книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

Определим скорость изменения нормали к материальной площадке. Дифференцируя (1.57)

/ n LT n

и затем

2.9. Запись уравнений совместности в дивергентной форме

Для достаточно гладких (кусочно дважды непрерывно дифференцируемых) отображений (1.1) градиент места и скорость материальной частицы связаны. Соответствующее уравнение совместности

записанное в лагранжевых переменных, следует из (1.11) и (2.2). Из (2.15) с учетом (2.18) получаем то же уравнение

записанное в эйлеровых переменных.

Общие полевые уравнения континуума принято записывать в

где ( x,t), ˆ( xˆ,t), ( x,t), ˆ ( xˆ,t), ( x,t), ˆ ( xˆ,t) ― плотности, потоки и источники тензорной полевой величины в лагранжевых и эйлеровых переменных. Данный формат записи изменения распределения полевой величины материального континуума в пространстве и времени оказывается удобным с математической точки зрения, в частности, для вывода условий на

41

границах и численного интегрирования. Больше примеров его применения будет дано в следующих главах. В качестве полевых переменных в (2.66), (2.67) могут выступать произвольные тензорные (полярные или аксиальные) величины. Данные уравнения называются уравнениями баланса (в локальной форме).

Для приведения уравнения (2.65) к форме (2.67) его необходимо транспонировать и применить тождество (I v) v , в результате чего получим

Таким образом, в терминах (2.67) FT , Iv, .

Уравнение (2.66) приводится к форме (2.68) с помощью тождества Пиолы

которое доказывается с помощью (1.55) и теоремы Гаусса – Остроградского:

Таким образом, в терминах (2.68) ˆ J 1F T , ˆ J 1Fv, ˆ .

42

материальный континуум с определенными на нем полями объемных плотностей величин. Для этого объема будет справедливо уравнение баланса

попадающий в объем через материальную границу, принято называть кондуктивным. Из (3.7) с учетом произвольности рассматриваемого пространственного объема, покрывающего частично или полностью материальный континуум, последовательно вытекают (3.5) и (3.6).

Ранее, в разделе 2.9, рассматривались уравнения совместности деформаций в дивергентной форме. Одно из этих уравнений, (2.71), следует

выражения в (3.6) и используя (1.20), получаем второе уравнение ― (2.69).

3.2. Баланс массы в закрытой системе. Уравнение неразрывности

В реальных средах, которые в рамках настоящего курса воспринимаются сплошными, масса оказывается сосредоточенной в мельчайших частицах, малость размера которых не установлена. Большинство задач механики обходится без знания распределения массы на мельчайших масштабах. Элементом механики континуума является область реального материала конечного (хотя и малого) размера. Для него изучается движение и деформации, а также вызывающие их силы и напряжения. Все эти характеристики относят к точке, окрестностью которой является этот элементарный объем. Тем самым истинное распределение механических характеристик в теле, безусловно, огрубляется, осредняется на некотором малом масштабе.

Сказанное относится и к массе. В нижеследующих дифференциальных определениях плотности массы считается, что масса непрерывно распределена по телу.

44

С помощью (3.5) и (3.6) можно записать уравнение баланса массы в локальной форме в эйлеровых и лагранжевых переменных. Для закрытой (не обменивающейся массой) системы

― плотность массы в актуальной конфигурации, поэтому в терминах (3.1)

величины ˆ ˆ d ( xˆ,t) / dm , которая требуется для записи балансовых

уравнений динамики и термодинамики континуума. Из (3.5) с учетом (3.10) следует

Уравнения (3.12) и (3.13) для массовых плотностей можно последовательно получить из (3.7) с учетом (3.10) или (3.11). Заметим, что из (3.12) и (3.13) невозможно вывести уравнения (3.10) и (3.11). Иногда для вывода (3.10) и (3.11) к локальной форме (3.7) (уравнению (3.5)), записанной для массовой

Сохранение массы элементарного объема тела при его деформировании из отсчетной в текущую конфигурацию означает

Уравнение неразрывности (3.18) — следствие закона сохранения массы. Дифференцируя (3.17)

вновь получаем (3.11) ― уравнение неразрывности в дифференциальной форме в лагранжевых переменных, из которого нетрудно вывести его запись (3.10) в эйлеровой форме.

При помощи (3.10) можно выделить случай, когда плотность в точке пространства не зависит от времени:

а при помощи (3.11) ― случай, когда плотность в точке континуума не зависит от времени, т.е.

3.3. Динамические структуры и балансовые уравнения системы материальных точек

Перед записью балансовых уравнений динамики континуума построим их для системы материальных точек [2] (на рис. 3.1 иллюстрируемой одной парой). Масса такой системы найдется как

скорость ее центра масс

46

точек системы и внешних по отношению к ней тел, а f — только внешние силы. Момент количества движения относительно точки, отмечаемой радиусвектором y

l m ( xˆ y) v ( xˆ y) q ,

противодействия сил взаимодействия каждой пары точек системы f f

. В (3.27) и (3.28) выделяются моменты относительно центра масс системы —

собственный момент количества движения и собственный момент k .

Рис. 3.1. Система двух взаимодействующих материальных точек

47

В инерциальной системе отсчета для каждой материальной точки справедлив второй закон Ньютона

для всей системы материальных точек ― законы динамики Ньютона и Эйлера

(3.30)2 и по существу является уравнением баланса собственного момента количества движения дискретной системы. Законы (3.31) независимы, однако следуют из законов (3.29). Внимание дискретной системе материальных точек здесь уделено по следующей причине. Нет оснований считать, что как угодно малая материальная частица не состоит в свою очередь из других частиц. С другой стороны, в нашем представлении среды, которую мы описываем континуумом, мы всегда ограничиваемся частицами определенного, хотя и малого по сравнению с размером тела масштаба, считая их неделимыми. Дискретная система материальных точек была рассмотрена выше как модель такой частицы. Для такой неделимой частицы (3.31)2 будет независимым от (3.31)1 фундаментальным законом. Такая модель частицы трактует ее саму малым деформируемым телом. Если, в частном случае считать моделью частицы абсолютно жесткое тело, называемое телом-точкой, то и в этом случае закон (3.31)2 будет независимым. В другом частном случае, когда континуумом описывается среда, состоящая из частиц — материальных точек, закон (3.31)2 пропадает. Такой континуум называют классическим, другие же, рассмотренные выше,

— обобщенными: континуум, состоящий из тел-точек, называют континуумом Коссера, а континуум, состоящий из малых деформируемых тел, — микроморфным континуумом (Миндлина ‒ Эрингена).

3.4. Балансовые уравнения динамики континуума

Сформулируем уравнения баланса количества движения и момента количества движения, которые обычно называют законами динамики. Это ― общие феноменологические ограничения механики, требующие умения измерять силы и моменты, являющиеся источниками изменения количества и момента количества движения тел, и не требующие знания природы этих сил и моментов.

48

Для каждого элементарного объема материала определена его масса dm, поэтому для всего тела B имеем

а момент количества движения относительно точки, отмечаемой радиусвектором y ,

Здесь ( x y ) vdm — момент количества движения элементарного объема тела B, сосредоточенного в точке x , относительно точки y , dm — момент количества движения того же элементарного объема относительно точки y x , т.е. собственный момент количества движения элементарного объема. Вектор B следует считать частью собственного момента количества движения тела B, образуемой собственными моментами количества движения составляющих это тело элементарных объемов. Заметим, что первое слагаемое в (3.34) не разделяется на моменты количества движения тела относительно y и относительно его центра масс, так как впоследствии нас будет интересовать собственное вращение элементарного объема, а не тела. Для нахождения материальной производной q ,l нужно принять во внимание, что dV dm — масса элементарного объема материала и

где df — действующая на элементарный объем сила со стороны тела А и оставшейся части тела B. Для момента же имеем

Здесь ( x y ) df — момент силы df , действующей со стороны тела А на элементарный объем тела B, сосредоточенный в x , относительно точки y , dk — момент, действующий со стороны тела А на тот же элементарный объем относительно точки y x , т.е. собственный момент, действующий на элементарный объем, называемый еще моментом-парой. Вектор kB следует считать частью собственного момента тела, вызванной действием моментовпар. Заметим, что первое слагаемое в (3.38) не разделяется на моменты сил относительно y и относительно центра масс тела, так как впоследствии нас будет интересовать собственный момент, действующий на элементарный объем, а не на тело. Для получения выражений (3.37), (3.38) через внешние силы использован принцип действия и противодействия (3.44), (3.46) для телточек, доказываемый ниже.

В инерциальной системе отсчета для элементарного объема тела B

аналогичные соотношениям (3.31) для системы материальных точек. Уравнение (3.41)2 является балансовым уравнением той части собственного момента количества движения континуального тела, которая вызвана действием моментов-пар. Это уравнение не следует из (3.39). Если же частица тела сводится к материальной точке, то для нее

а уравнение (3.41)2 для тела пропадает.

Принцип действия и противодействия для материальных точек и тел,

описываемых классическим континуумом, может быть доказан на основе балансовых уравнений количества и момента количества движения и гипотезы (3.42). Рассмотрим пару взаимодействующих тел, не подверженную

Используя балансовые уравнения количества движения для каждого тела, из первого уравнения получим

Используя балансовые уравнения моментов количества движения для каждого тела, из второго уравнения