела	lim	2x		равно ... .
			3
	x→ + ∞ 1 + sin
			x

1)+∞;

2)0;

3)2;

4)1.

Решение:

Найдем пределы числителя и знаменателя дроби:

lim 2x = 2+∞ = +∞.

x→ + ∞

При

x → +∞ знаменатель дроби

неограниченно растет,

следовательно,

является величиной бесконечно малой.

Тогда lim sin

= sin

lim 3

= sin 0 = 0.

x→+∞

x→+∞ x

Таким образом,

lim 1 + sin

= lim 1 + lim sin

3 = 1 + 0 = 1.

x→+∞

Предел частного равен +∞.

Ответ: 1.

Задача 1.2.9

2x+3

Значение предела lim

равно ... .

x→ 0

ln 2 +

1) 0;

2) ∞;

;

ln 2

4) 1.

Решение:

Найдем пределы числителя и знаменателя дроби:

lim 2x+3 = 23 = 8.

x→ 0

При x → 0 величина	1		бесконечно большая, тогда выраже-
	x
ние 2 + 1 → ∞. Следовательно, limln						2 + 1 = ∞.
x				x→0		x
x						x
Переменная величина				1		при x → 0 является обрат-
Переменная величина				2 +	1	при x → 0 является обрат-
		ln		2 +	x
					x

ной к бесконечно большой и потому бесконечно мала.

Такимобразом, lim	2x+3					= lim		1		lim 2x+3 = 0 8 = 0.
Такимобразом, lim				1		= lim			1	lim 2x+3 = 0 8 = 0.
x→ 0		2 +		1		x→0		2 +	1	x→ 0
	ln	2 +		x			ln	2 +	x
				x					x
Ответ: 1.
Задача 1.2.10
Значение предела lim			x3	− 8		равно ... .
Значение предела lim			2x	−	4	равно ... .
	x→2		2x	−	4

Решение:

Выражение под знаком предела при x → 2 представляет со-

бой неопределенное выражение типа 0 . Разложим на множи-

тели числитель и знаменатель дроби. Для этого к числителю применим формулу

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ); x3 − 8 = ( x − 2)(x2 + 2x + 4),

а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель. Таким образом,

lim

x3 − 8

= lim

(x − 2)(x2 + 2x + 4)

= lim

x2 + 2x + 4

x→2 2x − 4

x→2

2(x − 2)

x→2

lim(x2

+ 2x + 4)

= 6.

x→2

Ответ: 6.

Задача 1.2.11

2x2 − 11x + 5

Значение предела lim

равно ... .

x2 − 7x + 10

x→5

1)1;

2)2;

3)3;

4)4.

Решение:

Выражение под знаком предела при x → 5 представляет со-

бой неопределенное выражение типа	0		. Разложим квадратные
	0

трехчлены в числителе и знаменателе на множители по формуле

ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),

где

x1,2 =

−b ±

b2 − 4ac

– корни

квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Имеем 2x2 −11x+5= 2(x

−5) x−

и x2

− 7x +10 = (x − 5)(x − 2).

− 11x +

2(x − 5) x −

Таким

образом,

lim

= lim

x2 − 7x + 10

( x − 5)( x − 2)

x→5

→5

2 x −

= lim

= 9 = 3.

(x − 2)

x→5

Ответ: 3.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги