книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

s′(t ) = 2t + 2,

s′ (10) = 2 10 + 2 = 22.

Ответ: 22.

Задача 2.2.3

Прямая y = 7x − b

является касательной к графику функции

y = x2 + 3x − 5 в точке M (2; 5)

при b, равном ... .

Решение:

y = 7x − b

Если

прямая

является касательной к графику

функции

y = x2 + 3x − 5 в точке M (2; 5), то координаты точки

M удовлетворяют как уравнению кривой

y = x2 + 3x − 5, так и

уравнению касательной

y = 7x − b. Подставляя координаты точ-

ки M в уравнение касательной, получаем 5 = 7 2 − b, b = 9.

Ответ: 9.

Задача 2.2.4

5

1

′

(1) равно ... .

Если y = x + 4x

−

2 x + 3, то значение

y

y′ =

1 x + 3 ′

1

′

x +

4x5

−

= x2

+

2

′

+ 3′ =

1 x

−

1

+ 20x4 −

1 .

+ (4x5 )′ − 1 x

2

2

2

2

y′ = 3cos x

− 5sin

π

′ = (3cos x)′ −

5sin

π

′ .

3

3

Поскольку

5sin π

= const,

а производная постоянной функ-

3

ции равна нулю,

y′ = −3sin x.

Тогда y′ (0) = −3sin 0 = 0.

Ответ: 0.

Задача 2.2.6

Производная функции y =

x3

равна … .

arctg x

1) y' = 3x2 (1+ x2 ) arctg x + x3

;

arctg2 x

Если y =

u

, где u и

v – дифференцируемые функции и функ-

v

u′v − uv′

ция v ≠ 0 , то производнаяфункции y =

u

равна y′ =

.

v

v2

x3

′

(x3 )′ arctg x − x3 (arctg x)′

3x2 arctg x − x3

1

2

y′ =

=

=

1+ x

=

(arctg x)

2

(arctg x)

2

arctg x

3x2

(

+ x2

)

arctg x − x3

=

1

.

(

)(

)

2

1+ x2

arctg x

3x2 − 1

4)

.

2

x3 − x + 5

Решение:

Справедлива теорема: если функция u = ϕ (x)

имеет в неко-

′

(x),

а функция

y = F (u) имеет

торой точке x производную ϕ

производную F′(u)

в точке

u = ϕ ( x),

то сложная функция

y = F (ϕ(x)) также имеет производную в точке x ,

которая равна

′

′

(ϕ(x))

′

′

′

′

y

( x) = F

ϕ (x) или yx = yu ux .

Согласно данной теореме, получим

y′ = (

x3

1

′

1 (x3

− x + 5)

−

1

(x3 − x + 5)′ =

− x + 5 )′ =

(x3 − x + 5)2

=

2

2

=

1

(x

3

− x + 5)

−

1

(3x

2

− 1) =

3x2 − 1

.

2

2

2 x3 − x + 5

2ex

2)

;

1− x2

y′ = (arcsin2 ex )′ = 2arcsin ex (arcsin ex )′ =

= 2arcsin ex

(

ex

′

= 2arcsin ex

ex .

1 − e2 x

)

1 − e2 x

Ответ: 3.

Задача 2.2.10

Производная функции y =

2

равна … .

5 sin3

x

1)

2

;

35 cos2 x

2)

−6ctg x

;

55 sin3 x

3)

6 sin−

2

x;

5

5

4)

6 sin−

2

x cos x.

5

5

Решение:

Запишем данную функцию в виде

y =

2(sin x)−

3

и найдем

5

производную сложной функции:

−

3

′

(sin x)

−

3

′

3

(sin x)

−

8

(sin x)′ =

y′ = 2(sin x)

5

= 2

5

= 2 −

5

5

= − 6 sin

−

8

6

cos x

6

ctgx

5 x cos x = −

= −

.

5 sin x 5 sin3

5

x

5 5 sin3 x

Ответ: 2.

Задача 2.2.11

Если y = (ln x − 2)4, то значение y′ (1)

равно... .

Задача 2.2.12

Производная y′

функции, заданной параметрически:

x

x = 3sin t;

равна … .

t + 10,

y = 3

1)

y′

= 93 t2

cost;

x

2)

y′

=

9 3

t2

cost

;

x

cost

3)

y′

= cost

;

x

9 3 t2

4)

y′

=

1

.

x

9 3 t2 cost

Решение:

x = x(t ),

y = y (t )

Если функции

дифференцируемы в неко-

торой области изменения параметра

t

и

xt′ ≠ 0

в любой точке

этой области, то производная функции

y( x),

заданной парамет-

x = x(t ),

yt′

рически:

равна

y′

=

,

где

y′, x′

– производные

(t ),

x

xt′

t

t

y = y

функций y (t ), x(t )

по параметру t.

y′ =

1

t

−

2

1

, x′ = 3cost.

В данном случае

3 =

t

3

33 t2

t

y′

=

yt′

=

1

=

1

.

x

xt′

33 t2

3cost

9 3 t2 cost

Ответ: 4.

Задача 2.2.13

Производная

y′

функции,

заданной неявно: ex y2 + xey = 2,

x

равна … .

1)

y′

= −

ey

+ ex y2

;

2ex y + xey

2)

y′

=

ey + ex y2

;

2ex y

+ xey

3)

y′

=

ex y2

− ex

;

2ex y

+ xey

4)

y′

= −

ey

+ xey

+ ex y2

2ex y

.

Решение:

y = y ( x)

Функция

называется неявной функцией, задан-

ной уравнением

F (x, y) = 0,

если

выполняется равенство

F (x, y (x)) = 0.

Для нахождения производной

y′

функции, заданной неявно

F (x, y) = 0,

x

уравнением

нужно продифференцировать по x обе

y′ = −

3x2 + 2 y

2(x + y) .

Найдем значение производной в точке M (1; 1):

y′ = −

3 12 + 2 1

5

= − 4 = −1,25.

2(1+ 1)

Ответ: –1,25.

Задача 2.2.15

Если

1

x2

то значение y′ (1) равно ... .

y =

,

x

1

x2

ln y = ln

.

x

Тогда ln y

= x2 ln 1

или ln y = − x2 ln x.

x

y′

= −

(x2 )′ ln x + x2 (ln x)′ ;

y

y′

2x ln x + x

2

1

= −

;

y

x

y′ = − x(2ln x + 1) y.

1

x2

,

получим

1

x2

Подставляя y =

y′ = − x(2ln x + 1)

.

x

x

Найдем значение производной в точке x =1:

1

12

y′(1) = −1(2ln1+ 1)

= −1.

1