Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Задача 1.2.22

Значение предела lim	ln(1− sin2 3x)		равно ... .
	x	2
x→ 0

Решение:

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0 .

При x → 0 числитель и знаменатель являются бесконечно малыми. Используятаблицуэквивалентных бесконечномалых, имеем

ln (1 − sin2 3x) − sin2 3x при x → 0.
lim	ln(1 − sin2 3x)		= lim	− sin2 3x		= lim		−9x2
lim	x	2	= lim	x	2	= lim		x	2	= −9.
x→ 0	x		x→ 0	x			x→ 0	x
Ответ: –9.
Задача 1.2.23
Значение предела lim				3x − 2		2 x
Значение предела lim					+ 1		равно ... .
			x→ +∞ x		+ 1

1)+∞;

2)3;

3)−2;

4)0.

Решение:

Справедливо следующее утверждение:

Если lim f (x) = A,	lim g (x) = B, при этом число
x→ x0	x→ x0

и не равно единице, то существует предел lim f ( x)g(x)

x→ x0

Aконечно

=AB .

Выражение	3x − 2		при x → +∞ представляет собой неопре-
	x + 1
деленность типа ∞		,	тогда для нахождения предела основания
	∞

числитель и знаменатель дроби разделим на x:

lim 3x − 2

= lim

3 − x

= 3.

x→∞

x + 1

x→∞

+ x

Предел показателя равен +∞.

Таким образом,

lim

3x − 2 2 x

+∞

= +∞.

x→ + ∞

x + 1

Ответ: 1.

Задача 1.2.24

x − 1 2 x−1

равно ... .

Значение предела lim

4x + 1

x→ + ∞

1) 0;

;

4) ∞.

Решение:

Найдем предел основания:

lim

x − 1

= lim

1− x

1 .

4x + 1

x→+∞

4 + x

Предел показателя равен +∞. Таким образом,

	x − 1 2 x−1		1 +∞
lim		=		= 0.
lim	4x + 1	=	4	= 0.
x→ + ∞	4x + 1		4

Ответ: 1.

Задача 1.2.25
Значение предела								3x − 2 −2 x
Значение предела					lim			x + 1	равно ... .
					x	→ + ∞		x + 1
Решение:
Найдем предел основания:
						1
lim	3x − 1 = lim			3 − x			= 3.
lim	3x − 1 = lim						= 3.
x→+∞	x + 1	x→+∞				1
			1		+ x
Предел показателя равен −∞.
Таким образом,
lim	3x − 2	2 x−1	=			−∞		= 0.
lim			=		3			= 0.
x→ + ∞
	x + 1

Ответ: 0.
Задача 1.2.26
Значение предела			−	4	x+1
		lim 1				равно ... .
		lim 1		x + 1		равно ... .
		x→∞		x + 1
1)	e−4 ;
2) 1;
	1
3)	e− 2 ;
4)	e2 .

Решение:

Поскольку		−	4	= 1,	а		( x + 1) = ∞, выраже-
	lim 1					lim
			x + 1
	x→∞					x→∞

ние под знаком предела представляет собой неопределенность типа (1∞ ).

	+	1	x
Применим второй замечательный предел lim 1	+	x		= e:
x→∞		x

x+1

(−4)

x+1

(−4)

−4

lim 1−

= lim

x + 1

→∞

x + 1

x→∞

x + 1

x→∞

−4

lim

−4

) = e−4 .

= ex→∞ (

Ответ: 1.

Задача 1.2.27

Если a

– значение предела lim

10x − 3 5 x

то значение вы-

10x + 1

ражения ln a равно ... .

x→∞

Решение:

10x − 3

Поскольку lim

= 1, а lim 5x = ∞,

выражение под зна-

x→∞

10x + 1

→∞

(

)

ком предела представляет собой неопределенность типа 1∞

Выполним тождественные преобразования и применим вто-

рой замечательный предел:

10x − 3

5 x

10x − 3

5 x

−4 5 x

lim

= lim 1

10x + 1

− 1

= lim

→∞ 10x + 1

x→∞

10x + 1

					−4
				10 x+1		5 x
				10 x+1	10 x+1	5 x
				−4
= lim	1	+	1
= lim	1	+
x→∞			10x + 1
			10x + 1
			−4

Таким образом, a = e−2, тогда

Ответ: –2.

Задача 1.2.28

Если a – значение предела

ние выражения ln a равно ... .

lim −20 x −2 = ex→∞ 10 x+1 = e .

ln a = ln e−2 = −2.

	5x 2 +8x − 2			4 x+1
lim					, то значе-
	5x	2	+ 3x + 3
x→∞

Решение:
Поскольку lim	5x2 + 8x − 2	= 1,	а	lim	(4x +1) = ∞, выражение
x→∞	5x2 + 3x + 2			x→∞

под знаком предела представляет собой неопределенность типа (1∞ ).

Выполним тождественные преобразования и применим второй замечательный предел:

5x 2 +8x − 2

4 x+1

5x 2 +8x − 2

4 x+1

lim

= lim 1

− 1

+ 3x + 3

x→∞

5x2 +3x+3 5x−5

(4 x+1)

5x−5

5x2 +3x+3

− 5 4 x+1

= lim 1+

= lim

3x + 3

+ 3x +

x→∞

5x − 5

5x−5

5x2 +3x+3

(4 x+1)

5x2 +3x+3

5x−5

lim

5x−5

(

4 x+1

= lim

= e

x→∞ 5x2 +3x+3

)

+ 3x + 3

x→∞

5x − 5

lim

20 x2

−15x−5

= e

+3x+3

x→∞ 5x2

= e

Таким образом,

a = e4 , тогда ln a = ln e4

= 4.

Ответ: 4.

Задача 1.2.29

– значение предела lim(4x − 11)

5 x

Если

x−3

, то значение вы-

x→3

ражения ln a равно ... .

Решение:

Поскольку

lim (4x − 11) = 1, а

lim

= ∞, выражение под

x − 3

x→3

(

)

знаком предела представляет собой неопределенность типа 1∞

= e.

Применим второй замечательный предел lim(1+ x)x

→0

Поскольку

x → 3 (а в формуле

x → 0 ),

выполним замену

переменной: t = x − 3.

Тогда x = t + 3 и при x → 3 t → 0 .

)

5 x

(

lim(4x − 11)x−3 = lim(4(t + 3) − 11)

5 t+3

(

)

= lim(1+ 4t )

x→3

t→0

t +3

4 5(t +3)

lim 4 5(t +3)

= e60 .

= lim (1+ 4t )

= et→0

t→0

Таким образом, a = e60 , тогда ln a = ln e60 = 60.

Ответ: 60.

Задача 1.2.30

− x − 2, x ≤ −2

− x

, −2 < x ≤ 2 являет-

Точкой(-ами) разрыва функции y = 4

x > 2

ся(-ются) точка(-и) ... .

1)x = 2;

2)x = −2;

3)x1 = −2, x2 = 2;

4)x = 0.

Решение:

Числовая ось – область определения функции y(x) – разбита на три промежутка: (−∞;−2], (−2;2], (2;+∞ ), в каждом из которых функция совпадает с элементарными функциями

f	(x) = − x − 2,	f	2	( x) = 4 − x2	,	f	3	( x) = x	(рис. 1.9).
1			2				3

Рис. 1.9

Поскольку функции f1 (x), f2 (x), f3 ( x) непрерывны, данная

функция также является непрерывной внутри каждого промежутка, а возможными точками разрыва могут быть точки x1 = −2,

x2 = 2. Исследуем эти точки. Для этого найдем односторонние

пределы функции y( x) в точках x1 = −2,

x2 = 2.

Поскольку

y (x) = − x − 2

при

x ≤ −2,

lim y ( x) =

x→−2

−0

lim

(− x − 2) = 0.

x→−2−0

Поскольку

y ( x) = 4 − x2

при

−2 < x ≤ 2,

lim y ( x) =

0 (

)

x→−2

+ 0

lim

4 − x

= 0.

x→ −2+

Значение функции в точке x1 = −2 равно y (−2) = 0.

Таким

образом, lim y ( x) =

lim

y ( x) = y (−2),

следова-

x→−2−0

x→−2+ 0

тельно, точка x1 = −2 точкой разрыва не является.

Исследуем вторую точку.

Поскольку

y ( x) = 4 − x2

при

−2 < x ≤ 2,

lim y ( x) =

(

)

x→2

− 0

= lim

4 − x2

= 0.

x→ 2−0

Поскольку y ( x) = x при x > 2,

lim

y ( x) = lim

x = 2.

x→2+

x→2

+ 0

Таким образом, lim	y ( x) ≠ lim y ( x), т.е. в точке x2 = 2
x→2−0	x→2+ 0

функция имеет конечные пределы слева и справа, не равные друг другу. Следовательно, точка x2 = 2 – точка разрыва первого рода.

Ответ: 1.

Задача 1.2.31

x +

≤ −

;

Точки разрыва x1 = −

, x2

= 0

функции

y = − tg x, −

< x < 0;

x +

, x ≥ 0

являются точками разрыва ... .

1)x1 – второго рода, x2 – первого рода;

2)первого рода;

3)второго рода;

4)x1 – первого рода, x2 – второго рода.

Решение:

Напомним, что x = x0 − точка разрыва первого рода, если функция y = f (x) имеет в точке x = x0 конечные односторонние пределы, не равные друг другу.

lim f

( x)

= A, lim f (x) = B, A ≠ B.

x→ x0 −0

x→ x0 + 0

Если хотя бы один из односторонних пределов равен беско-

нечности, то x = x0 − точка разрыва второго рода.

Вычислим односторонние пределы функции y = f (x)

в точ-

ке x

= −

Поскольку

f ( x) = x +

при x ≤ −

, то

lim

f ( x) =

x→− π−0

= lim

x +

= 0.

x→−

π−0

Поскольку f (x) = −tgx при −			π	< x < 0,	lim f ( x) =
Поскольку f (x) = −tgx при −			2	< x < 0,	lim f ( x) =
			2		x→−	π	−0
= lim (−tgx) = +∞.					2
= lim (−tgx) = +∞.
x→− π+ 0
2
Следовательно, x = −	π	– точкаразрывавторогорода(рис. 1.10).
Следовательно, x = −		– точкаразрывавторогорода(рис. 1.10).
1	2
	2

Рис. 1.10

Вычислим односторонние пределы функции y = f (x) в точ-

ке x2 = 0.
Поскольку					f (x) = −tgx		при	−	π	< x < 0,	lim f (x) =
Поскольку					f (x) = −tgx		при	−	2	< x < 0,	lim f (x) =
= lim	(−tgx) = 0.								2		x→0−0
= lim	(−tgx) = 0.
x→0− 0
Поскольку					f (x) = x +	π	при	x ≥ 0, то			lim f ( x) =
Поскольку					f (x) = x +	2	при	x ≥ 0, то			lim f ( x) =
		π		π		2					x→0+ 0
		π		π
= lim	x +		=		.
= lim	x +		=	2	.
x→0+ 0		2		2

Таким образом, односторонние пределы в точке x2 = 0 конечны и различны. Следовательно, x2 = 0 – точка разрыва перво-

го рода (см. рис. 1.10).

Ответ: 1.

Задача 1.2.32

3	x − 2
Если x = a – точка разрыва функции y =		, то значение
	x
a равно... .

Решение:

Данная функция является отношением двух непрерывных функций и потому непрерывна во всех точках области определения, кроме точки x = 0. .

Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

	3	x − 2		3 −2
lim	f ( x) = lim		=		= +∞,
lim	f ( x) = lim	x	=	−0	= +∞,
x→0−0	x→0−0	x		−0
x→0−0	x→0−0
	3	x − 2		3 −2
lim	f (x) = lim		=		= −∞.
lim	f (x) = lim	x	=	+0	= −∞.
x→0+ 0	x→0+ 0	x		+0
x→0+ 0	x→0+ 0

Таким образом, точка x = 0 – точка разрыва второго рода.

Ответ: 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги