книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций
.pdf
II. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§2.1. Вопросы тестовых заданий
Вопрос 2.1.1
Разность f (x0 + x) − f ( x0 ) называется … функции f ( x) в
точке x0 .
Решение:
Приращением функции f (x) в точке x0 называется разность f (x0 + x) − f ( x0 ) (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Ответ: приращением.
Вопрос 2.1.2
Если y – приращение функции y( x), а x – приращение аргумента, то производной y′ ( x) называетсяконечныйпредел … .
1) |
lim |
y |
; |
|
x→0 |
x |
|
2) |
lim |
x |
; |
|
x→0 |
y |
|
3) |
lim |
y |
; |
|
x→∞ |
x |
|
41
4) lim |
x . |
|
|
x→∞ |
y |
|
|
Решение: |
|
|
|
Производной функции y = f (x) |
называется конечный предел |
||
отношения приращения функции y |
к приращению аргумента x, |
||
когдапоследнее произвольным образом стремитсяк нулю, т.е. |
|||
y′ ( x) = lim |
y . |
|
|
|
x→0 |
x |
|
Ответ: 1. |
|
|
|
Вопрос 2.1.3 |
|
|
|
Производная функции y = f (x) |
в точке x0 равна … угла на- |
||
клона касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в
точке (x0 , f (x0 )).
Решение:
Производная функции у = f (x) в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = f (x) в точке M0 (x0 ; f (x0 )) (рис. 2.2).
Рис. 2.2
42
Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ox, значение производной f ′( x0 ) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у = f (x) в точке с абсциссой x0 .
Ответ: тангенсу.
Вопрос 2.1.4
Указать случаи, где f ′(x0 ) > 0: 1.
2.
3.
43
4.
Решение:
Если α – угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ox, то
f ′(x0 ) = tg α.
В первом и третьем случаях f ′(x0 ) > 0, так как угол, кото-
рый образует касательная с положительным направлением оси Ox, острый.
Во втором случае f ′(x0 ) < 0, так как угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ox, тупой.
В четвертом случае f ′(x0 ) = 0, так как f (x) = const.
Ответ: 1, 3.
Вопрос 2.1.5
Уравнение касательной, проведенной к графику функции у = f (x) в точке с абсциссой x0 , имеет вид… .
1) |
у − y0 |
= − |
1 |
(х− х0 ); |
|
f ′(х ) |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
2) |
у − y0 |
= f ′( x0 )(х− х0 ); |
|||
3) |
у − y0 |
= − f ′( x0 )( х− х0 ); |
|||
4) |
у − y0 |
= f ′ (x0 ) + (х− х0 ). |
|||
44
Решение:
Касательная к графику функции у = f (x) в точке M0 (x0 ; y0 ), где y0 = f (x0 ) есть прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент k = f ′( x0 ).
Ввиду этого уравнение касательной можно найти, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку
в заданном направлении у− y0 = k (х− х0 ).
Учитывая, что k = f ′( x0 ), имеем у − y0 = f ′(x0 )(х− х0 ).
Ответ: 2.
Вопрос 2.1.6
Предельное положение секущей M0 M кривой L при стрем-
лении точки M к точке M0 |
по кривой называется … к кривой L |
в точке M 0 . |
|
Решение: |
L в точке M0 есть прямая, зани- |
Касательная к кривой |
мающая предельное положение секущей M0 M при стремлении точки M по кривой L к точке M0 (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Ответ: касательной.
45
Вопрос 2.1.7
Если u = u (х) – дифференцируемая функция, а С = const, то … .
1)(u + C )′ = u′ + C;
2)(u + C )′ = u′;
3)(C )′ = C;
4)(Cu)′ = Cu′.
Решение:
Справедлива теорема: если u = u ( х), v = v( x) – дифференцируемые функции, то u + v, u − v, uv также являются дифференцируемыми функциями, при этом
(u ± v)′ = u′ ± v′, (uv)′ = u′v + uv′.
Учитывая, что производная постоянной функции равна нулю, найдем производные функций u + C, Cu:
(u + C )′ = u′ + C′ = u′, (Cu)′ = C′u + Cu′ = Cu′.
Ответ: 2, 4.
Вопрос 2.1.8
Если u = u (х) и v = v(х) – дифференцируемые функции,
аС = const, то … .
1)(uv)′ = u′v + v′u;
2)(uv)′ = u′v′;
3)(Cv)′ = C2v′;
4)(uv)′ = u′v − v′u.
Решение:
46
По теореме о производной произведения двух дифференцируемых функций имеем
(uv)′ = u′v + v′u ≠ u′v′, (Cv)′ = C′v + Cv′ ≠ C2v′,
(uv)′ = u′v + v′u ≠ u′v − uv′.
Таким образом, верным является только утверждение 1.
Ответ: 1.
Вопрос 2.1.9
Производная n-го порядка (cf )(n) произведения функции f (x) на константу c равна … .
1)c( f ′)(n) ;
2)c( f (n−1) )′;
3)(cf )n ;
4)c( f ′)n−1.
Решение:
Напомним, что производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной ( n −1) порядка, т.е.
f (n) = f (n−1) ′ .
Поскольку константу можно выносить за знак первой производной, аналогичным свойством обладает и производная n-го порядка, т.е.
(cf )(n) = cf (n) .
Тогда (cf )(n) = c( f (n−1) )′ .
Ответ: 2.
Вопрос 2.1.10
47
Производная n-го порядка ( f + g )(n) суммы функций f (x)
иg (x) равна … .
1)( f ′)n + (g′)n ;
2)( f (n−1) )′ + (g(n−1) )′;
3)f (n) + g(n);
4)( f ′ + g′)n−1 .
Решение:
Поскольку производная суммы функций равна сумме производных, аналогичное свойство характерно и для производных высших порядков, т.е.
( f + g )(n) = f (n) + g(n) .
Учитывая, что f (n) = ( f (n−1) )′ и g(n) = (g(n−1) )′, приходим к
выводу, что верными являются ответы 2 и 3.
Ответ: 2, 3.
Вопрос 2.1.11
Дифференциал функции y(x) равен … .
1) |
y′(x)dx; |
2) |
y (x)dx; |
3) |
y′(x) x; |
4) |
y (x) x. |
Решение: |
|
|
Из определения производной y′ ( x) = lim |
y |
и теоремы о |
x→0 |
x |
|
связи функции с ее пределом получаем равенство |
|
|
y = y′(x) x + ε ( x) x, |
|
|
48
где y – приращение функции y(x); |
x – приращение аргумен- |
|
та; ε ( x) – бесконечно малая величина при |
x → 0. |
|
Дифференциалом функции y( x) |
при |
y′(x) ≠ 0 называется |
главная часть приращения функции, линейной относительно x,
т.е. dy = y′ (x) x.
Поскольку дифференциал независимой переменной dx сов-
падает с ее приращением dx = |
x, dy = y′(x)dx. |
Ответ: 1, 3. |
|
Вопрос 2.1.12 |
|
Если u = u (x), v = v(x) |
– дифференцируемые функции, а |
c = const, то справедливы формулы … .
1) d (u − v) = du − dv; |
|
|||||
2) |
d (uv) = du dv; |
|
||||
|
u |
du v − u dv |
|
|||
3) |
d |
|
= |
|
|
; |
|
v |
2 |
||||
|
v |
|
|
|||
4) |
dc = c. |
|
|
|
||
Решение:
Поскольку дифференциал функции df ( x) = f ′( x)dx,
d (u − v) = (u − v)′ dx = u′dx − v′dx = du − dv.
Следовательно, первое утверждение верно.
d (uv) = (uv)′ dx = u′vdx − uv′dx = vdu − udv ≠ du dv.
Таким образом, второе утверждение ошибочно.
u |
u ′ |
u′ v − u v′ |
|
du v − u dv |
|
||||||
d |
|
|
= |
|
dx = |
|
|
dx = |
|
|
. |
|
|
v |
2 |
v |
2 |
||||||
v |
v |
|
|
|
|
||||||
Третье утверждение верно. dc = c′dx = 0 ≠ c.
49
Четвертое утверждение ошибочно.
Ответ: 1, 3.
§2.2. Задачи |
|
Задача 2.2.1 |
|
Угловой коэффициент касательной к графику |
функции |
y = 3x2 − 4x + 1, проведеннойв точкес абсциссой x = −1, |
равен ... . |
Решение:
Угловой коэффициент k касательной, проведенной к графику функции у = f (x) в точке с абсциссой x0 , равен производной
функции f (x), вычисленной в точке x0 , т.е. k = f ′( x0 ). Найдем производную функции у = f (x) в произвольной
точке f ′(x) = 6x − 4.
Вычислим производную в точке с абсциссой x0 = −1. f ′(−1) = −10.
Таким образом, k = f ′ (−1) = −10.
Ответ: –10.
Задача 2.2.2
Точка движется по закону s = t2 + 2t. Ее скорость в момент времени t = 10 равна ... .
Решение:
Если материальная точка движется прямолинейно по закону s = s(t ), где s − пройденный путь, t − время, то производная пути по времени в момент времени t0 равна мгновенной скорости этого движения:
s′ = s′(t0 ) = v(t0 ).
Найдем s′(10) .
50