книги / Проектирование программ вступительных испытаний и кандидатских экзаменов по специальным дисциплинам для послевузовской ступени профессионального образования на основе принципов пре

Приложение 1 к Положению о кандидатском экзамене

по специальной дисциплине Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный технический университет

УТВЕРЖДАЮ Ректор ПГТУ В. Ю. Петров

«____»______ 200__г.

ПРОГРАММА

кандидатского экзамена по специальной дисциплине

научной специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Пермь 2007 г.

161

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с регламентируемыми паспортом специальности профессиональными компетенциями выпускник аспирантуры должен:

– знать и уметь применять:

1.основныепонятиямеханикииобщейфизики, уравненияматематической физики;

2.определение моделей и математических моделей, классификацию моделей, этапы построения математических моделей;

3.математический аппарат расчета вероятностных характеристик случайных процессов, методы количественной оценки стохастических явлений и процессов, основной математический аппарат расчета вероятностных характеристик при анализе и синтезе реальных систем; количественные методы оценки случайных событий, величин, систем величин, математический аппарат обработки статистических данных;

4.методы исследования основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики;

5.численные методы решения типовых математических за-

дач;

6.основные понятия и методы теории оптимизации, теории игр и исследования операций, методы системного анализа;

7.современные методы и языки имитационного моделирова-

ния;

8.современные: системы разработки прикладного программного обеспечения (ППО), технологии программирования; алгоритмические языки программирования системное и ППО, включая системы параллельных вычислений; алгоритмы численных методов решения математических задач, в том числе с помощью систем ППО; модели данных и знаний; алгоритмы и методы компьютерной графики;

– уметь:

1.осуществлять концептуальную и математическую постановку задач исследования сложных систем;

2.выбирать необходимые методы исследования, исходя из задач конкретного исследования;

162

3.выполнять расчет вероятностных характеристик при анализе и синтезе реальных систем;

4.аналитически исследовать математические задачи с помощью систем ППО; проектировать и создавать прикладные базы данных и экспертные системы; проектировать, отлаживать, тестировать

идокументировать ППО, включая системы параллельных вычислений;

5.выполнять анализ систем, приводить их к классическим типам с описанием основных агрегатов; выполнять постановку задач оптимизации сложных систем; реализовывать модели систем с использованием имитационного подхода.

Часть 1. Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим и техническим наукам

1.1. Математические основы

Элементы теории функций и функционального анализа. Поня-

тие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана – Банаха. Линейные операторы. Элементы спектральной теории. Дифференциальные и интегральные операторы.

Экстремальные задачи. Выпуклый анализ. Экстремальные за-

дачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Принцип динамического программирования.

Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксио-

матика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез.

163

Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений. Основы теории информации.

1.2. Информационные технологии

Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.

Исследование операций и задачи искусственного интеллекта.

Экспертизы и неформальные процедуры. Автоматизация проектирования. Искусственный интеллект. Распознавание образов.

1.3. Компьютерные технологии

Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование. Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др. Численные методы вейвлет-анализа.

Вычислительный эксперимент. Принципы проведения вычис-

лительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа. Алгоритмическиеязыки. Представлениеоязыкахпрограммиро-

вания высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

1.4. Методы математического моделирования

Основныепринципыматематическогомоделирования. Элемен-

тарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей

Методыисследованияматематическихмоделей. Устойчивость.

Проверка адекватности математических моделей.

Математические модели в научных исследованиях. Математи-

ческие модели в статистической механике, экономике, биологии. Методы математического моделирования измерительно-вычисли- тельных систем.

Задачи редукции к идеальному прибору. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Проверка адекватности модели измерения и адекватности результатов редукции.

164

Часть 2. Дополнительная программа

Дополнительные требования

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ – относится к синтетической, междисциплинарной области знаний, что предопределяет специфику как представляемых к защите работ на соискание ученых степеней кандидата физико-математических наук и кандидата технических наук, так и подготовки специалистов на доаспирантской стадии

ипри учебе в аспирантуре.

Всвязи с вышеуказанной спецификой будущий специалист

вобласти математического моделирования (ММ) в качестве основной компетенции должен обладать реальной и реализуемой способностью к переводу «языка природы», «языка техники и технологий» и т.д. на «язык математики», к последовательному переходу от описательной к содержательной, концептуальной и математической постановкам проблемы, составляющими основную интеллектуальную часть, «ядро» любой модели. При этом следует учитывать, что ни один специалист не может быть одновременно компетентен

вдолжной степени в любой из сфер деятельности, для которых требуются разработки моделей.

Всвете вышесказанного помимо общепрофессиональных компетенций – реализуемыми в конкретных областях знаниями и навыками применения всего арсенала «чистой» и прикладной математики, основных этапов, подходов и методов математического моделирования, современных технологий программирования и т.д., – специалист в области ММ должен обладать рядом общих компетенций. К числу последних, в первую очередь, следует отнести коммуникабельность, способность работать в команде, толерантность, умение отстаивать основные идеи, доходчиво и ясно представлять результаты решения.

Указанные качества связаны именно с междисциплинарностью данной области знаний, в силу чего малоэффективными представляютсяпопыткиразработкимоделейтехилииныхпроцессовилиявле-

165

ний в одиночку. Модели сложных процессов и явлений в настоящее время, как правило, создаются коллективами научных сотрудников различныхспециальностей; вчислоразработчиков(особеннонастадиях обследования объекта моделирования, содержательной и концептуальной постановок) входят и представители заказчика модели (например, при разработке моделей технических устройств и технологических процессов – инженеры и технологи).

Работа над всеми стадиями постановки, включая математическую постановку проблемы, предполагает также умение слушать

ипринимать мнение коллег по обсуждаемой проблеме. Весьма важным данное качество является на этапе выбора метода (методов) решения проблемы, где имеющийся опыт членов коллектива разработчиков модели в применении различных численных и аналитических методов должен быть учтен в полной мере.

Значительную часть времени, затрачиваемого на разработку модели, занимает процесс создания программного продукта, который требует организации коллективной работы. Без умения работать в команде на настоящем этапе трудно представить эффективную работу по разработке сколь-нибудь сложного программного продукта, начиная от выбора методов решения задачи – и до отладки

итестирования разработанных программ. Важным качеством при обсуждении результатов (как тестовых, так и реальных задач) является терпимость к мнениям членов научного и профессионального сообщества, даже если они не являются представителями заказчика или разработчиками модели.

На экзамене кандидатского минимума для проверки готовности специалиста работать в выбранной сфере в качестве дополнительных вопросов целесообразно выдавать качественные задачи с заданием разработать контуры моделей того или иного процесса или явления (например, осуществить концептуальную и математическую постановки для выбранного объекта моделирования). Все указанные выше меры направлены на повышение качества подготовки специалистов высшей квалификации по специальности 05.13.18.

166

Содержание дополнительной программы

2.1. Общие вопросы

Понятие модели, место моделирования среди методов познания. Классификация моделей. Понятие математической модели. Основные этапы построения математической модели. Дискретные и континуальные модели. Основные уравнения механики сплошной среды. Методы теории размерности и подобия, их применение для построения простых математических моделей. Законы сохранения и законы, определяющие поведение конкретных объектов. Основные понятия и законы неравновесной термодинамики. Модели динамики популяций.

2.2. Элементы функционального анализа

Метрические пространства: определение, сходимость, компактные множества, сепарабельные пространства. Понятие интегралов Лебега и Лебега – Стилтьеса. Непрерывные и вполне непрерывные операторы и функционалы в метрических пространствах. Нормированные пространства. Задача о наилучшем приближении. Гильбертовы пространства: определение, ортогональность, ортогональные разложения гильбертовых пространств. Линейные операторы, пространство линейных операторов, обратные операторы. Линейные функционалы, сопряженное пространство, слабая сходимость функционалов. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах. Спектральные свойства сопряженных, самосопряженных, симметричных и положительно определенных операторов. Применение интегральных операторов к краевым задачам для уравнения Штурма – Лиувилля. Понятие о методах Ритца и Бубнова – Галеркина. Понятие обобщенных функций.

2.3. Математическая физика

Линейныеуравнения. Классификацияуравненийвторогопорядка. Уравнения малых продольных и поперечных колебаний струны. Параболические и гиперболические уравнения теплопроводности и диффузии. Задача Коши. Краевая задача. Начальные и граничные условия. Метод характеристик. Метод Фурье решения краевых задач. Метод функций Грина решения краевых задач и задач Коши для уравнений параболического типа. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Нелинейные

167

уравнения. Автомодельные решения. Уравнения газовой динамики. Ударные волны. Понятие об обобщенных решениях. Самоорганизация. Понятие о параметрах порядка. Диссипативные структуры. Нелинейноеуравнениетеплопроводности. Нелинейныеволны. Уравнение Бюргерса. Уравнение Кортевега-де-Фриза. Солитоны. Представление о методе обратной задачи рассеяния.

2.4. Теория вероятностей

Аксиоматическое построение теории вероятностей. Алгебра и σ-алгебра событий. Аксиомы А. Н. Колмогорова. Производящие функции начальных и центральных моментов. Существование начальных моментов. Преобразование непрерывных случайных величин. Случай непрерывных и монотонных функций. Понятие о моделировании случайных величин. Непрерывный и дискретный случаи. Применение статистического моделирования. Предельная теорема для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. ИнтервальнаятеоремаЛапласа. Обобщениецентральнойпредельной теоремы. Минимизация по мере χ2. Интервальные оценки. Доверительные интервалы. Уровень доверия. Множественная регрессия. Точечные оценки. Проверка статистических гипотез. КритерийсогласияПирсона(χ2). Марковскиецепиимарковскиепроцессы. Примеры. Геометрическое представление марковской цепи. Стохастические дифференциальные уравнения (Уравнения Ито). Общая схема нахождения вероятностных характеристик неизвестного СП.

2.5. Численные методы

Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса, метод прогонки для трехдиагональной матрицы. Классификация итерационных методов решения СЛАУ. Метод Якоби, метод верхней релаксации, метод наименьших невязок. Интерполяция функции. Полиномы Ньютона и Лагранжа. Погрешность интерполяции. Задача Коши. Устойчивость решения задачи Коши. Методы решения задачи Коши: Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса. Классификация уравнений в частных производных. Разностные схемы для решения одномерных параболических уравнений. Классификация уравнений в частных производных. Разностные схемы для решения одномерных гиперболических уравнений. Классификация уравнений в частных производных. Разностные схемы для решения эллиптических уравнений. Экономичные разностные схемы для многомерных пара-

168

болических уравнений. Экономичные разностные схемы для многомерных гиперболических уравнений. Классификация методов взвешенныхневязок: прямая, слабаяиобратнаяформулировки. Методы взвешенных невязок (МВН), основанных на прямой формулировке МВН (метод моментов, метод Галеркина, метод наименьших квадратов для решения граничных задач ОДУ). Метод конечных элементов для задач теории упругости. Классы параллельных вычислительных систем. Архитектура кластерных систем. Основные особенности и характеристики. Параллелизм. Подходы к построению параллельных алгоритмов. Оценка эффективности параллельных алгоритмов. Закон Амдала. MPI: общая структура, синхронное и асинхронное взаимодействие процессов, операции парного обмена и коллективного взаимодействия.

2.6. Информатика

Понятие данных и информации. Свойства информации. Понятие контекстного метода. Методы обработки данных. Типы данных и особенности их кодирования. Классификация архитектур ЭВМ. Особенности построения систем с парралельными вычислениями. Основные элементы ЭВМ и их характеристики. Определение операционной системы. Обзор существующих операционных систем и их особенностей. Отказоустойчивость операционных систем. Утилиты и драйверы. Локальные и глобальные компьютерные сети: определения и основные понятия. Internet и Intranet. Протокол TCP/IP: общие понятия. Службы Internet. Поиск информации в сети. Понятие гипертекста. HTML и XML. Безопасность работы в сети: виды угроз и способы их предотвращения. Понятие о симметричном и несимметричном ключе шифрования. Направленный и защищенный канал связи. Понятие электронной подписи. Дайджест или электронная печать. Центры сертификации. Закон об электронной подписи. Объектно ориентированная технология программирования. Понятие класса и объекта. Концепции объектно ориентированного подхода: инкапсуляция, иерархия и полиморфизм. Структурное программирование: принципы восходящей и нисходящей разработок. Достоинства и недостатки этих методов. Модели жизненного цикла программного обеспечения. Современные системы параллельных вычислений: классификация, основные понятия и характеристики, организация вычислений. Средства разработки прикладного программного обеспечения для систем параллельных вычислений.

169

Стандартные библиотеки и программное обеспечение. Особенности реализации алгоритмов. Методы и алгоритмы машинной графики. Функциональные возможности современных пакетов аналитических вычислений.

2.7. Теория оптимизации, исследование операций, системный анализ

Предмет, основные понятия и задачи теории оптимизации. Выпуклая задача оптимизации. Теорема Куна – Таккера о необходимых

идостаточных условиях решения выпуклой задачи оптимизации. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа классического вариационного исчисления. Задача оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Экстремумы функций двух или нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Система, подсистема и элемент. Понятие связи и ее виды. Состояние

иповедение системы. Свойства системы. Модели систем. Разновидности агрегатов системы. Предмет, задачи, основные понятия и этапы исследования операций. Двойственные задачи линейного программирования. Теорема о взаимодвойственных задачах линейного программирования. Предмет теории игр. Нормальная и развернутая формы игры. Примеры.

Список литературы

1.Математическое моделирование/под ред. Дж. Эндрюса

иР. Мак-Лоуна. – М.: Мир, 1979.

2.Введение в математическое моделирование/ В. Н. Ашихмин [и др.]; под ред. П. В. Трусова. – М.: Логос, 2005.

3.Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. – М.:

Наука, 1988.

4.Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев. – М.: Наука, 1981.

5.Малинецкий Г. Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент / Г. Г. Малинецкий. – М.: Наука, 1997.

6.КапицаС. П. Синергетикаипрогнозыбудущего/ С. П. Капица, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий. – М.: Наука, 1997.

7.Блехман И. И.. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. – Киев: Наукова думка, 1976.

170