книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

Если в качестве тел рассматриваются материальные точки, то из второго уравнения (3.43) и балансовых уравнений количества и момента количества движения следует требование

означающее параллельность обоих векторов сил линии, соединяющей материальные точки. Соотношения (3.44), (3.46) эквивалентны ньютоновскому принципу действия и противодействия для материальных точек, тогда как (3.44) справедливо и для тел, описываемых классическим континуумом. В более общем случае взаимодействия тел-точек или состоящих из них тел уравнения (3.44) ‒ (3.46) требуют дополнительного предположения

k2 k1 ,

вчем читателю предлагается убедиться.

Вмеханике континуума силы и моменты разделяют на массовые и поверхностные. Если на элементарный объем массой dm в текущий момент времени действует сила df , то массовая плотность силы определяется как

конфигурации:

Последние формулы следуют из (3.17) и (3.47). Силы (3.48), (3.49) называются объемными удельными силами. Массовыми (или объемными) силами описывается действие на частицы тела внешних по отношению к телу электромагнитного и гравитационного полей, а также сил инерции в неинерциальных системах отсчета. Действие же частиц тела на соседние частицы, хотя и имеет электромагнитную природу, в механике континуума описывается контактными, поверхностными силами. Такими же поверхностными силами осуществляется контактное внешнее воздействие на рассматриваемое тело через его поверхность. Если на элементарную

где S, S — поверхность тела в отсчетной и текущей конфигурациях.

Так же разделяют собственные моменты тела, вызванные действием на

имеют электромагнитную природу либо появляются при переходе в неинерциальных системы отсчета. Поверхностные моменты-пары

вводят для описания моментных контактных взаимодействий. Собственный момент от действующих на тело B моментов-пар из его внешности B можно представить как

3.5. Принцип напряжений

Сосредоточим внимание на описании внутренних локальных контактных взаимодействиях в сплошном теле B . Пусть сначала это тело представляет собой классический континуум. В инерциальной системе отсчета для него справедливо уравнение баланса количества движения. Из

(3.35), (3.40)1, (3.9) и (3.52) следует

Представим себе, что тело разделено на две части произвольно проведенной внутри него поверхностью. Эти части в общем как-то действуют друг на друга. В механике считается, что это взаимодействие осуществляется контактным способом. Для классического континуума такое взаимодействие сводится к поверхностным силам, что находит отражение в

принципе разрезания Эйлера ‒ Коши:

Действие любой части тела на оставшуюся часть равносильно действию поверхностной силы по поверхности раздела.

52

Возьмем на поверхности раздела тела произвольную внутреннюю точку и построим касающуюся этой поверхности в этой точке элементарную

материальную площадку ˆ ˆ . Предположим, что ndS

Поверхностная сила в точке поверхности раздела одинакова на всех поверхностях, имеющих в данной точке одинаковую нормаль.

Нормаль здесь направляется наружу к рассматриваемой части тела. Это — постулат Коши. Он утверждает, что

при этом зависимость от локальной геометрии поверхности игнорируется.

Для этого возьмем прямой круговой материальный цилиндр малого радиуса dr , высоты 2 и образующей, параллельной n , разрезаемый точно пополам касательной плоскостью к поверхности раздела в точке x . При 0 правая часть (3.59) исчезает, а левая сводится к интегрированию по круговым сторонам диска, имеющим противоположно ориентированные нормали. В итоге имеем tˆ(xˆ, nˆ) (dr)2 tˆ(xˆ,nˆ) (dr)2 0 и (3.61). Сейчас оказывается

Здесь ( xˆ ) — определенное внутри тела поле тензора второго ранга, называемого тензором напряжений Коши, nˆ( xˆ ) — единичная нормаль к произвольно ориентированной малой материальной площадке, tˆ(xˆ,nˆ) — вектор поверхностной силы на этой площадке. Таким образом, определения девяти компонент тензора в точке среды достаточно, чтобы найти вектор поверхностной силы на любой площадке, проходящей через эту точку. Равенство (3.62) называют соотношением Коши. Если вектор-аргумент отображения (3.62) поставить справа (как привычнее), то в получаемых далее уравнениях локального баланса количества движения будет фигурировать транспонированный к тензор (а это неудобно).

О. Коши, который ввел тензор напряжений в 1822 г., доказал свою теорему так. В исследуемой точке среды выделяется элементарный материальный тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой ортогональной системы координат, а четвертая — произвольна. Пусть n, t — внешняя нормаль четвертой грани и поверхностная сила на ней. Если ni — декартов орторепер, то внешние нормали первых трех граней и поверхностные силы на них суть ni и

53

tˆi ( nˆi ) tˆi (nˆi ) (использована основная лемма Коши). При стягивании тетраэдра в точку записанное для него уравнение (3.59) с точностью до малых более высокого порядка примет вид

ортобазисе ni nj есть проекция поверхностной силы на площадке с нормалью ni на направление n j . Размерность компонент тензора напряжений Коши совпадает с размерностью компонент поверхностной силы — Па.

3.6. Локальная форма законов динамики

С помощью (3.62) и формулы Гаусса – Остроградского поверхностный интеграл в (3.59) можно свести к объемному:

tdS n dS dV ,

Обсуждаемое уравнение справедливо для любой элементарной части тела, поэтому

Мы получили локальную форму уравнения баланса количества движения. При отсутствии собственных моментов количества движения и

моментов-пар (а этот случай мы сейчас и рассматриваем) уравнение баланса момента количества движения относительно начала координат следует из (3.65) и имеет вид

Из (3.65) получаем

54

при условии уравновешенности внутренних сил i χˆ i 0 , если ввести

следующие обозначения

ˆ v m i ˆ ivi , σ = i σi ˆ i vi v vi v , ˆ f i ˆ i fi , ˆ i ˆ i ,

где v m называется барицентрической скоростью. Скорость v m может быть выбрана в качестве конвективной, то есть v v m . Этот выбор не является единственным для многокомпонентной среды (более подробно см. главу 6).

3.7. Уравнение баланса количества движения в отсчетной конфигурации

Иногда уравнение баланса количества движения элементарного объема в текущий момент времени относят к отсчетной конфигурации. Чтобы получить требуемое уравнение вместо (3.59) следует использовать

Для того чтобы в левой части (3.73) перейти от интеграла по поверхности к интегралу по объему в K0 , сначала найдем тензор, связывающий t с n:

Для этого примем во внимание (3.50), (3.51), откуда следует

ˆ ˆ

tdS tdS ,

соотношение Коши (3.62)

t n

и связь ориентированных площадок в отсчетной и текущей конфигурациях

(1.55)

Этот тензор называется тензором напряжений Пиолы. Смысл его компонент позволяет прояснить соотношение (3.75), где он выступает как линейный оператор. Сравнивая (3.75) с (3.62) и вспоминая смысл векторов t и n, можно заключить, что компонента Pij тензора напряжений Пиолы P в

произвольном ортобазисе ni nj есть проекция силы dt , действующей на

элементарную площадку ˆ ˆ в текущей конфигурации (прообраз которой в ni dS

отсчетной конфигурации есть ni dS ) и отнесенной к dS , на направление n j .

57

Подставляя (3.74) в (3.73) и используя формулу Гаусса – Остроградского, приходим сначала к

( P f a)dV 0 ,

V

3.8. Мощность напряжений и закон сохранения механической энергии

Получим далее выражение для — скорости изменения внутренней

U

энергии элементарного объема континуума. Для этого выпишем тождество сохранения механической энергии

в котором

K 21 v vdV ,

V

P f vdV t vdS ,

и будем полагать

U u dV ,

V

где u — массовая плотность внутренней энергии. Собирая все вместе,

Перед взятием материальной производной слева (3.78) нужно перейти от интеграла по объему в текущей конфигурации (которая, конечно, зависит от времени) к интегралу по массе тела, а после него вернуться обратно:

ˆ ˆ

(v v u) dV .

ˆ

V

Мы будем полагать, что (3.78) записано в инерциальной системе отсчета, и потому справедливо (3.65):

f v ,

которое сворачиваем с v и интегрируем по объему текущей конфигурации, в результате получая равенство

Вычитая его из (3.78) с учетом (3.79), получим

Для преобразования интеграла по поверхности к интегралу по объему сначала используем соотношение Коши (3.62)

t n ,

а затем формулу Гаусса – Остроградского:

Используя симметрию тензора напряжений Коши (для изучаемого сейчас классического континуума) (3.69) и определение тензора деформации скорости (2.18), (2.19), можно (3.80) переписать в виде

Левая часть (3.81) есть скорость изменения внутренней энергии, отнесенная к элементарному объему в текущей конфигурации. Мы видим в этом выражении в качестве силовой переменной тензор напряжений, благодаря чему u называют локальной мощностью напряжений. Выражение (3.81) подчеркивает, что локальный объем континуума взаимодействует со своим ближайшим окружением контактными силами, которые описывает тензор напряжений. Справедливость тождества сохранения механической энергии можно доказать на основе закона динамики (3.65) и определения скорости изменения внутренней энергии (3.81).

Аналогичным образом, опираясь на (3.74) и (3.78), можно показать, что

3.9. Меры напряжений, энергетически сопряженные мерам деформаций

Ранее нами вводились меры деформации и их скорости. Следуя похожей формальной методике [12], можно было бы сейчас ввести аналогичный набор мер напряжений. Любой мере деформации соответствует единственная мера напряжений, вместе с которой они должны давать

где мощность напряжений единицы объема отсчетной конфигурации согласно (3.81) и (3.18) записывается еще и как

частных случаях получаем меры напряжений, сопряженные некоторым мерам деформаций семейства (1.43), имеющие компоненты: