Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Следует запомнить:

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции y = f ( x) на отрезке [a; b] достигаются или в критических

точках функции, расположенных внутри отрезка, или на концах отрезка.

Исходя из этого, верные ответы 2, 3.

Ответ: 2, 3.

Вопрос 3.1.11

Если функция y = f (x) на отрезке [a;b] монотонно возрастает, то ее наибольшее значение равно … :

1)f (a);

2)f (b);

3)f (c), c (a,b);

4)наибольшего значения нет.

Решение:

Если функция y = f (x) монотонно возрастает на отрезке [a;b], то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку самое большое значение аргумента

равно	b, наибольшее значение функции y = f (x) на отрезке
[a;b]	равно f (b) (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Ответ: 2.

Вопрос 3.1.12

Дан график функции y = f (x).

Укажите верные утверждения:

1)в точках x1 , x3 , x6 функция имеет максимум;

2)в точках x2 , x4 , x5 функция имеет минимум;

3)в точках x1 , x3 функция имеет максимум, а в точках x4 , x6 –

минимум;

4) x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – точки экстремума.

Решение:

Точка x0 называется точкой локального максимума, если существует такая δ -окрестность точки x0 , что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f ( x) < f (x0 ), а зна-

чение функции в этой точке f (x0 )	называется локальным мак-
симумом функции.
Точка x0 называется точкой локального минимума, если су-
ществует такая δ -окрестность точки	x0 , что для всех	x ≠ x0 из
этой окрестности выполняется неравенство f ( x) > f (x		), а зна-
	0

чение функции в этой точке f (x0 ) называется локальным мини-

мумом функции.

Таким образом, первое и второе утверждения ошибочны.

Третье утверждение верное.

Точки локального минимума и максимума называются точками экстремума, поэтому четвертое утверждение верно.

Ответ: 3, 4.

Вопрос 3.1.13

Если прямая y = kx + b является правой наклонной асимптотой графика функции y = f (x), то выполнены условия … :

1)	k = lim		f ( x)	, b = lim	( f (x) − kx);
			x
	x→+∞			x→+∞
2)	k = lim		f (x)	, b = lim ( f ( x) − kx);
			x
	x→ +0			x→+0		f ( x)
3)	k = lim	( f ( x) − x) , b = lim					;

	x→ +∞				x→+∞	x
4)	k = lim		x	, b = lim	( f (x) − x).
			f ( x)
	x→+∞			x→+∞

Решение:

График функции y = f (x) имеет правую наклонную асимптоту в том и только том случае, когда существуют конечные пре-

делы lim	f (x)	= k	и b = lim	( f ( x) − kx).
	x
x→+∞			x→+∞

Таким образом, верный ответ 1.

Ответ: 1.

Вопрос 3.1.14

Если прямая y = b является правой горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), то выполнены условия …:

1)	k = lim	f (x)	= 0;
1)	k = lim	x	= 0;
	x→+∞	x
2)	b = lim	f (x);
	x→+∞

3)	k = lim( f (x) − x) = 0;
	x→+∞
4)	b = lim	f ( x)	.

	x→+∞	x

Решение:

Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай правой наклонной асимптоты при k = 0, при условии,

что существует конечный предел lim f ( x) = b.

x→+∞

Ответ: 1, 2.

§3.2. Задачи

Задача 3.2.1

Значение предела lim sin3πx равно ... .

Решение:

→1

sin2πx

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0

Для раскрытия неопределенности применим правило Лопи-

таля, согласно которому если lim f

( x) = 0 и lim g (x) = 0 и суще-

f ′ ( x)

(x)

x→a

f ′( x)

x→a

ствует lim

, то

lim

= lim

g′( x)

( x)

g′(x)

x→a

В данном случае имеем

lim sin3πx

= lim

(sin3πx)′

= lim

3π cos3πx

−3π

= −1,5.

(sin2πx)′

x→1 sin2πx

x→1

2π cos 2πx

2π

Ответ: –1,5.

Задача 3.2.2

Значение предела lim

равно ... .

x→+∞ e10 x + 10

Задача 3.2.3

Решение:			(e10 x + 10) = +∞, выражение
Поскольку lim x3	= +∞ и	lim	(e10 x + 10) = +∞, выражение
x→+∞		x→+∞

под знаком предела представляет собой неопределенное выраже-

ние вида ∞ .

∞

Применим правило Лопиталя:

′

lim

= lim

)

= lim

(e10 x

+ 10)′

x→+∞ e10 x +

x→+∞

x→+∞ 10e10 x

Полученная дробь также представляется неопределенностью

вида ∞

∞

Применим повторно правило Лопиталя:

3x2

(

3x2 )′

∞

lim

= lim

10 x

′

10 x

x→+∞ 10e

x→+∞

x→+∞ 100e

∞

10e

)

(

Применим правило Лопиталя третий раз:

lim

= lim

(6x)′

= lim

= 0 .

′

x→+∞ 100e10 x

x→+∞

10 x

x→+∞ 1000e10 x

100e

)

(

Ответ: 0.

Значение предела lim					sin2 x			равно ... .
Значение предела lim				x	(	e2 x	− 1	равно ... .
			x→0	x		e2 x	− 1
							)
Решение:
Выражение		sin2 x			при		x → 0 представляется неопреде-
Выражение	x	(	e2 x − 1		при		x → 0 представляется неопреде-
	x		e2 x − 1
			)

ленным выражением типа 0 .

Применим правило Лопиталя:
lim	sin2 x		= lim		2sin x cos x		= lim	sin 2x	.
	(	)		(	)			2xe2 x + e2 x − 1
x→0 x			x→0			+ x e2 x 2 x→0
		e2 x − 1			e2 x − 1

Полученная дробь также представляет собой неопределен-

ность вида 0 .

Применим повторно правило Лопиталя:

lim

sin 2x

= lim

2cos 2x

= 2 = 0,5.

2xe2 x + e2 x − 1

2e2 x

+ 4xe2 x + 2e2 x

x→0

Ответ: 0,5.

Задача 3.2.4

lim

ex3 − 1− x3

равно ... .

x→0

(sin x)6

Решение:

ln sin 2x

Выражение

при x → 0 представляет собой неопре-

ln sin x

деленность типа ∞

. Применим правило Лопиталя:

∞

lim lnsin 2x

= lim (lnsin 2x)′

cos2x 2

sin x

cos2x .

= lim

sin 2x

= 2lim

x→0

lnsin x

x→0

(

lnsin x ′

x→0

x→0 sin 2x

cos x

)

sin x cos x

Так

как

lim cos 2x

= 1 ,

то

2lim

sin x

cos 2x =

x→0 cos x

x→0

sin 2x

cos x

= 2 lim

sin x

= 2lim

sin x

= lim

= 1.

sin 2x

cos x

x→0

→0 2sin x cos x

x→0

Ответ: 1.

Задача 3.2.5

ex2 − 1 − x2

Значение предела lim

равно ... .

sin4 x

x→0

Решение:

Выражение

ex2

− 1− x2

при x → 0 представляет собой неоп-

sin4 x

ределенность типа 0

Применим правило Лопиталя:

− 1

− x

′

lim

− 1

− x

= lim

)

= lim

2xe

− 2x

sin4 x

(sin4 x)′

4sin3 x cos x

x→0

= lim

2x(ex2

− 1)

= lim

x(ex2 − 1)

x→0

4sin3 x cos x

x→0

2sin3 x cos x

Учитывая, что lim cos x = 1 и

lim

= 1, получим

x(ex2 − 1)

→0

x→0 sin x

x ex2 − 1

ex2 − 1

lim

2sin

x cos x

sin x sin

sin

x→0

2 x→0

Применим второй раз правило Лопиталя:

lim

ex2 − 1

= lim

(ex2 − 1)′

= lim

2xex2

(sin2 x)′

x→0

sin2 x

x→0

2sin x cos x

Учитывая, что lim cos x = 1 и

lim

= 1, получим

→0

x→0 sin x

lim

2xex2

= lim ex2 = 1.

2sin x cos x

x→0

Ответ: 1.

Задача 3.2.6

Абсцисса точки кривой

y = x2 + 2x ,

в которой касательная к

этой кривой параллельна хорде,

соединяющей точки

A(0;0) и

B(1;3) , равна … .

Решение:

Функция y = x2 + 2x на отрезке [0;1] непрерывна и дифференцируема, поэтому для этой функции справедлива теорема Лагранжа, согласно которой на интервале (0; 1) найдется по крайней мере одна точка c , для которой справедливо равенство

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) (формула Лагранжа).

С точки зрения геометрии это означает, что на графике функции y = y ( x) найдется такая точка, касательная в которой

параллельна хорде, проходящей через точки (a, f (a)) и (b, f (b)).

Для нашей функции формула Лагранжа принимает вид

f (1) − f (0) = f ′(c)(1− 0) или 3 − 0 = f ′(c).

Таким образом, на интервале (0; 1)	необходимо найти точ-
ку, в которой производная равна трем.
Поскольку y′ = (x2 + 2x)′ = 2x + 2,	получим уравнение

2c + 2 = 3.

Отсюда c = 0,5.

Итак, абсцисса искомой точки равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 3.2.7

Наименьшее целое значение x, принадлежащее области определения функции y = 2x − 8, равно ... .

Решение:

Напомним, областью определения функции y = f (x) называется совокупность всех значений независимой переменной x, для которых функция y определена. В данном случае выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неот-

рицательным,	т.е. 2x − 8 ≥ 0.	Отсюда x ≥ 4. Наименьшее целое
значение x , удовлетворяющее этому условию, равно четырем.
Ответ: 4.
Задача 3.2.8
Областью	определения	функции y = 2x − 7 является

множество … :

1)72 ;+∞ ;

2)72 ;+∞ ;

3)−∞; 72 ;

4)−∞;− 72 .

Решение:

Для функции y = f ( x) область определения имеет вид

f(x) ≥ 0.

Вданном случае 2x − 7 ≥ 0.

Тогда x ≥ 72 .

Ответ: 1.

Задача 3.2.9

Областью определения функции y = ln x − 2x2 является множество … :

1)(−∞; +∞) ;

2)(−∞;0] ;

3)[0;+∞) ;

4)(0;+∞) .

Решение:
Областью определения функции y = ln f (x)			является множе-
ство значений x, для которых подлогарифмическое				выражение
f ( x) строго положительно, т.е. выполненонеравенство				f ( x) > 0.
В данном случае x > 0.
Ответ: 4.
Задача 3.2.10
Областью определения функции y =		x	является мно-
Областью определения функции y =		x − 1	является мно-
жество … :		x − 1
жество … :
1)	(−∞;1) (1;+∞) ;
2)	(−∞; +∞) ;
3)	(1;+∞) ;
4)	(0; +∞) .

Решение:

Областью определения дробно-рациональной функции y = gf ((xx)) является множество значений x, при которых знаме-

натель дроби отличен от нуля, т.е. g (x) ≠ 0. В данном случае x − 1 ≠ 0, отсюда x ≠ 1.

Ответ: 1.

Задача 3.2.11

Функция y = 4x3 − 30x2 + 48x − 19 возрастаетна интервале … :

1)(1;4) ;

2)(−∞;1) (4;+∞) ;

3)(−1;4) ;

4)(−∞;4) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги