книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

тельно найти производную первого порядка, затем второго и третьего порядков:

y′ = 2(3x − 15)(3x − 15)′ = 2(3x − 15) 3 = 6(3x − 15); y′′ = ( y′)′ = (6(3x − 15))′ = 18;

y′′′ = ( y′′)′ = (18)′ = 0; yIV = ( y′′′)′ = (0)′ = 0.

61

Подставляя t = 1, получим значение второй производной функции, заданной параметрически:

неявно уравнением y = cos(x + y) , и значение этой производной в

точке M 0; π .

2

Для этого продифференцируем обе части равенства y = cos(x + y), учитывая, что y является функцией от x и, следо-

вательно, x′ = 1, а ( y)′ = y′:

( y)′ = (cos( x + y))′;

y′ = − sin ( x + y)( x + y)′; y′ = − sin ( x + y)(1+ y′).

sin (x + y)

Отсюда y′ = − 1+ sin (x + y) .

Подставляя x = 0 и y = π2 , получим значение первой произ-

водной в точке M 0; π , т.е.

2

62

Ответ: 0.

63

Задача 2.2.20

Дифференциал функции y = 2sin x равен … .

1)dy = sin x2sin x−1 dx;

2)dy = sin x2sin x−1 cos xdx;

3)dy = 2sin x dx;

4)dy = 2sin x cos x ln 2dx.

Решение:

Чтобы найти дифференциал какой-либо функции, надо найти производную этой функции и умножить ее на дифференциал

независимой переменной, т.е. dy = f ′( x)dx.

Таким образом, если y = 2sin x, то dy = (2sin x )′ dx =

= 2sin x cos x ln 2dx.

Ответ: 4.

Задача 2.2.21

Дифференциал функции y = ex ln(x − 5) равен … .

3)dy = ex ln(x − 5) − 1 dx;

x

Решение:

Ответ: 4.

64

y′ = x′ey + x(ey )′; y′ = ey + xey y′; y′ (1 − xey ) = ey.

65

Вычислим производную неявной функции в точке M (0;0):

dy = y′ x = 1 0,01 = 0,01.

Ответ: 0,01.

66

III.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

§3.1. Вопросы тестовых заданий

Вопрос 3.1.1

Каким из сформулированных ниже условий должна удовлетворять функция, чтобы в интервале (a; b) существовала по

крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль (рис. 3.1)?

Рис. 3.1

1.Функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b].

2.Функция f ( x) имеет конечную производную в каждой точке интервала (a;b).

3.Функция f (x) принимает равные значения на концах отрезка f (a) = f (b).

4.Функция f (x) непрерывна на интервале (a;b).

5.Функция f ( x) принимает неравные значения на концах отрезка f (a) ≠ f (b).

67

Решение:

Согласно теореме Ролля (теореме о корнях производной), для функции f ( x) на интервале (a;b) существует по крайней мере одна точка c, в которой производная обращается в нуль

(т.е. касательная к графику функции параллельна оси абсцисс), если выполнены следующие условия:

1)функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b];

2)функция f ( x) имеет конечную производную в каждой точке интервала (a;b);

3)функция f ( x) принимает равные значения на концах отрезка f (a) = f (b).

Ответы: 1, 2, 3.

Вопрос 3.1.2

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет конечную производную в каждой точке интервала(a;b), то найдется по крайней мере одна, внутренняя, точка c (a;b), для которой выполнено равенство … :

1)f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a);

2)f ′(c) = 0, a < c < b;

3)f (b) − f (a) = f ′(c).

Решение:

Согласно теореме Лагранжа, если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет конечную производную в каждой точке интервала(a;b), то найдется по крайней мере одна внутренняя, точка c (a;b), для которой выполнено равенство f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).

Ответ: 1.

68

Вопрос 3.1.3

Каким из сформулированных ниже условий должны удовлетворять функции f (x) и ϕ(x), чтобы внутри отрезка [a;b] на-

1)функции f (x) иϕ(x) непрерывны на интервале (a;b);

2)функции f (x) иϕ(x) непрерывны на отрезке [a;b];

3)функции f (x) иϕ(x) имеют конечные производные во всех точках интервала (a;b);

4)ϕ′(x) ≠ 0 для любого x (a;b);

5)функции f (x) иϕ(x) имеют нулевые производные во всех

точках отрезка [a;b].

Решение:

Согласно теореме Коши, если функции y = f (x) и y = ϕ(x) непрерывны на отрезке [a;b] и имеют конечные производные в

69

Рис. 3.2

70