Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

интересует ее материальное описание. Смысл c — абсолютная скорость перемещения поверхности относительно пространственной системы отсчета.

Подставляя в f (xˆ,t) 0 лагранжев закон движения xˆ xˆ(x,t) , получим уравнение g( x,t) 0 прообраза рассматриваемой поверхности в K0.

Для скорости перемещения точки поверхности вдоль нормали

n g /|g |

аналогичным образом получаем

(5.9)

| g

Сам вектор скорости определяется как

c cn . Смысл c

— абсолютная

скорость

перемещения

прообраза

поверхности

относительно

пространственной системы отсчета.

Для

нахождения связи

c и

продифференцируем

равенство

g(x,t) f (xˆ,t) по t при фиксированном x :

g( x,t) t f ( xˆ,t) v f ,

откуда с использованием (5.8) и (5.9) получаем

| f |

s ,

s cˆ v

v nˆ .

(5.10)

| g |

В (5.10) s представляет собой скорость

перемещения поверхности

относительно материала вдоль нормали в

Kt и называется «собственной»

скоростью распространения поверхности.

Дифференцируя равенство

g(x,t)

по x с учетом F

f (x,t)

g F

f ,

получим связь

| f |

n | g | F

n .

(5.11)

Приступим к установлению соотношений на поверхностях разрыва первого и второго порядков, называемых соответственно поверхностями сильного и слабого разрывов, вытекающих из непрерывности исследуемого поля соответственно нулевого и первого порядков. Рассмотрим прообраз движущейся поверхности в K0 как поверхность в 4-мерном пространстве

точек z ( x,t) и в нем	применим условие совместности Адамара (5.2).
Оператор дифференцирования в таком пространстве есть			( ) ( ( ),( ) ) ,
		z
нормаль представляется	i (n, c) (см. (5.9)). Если	рассматривается
непрерывное поле xˆ(x,t) относительно K0 , то
	z (F ,v) ,		(5.12)
	111

z z (F ,F,v) .

(5.13)

Условие совместности Адамара, примененное к (5.12), дает

[F ] an,

(5.14)

[v] ca.

Если первые производные непрерывны, то в (5.14) правые части равны нулю. В этом случае применяем условие совместности Адамара к (5.13), в результате чего получаем:

[F ] ann,

[F ] can,

(5.15)

[v] c2a.

В (5.14) и (5.15) амплитуды разрыва a , конечно, различны. Соотношения (5.14) применяют на поверхностях сильного, а (5.15) — слабого, разрывов.

Спомощью (5.10) и (5.11) результаты (5.14), ( 5.15) можно переписать

ввиде

				[F ] aFˆ	T nˆ,			(5.16)
				[v] saˆ				(5.16)
				[v] saˆ
		ˆ
ˆ	\| f \|
ˆ
с a \| g \|a				и
				[F ] aFˆ T nFˆ			T nˆ,
				[F ] saFˆ T nˆ,				(5.17)
				[v] s2aˆ
		ˆ	2
с aˆ		\| f	\|	a . Анализируя последние	равенства в (5.16),			(5.17), можно
с aˆ				a . Анализируя последние	равенства в (5.16),			(5.17), можно
	\| g \|2
увидеть, что, поскольку ни s , ни v и						не зависят от выбора отсчетной
увидеть, что, поскольку ни s , ни v и					v	не зависят от выбора отсчетной
конфигурации, то и амплитуды разрыва aˆ						от нее также не зависят, и поэтому
для них уместно название «собственные амплитуды».
	Из (5.14) нетрудно получить следствие
				[v] [F ] c ,				(5.18)

где (напомним) c cn есть скорость перемещения прообраза поверхности относительно отсчетной конфигурации.

Если в качестве отсчетной мы возьмем текущую конфигурацию, то в

(5.16), (5.17) необходимо положить F I , а
(5.16), (5.17) необходимо положить F I , а	F L , в силу чего все
соотношения с разрывами F или F исчезают. Из оставшихся рассмотрим
второе соотношение для слабого разрыва:
ˆ ˆ	(5.19)
[L] san,	(5.19)
112

из которого выражаются скачки деформации скорости, скорости расширения и вихря:

[D] s{anˆ ˆ},
ˆ					ˆ	ˆ
	v]						(5.20)
[					sa	n,
[ ]			1	saˆ nˆ.

		2

Соотношения (5.20) означают, что поверхность слабого разрыва (называемая еще волной ускорения) переносит ненулевой скачок градиента скорости, нормальная компонента вектора ca представляет собой скачок скорости расширения, а тангенциальная его компонента есть скачок вихря. Отсюда следует, что в изохорическом движении все волны ускорения обязательно поперечные, в безвихревом движении могут существовать только продольные волны ускорения, а при потенциальном движении несжимаемой жидкости волны ускорения существовать не могут.

Следствием соотношений для слабого разрыва является уравнение

[L] s 1[v]nˆ ,

связывающее разрыв тензора градиентов скоростей с разрывом ускорения. Для поверхностей разрыва нулевого порядка непрерывность

исследуемого поля отсутствует, поэтому каких-либо ограничивающих соотношений не возникает. Для описания взаимодействия берегов таких поверхностей разрыва требуются определяющие соотношения.

Перейдем теперь к соотношениям другого типа, следующих из балансовых уравнений. Предварительно докажем одну вспомогательную теорему (Н.Е. Кочин [3]). Для этого потребуется формула дифференцирования интеграла по подвижному объему:

d	ˆ	ˆ			ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	,	(5.21)

dt	dV			t	dV		v ndS
	ˆ		ˆ				ˆ
	V		V				S

для доказательства которой переходим под интегралом от пространственных

к лагранжевым переменным dV JdV , используем формулу J J v , после чего имеем

		d		ˆ	ˆ	ˆ ˆ ˆ	ˆ	,


		dt		dV		( v)dV
				ˆ		ˆ
				V	ˆ	V	ˆ	ˆ	ˆ

а затем вспоминаем ˆ	t		ˆ	( ˆ	) v , тождество ( ˆ v) v ( ˆ ) ( v) ˆ и

используем теорему Гаусса ― Остроградского.

Формулу (5.21) применяем к двум частям тела с объемом V V V и внешней границей S S S , разделенным поверхностью :

113

ˆ dV

v nˆdS

cdSˆ

ˆ dV

v nˆdS

cdSˆ

ˆ t

( c — скорость движения границы в направлении

относительно текущей

конфигурации), складываем эти уравнения и получаем

ˆ dV ˆ v

nˆdS

[ ˆ ] cdSˆ

(5.22)

Уравнение баланса

ее

массовая

плотность)

субстанции ˆ dV

(

представляем в виде

ˆ ˆ

(5.23)

n dS

где ˆ — поток поля ˆ сквозь границы тела в текущей конфигурации, а ˆ — массовый источник ˆ . Используя теперь (5.22) для ˆ ˆ и (5.23), получаем

nˆ

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	(		ˆ	ˆ	(5.24)
( ˆ	v )dS		[ ˆ	] cdSˆ	(	t	( ˆ	) ˆ ˆ )dV .	(5.24)
					ˆ	t
					V

Если на внутренней поверхности величина t ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ не испытывает

разрыва (этой гипотезе не соответствуют «идеальный пропеллер», фронт химической реакции, граница раздела фаз при происходящем фазовом переходе и другие границы разрыва, несущие сингулярный источник импульса, энтропии и т.п.), то стягиванием объема к этой поверхности из (5.24) получаем

ˆ	ˆ	(5.25)
[ ˆ s nˆ	] 0	(5.25)

— искомый нами результат. Заметим, что (5.25) не содержит плотности внешних источников или стоков субстанции, учитываемых уравнениями ее баланса.

Если же плотность внешних источников или стоков субстанции ˆ в (5.24) имеет разрыв (т.е. сингулярна) на сингулярной поверхности, эта поверхность имеет поверхностную плотность таких источников/стоков, и данное слагаемое появляется тогда в уравнении (5.25).

Сейчас можно использовать теорему Кочина (5.25) для известных нам

балансовых уравнений и сингулярных поверхностей различного		порядка.
ˆ	ˆ
Баланс массы предполагает 1	, 0 и (5.25) дает
	ˆ	(5.26)
	[ s] 0 .	(5.26)
	114

Для сингулярности второго порядка

(в

силу

[F ] 0

[ ]

detF ,

[ ] 0) и [v] 0 , и (5.21) не представляет собой ограничения.

Fv , фигурирующих в

Применяя (5.25) для полей ˆ J

уравнении (2.71), и транспонируя результат, получим

s[J 1F ] [J 1vF T ] nˆ .

(5.27)

F ,

Применяя (5.25) к тождеству Пиолы (2.70), для которого ˆ 0,

получим

[J 1F T ] nˆ 0 .

(5.28)

Кроме того,

величина J det F непрерывна на разрывах первого порядка,

что следует из (5.26) и непрерывности , поэтому

[J 1 ] 0.

(5.29)

Применяя к (5.27) с учетом (5.28) и (5.29) тождество

[ab] a[b] [a]

(5.30)

где

( )

, а a и b ― в общем тензорные величины, получаем

( )

соотношение

s[F ] [v]F T nˆ ,

совпадающее с (5.16). Тем самым проиллюстрировано, что теорема Кочина позволяет выписывать и кинематические соотношения на поверхностях разрыва, для чего необходимо использовать уравнения совместности, записанные в виде балансовых уравнений [6].

Баланс количества движения предполагает			ˆ	ˆ
Баланс количества движения предполагает			v ,	, поэтому из
(5.25)
	ˆ					(5.31)
	[ˆv s] [tn ] .					(5.31)
Для сингулярности второго	ˆ	,	поскольку [v] 0		и	ˆ
Для сингулярности второго	порядка [ v] 0	,	поскольку [v] 0		и	[ ] 0
(последнее следует из [F ] 0	ˆ
(последнее следует из [F ] 0	, поскольку detF ), поэтому

ˆ	] 0 ,	(5.32)
[tn

т.е. при пересечении такой поверхности непрерывна поверхностная сила. В частности, в идеальных жидкости или газе непрерывно гидростатическое давление. Непрерывности самого тензора напряжений условие (5.31) не требует. Соотношение (5.32) также имеет место при квазистатическом движении сингулярной поверхности первого порядка.

ˆ	ˆ
Баланс момента количества движения предполагает ˆ ,	,
поэтому
[ s] [mˆ n ].	(5.33)

Для сингулярной поверхности второго порядка доказать самостоятельно

115

		[mˆ n ] 0 .						(5.34)
		ˆ		1			ˆ ˆ
В балансовом уравнении		энергии		2	v v u ,		q	v , и мы
имеем
[ ˆs(	1	ˆ	nˆ		ˆ	v] .		(5.35)
[ ˆs(	2 v v u)] [ q		nˆ	t		v] .		(5.35)

Для сингулярной поверхности второго порядка остается лишь

ˆ	nˆ].	(5.36)
ˆs[u] [ q
ˆ	ˆ ˆ	и
В балансовом уравнении энтропии s , s
ˆ		(5.37)
[ ˆ (cˆ vn )s s nˆ] 0 .

Соотношения (5.37) приобретут конкретный вид при конкретизации потока энтропии для изучаемого необратимого процесса.

Для сингулярных поверхностей нулевого порядка балансовые уравнения также не дают каких-либо ограничений (конечно, это не означает, что такие поверхности нельзя использовать в моделях).

Запись балансовых уравнений (законов сохранения) в дивергентном виде не только позволяет выводить соотношения на внутренних и внешних поверхностях тела (граничные условия), которые для связанных систем оказываются нетривиальными, но и дает возможность строить эффективные численные схемы решения задачи [6].

116

6. Диффузия в многокомпонентной сплошной среде

Связанные процессы диффузии и деформации в металлических сплавах сопровождают формирование поверхностных упрочняющих покрытий ионно-плазменными технологиями, образование коррозионной пленки на поверхности нагруженных изделий в агрессивных средах, а также вносят вклад в объемные процессы механоактивации при интенсивных пластических деформациях в металлических порошках и плотных средах с высокой концентрацией границ раздела. Отдельным вопросом в контексте рассматриваемой темы выступает взаимная диффузия компонент металлических сплавов, которая модерируется потоком неравновесных вакансий либо физическими полями, возникающими в процессе деформации. Здесь открытой проблемой является описание разделения атомных процессов в потоке неравновесных точечных дефектов на диффузионную и деформационную составляющие, последняя из которых демонстрируется эффектом Киркендалла ‒– относительным смещением инертных материальных частиц (маркеров) во встречных потоках атомов. Этот эффект был положен в основу экспериментальных методов определения intrinsic diffusion coefficients ― коэффициентов закона диффузии, записанного в локальной системе отсчета, связанной с маркерами. Выбор подходящей системы отсчета позволяет существенно упрощать уравнения диффузии и равновесия. Если материал испытывает деформации, независимые от взаимной диффузии, то для формулировки уравнений связанных процессов необходимо также решать проблему разложения движения. Ниже дается вывод связанных уравнений на основе аппарата классической термодинамики необратимых процессов. Рассмотрение ограничено линейными квазистатическими процессами и вязкоупругой либо упруговязкой реологией среды. Локальный химический состав описывается мольными, объемными и массовыми переменными в соответствии с возможностями рентгеновской спектроскопии; отдельно выводятся уравнения в рамках гипотезы молекулярной несжимаемости. Изложение главы опирается на [16 – 18, 26].

6.1. Формы записи балансовых уравнений вещества

Феноменологические связанные модели диффузионных и реологических процессов, базирующиеся на классической термодинамике необратимых процессов, будут строиться для смеси первого типа, которая описывается одним уравнением баланса локального количества движения, и

117

уравнениями баланса переменных состава вещества для каждой из компонент k 1,..., N . Используемая далее терминология соответствует [17].

В работе будут использоваться следующие обозначения. Вещество k (k 1,..., N ) измеряется числом молей nk и характеризуется молярной массой mk и молярным объёмом Vk . Ввиду слабой зависимости молярных объёмов от химического состава в твердых телах ею далее будем пренебрегать. Содержание вещества k в элементарном объеме материала определяется

мольной концентрацией	ˆ p ˆ		ˆ	m	mk cˆk	либо
мольной концентрацией	xk	ck	dnk / dV , плотностью	xˆk	mk cˆk	либо
объёмной долей xˆv V cˆ	(верхние индексы образованы первой буквой слов
k k k

particle, mass и volume, по повторяющимся индексам в главе 6 не

предполагается

суммирование).

Локальный

химический

состав

характеризуют мольные

доли kp

xˆkp / xˆ p , xˆ p

k xˆkp , массовые

доли

km xˆkm / xˆm , xˆm k xˆkm ,

либо относительные объёмные доли vk

xˆkv / xˆv ,

xˆv

xˆkv , кратко

xˆ

xˆk / xˆ

xˆk

, k 1, p,m,v .

(6.1)

Относительные объёмные доли рассматривают в смесях, в которых присутствуют недиффундирующие компоненты, исключаемые из уравнений баланса, а также при наличии упругих объёмных деформаций. Современные дифрактометры способны определять пространственное распределение химического состава вещества в диффузионной зоне в рамках любого из рассмотренных описаний.

Скорости vkp vkv vkm компонент k будут формально снабжаться верхним индексом описания состава. Эти величины рассматриваются здесь для установления связей между вводимыми ниже плотностями потоков и диффузионными (кондуктивными) потоками, которые выступают в качестве основных переменных в теории смесей в рамках классической термодинамики необратимых процессов.

Определим плотность молярного p , массового m и объёмногоv потока компоненты k

					ˆ		ˆ		(6.2)
					Jk		xk vk ,		(6.2)
								ˆ ˆ	и отсутствии источников
вместе с которыми из (3.5) при ˆ xˆk							, v ˆ + Jk		и отсутствии источников
ˆ	ˆ	e	0	записываются уравнения баланса компоненты k
i		e
					xˆ		ˆ	ˆ
					k		ˆ	ˆ
					t	Jk .			(6.3)
					t
						118

Суммирование (6.3) по компонентам ведет к уравнению

xˆ	ˆ ˆ		ˆ		ˆ
t	J	,	J	Jk .		(6.4)
t				k
				k

ˆ	вводятся диффузионные потоки компонент относительно
Вместе с Jk
характеристической системы отчета, движущейся со скоростью ω
	ˆ ˆ			ω) .	(6.5)
	jk	xk	(vk
Из (6.2) и (6.5) следует связь

(6.6)

ω .

В такой системе отсчета (6.3) принимает вид

d xˆ

ω .

xˆk

ω jk ,

(6.7)

Покомпонентное суммирование (6.7) ведет к уравнению

d xˆ

xˆ

ω j

jk .

(6.8)

Независимые

наборы

переменных

состояния

можно составить

из N

парциальных величин

xˆ

(k 1,..., N )

либо из одной суммарной величины

xˆ и N 1 относительных величин

(k 1,..., N 1) . Из (6.7)

следует

запись балансовых уравнений для относительных величин

xˆ

jk k

(6.9)

из которых

только N 1

являются

независимыми. Описание состава с

помощью

мольных

долей

позволяет

напрямую

использовать

термодинамические потенциалы, построенные методами статической термодинамики. Массовые переменные удобны при написании уравнения движения сплошной среды, а объёмные ― в случае пренебрежения зависимостью молярных объёмов от состава и использования характеристических систем отсчета v , v и v (см. следующий раздел).

Взаимная диффузия компонентов смеси предполагает наличие только диффундирующих компонент. Например, для взаимной диффузии двух

компонент A, B имеем уравнения (без учёта перекрестных членов)

dcˆA

dcˆB

cˆA v jA ,

cˆB v

(6.10)

cA ,

cB ,

которые при отсутствии подвижности компоненты B принимают вид

dcˆA

dcˆB

jA ,

(6.11)

cA ,

119

(уравнения записаны в мольных концентрациях и в рамках справедливости

первого закона Фика), причём в (6.10) коэффициенты диффузии

различаются: DA DB , что характерно для металлических сплавов. В (6.11)

ˆ	cˆB vB v 0 , если принять	v vB . Для
диффузионный поток jB

недиффундирующей компоненты из последнего уравнения в (6.11) с учётом

ˆ	ˆ
dnB const , cB	ˆ		ˆ	v		ˆ	ˆ
dnB const , cB	dnB / dV	следует тождество		v	d dV / dt dV .

6.2. Характеристические системы отсчета

Известны два подхода к описанию взаимной диффузии в многокомпонентной среде с соответствующими методами определения коэффициентов диффузии в характеристических системах отсчета.

Соответствующие характеристические скорости [17] можно считать различными определениями конвективной скорости, порождаемой взаимной диффузией.

Назовём семейством совокупность характеристических систем отсчета, связанных со скоростями

v	ˆ	ˆ	,			1.	(6.12)
v	Jk	/ x	,		k	1.	(6.12)
	k			k

Характеристическая скорость, диффузионные потоки, коэффициенты диффузии и производная по времени в такой системе отсчета будут снабжаться индексами p, m, v , где p, m и v характеризуют способ

описания состава вещества; переменные состава и плотности потоков веществ, не зависящие от системы отсчета, также будут снабжаться данными индексами для единообразия. В каждой из систем отсчета такого семейства будут сбалансированы диффузионные потоки

ˆ	ˆ	0 .	(6.13)
j	jk	0 .	(6.13)
	k

Уравнение баланса вещества в материальном описании (6.8) с учетом (6.13)

d xˆ

xˆ

0 ,

означает сохранение суммарной величины

xˆ

в локальном материальном

объеме (что не мешает локальному составу вещества в материальной точке изменяться с течением времени). Из уравнения (6.13) следует зависимость

коэффициентов	D	законов диффузии
	k
		ˆ	ˆ	ˆ
		jk	ˆ		k ,	(6.14)
		jk	x Dk		k ,	(6.14)

(в рамках определенного описания состава вещества p, m, v ), в которых опущены перекрестные члены. Система уравнений

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.09 Mб4Механика разрушения вязко-упругих тел..pdf
#
19.11.202334.67 Mб0Механика разрушения композитных материалов при сжатии..pdf
#
19.11.202326.62 Mб0Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин.pdf
#
12.11.202310.82 Mб2Механика разрушения. Разрушение конструкций.pdf
#
12.11.20237.56 Mб2Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб2Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб19Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf