книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

его конфигурацию. Здесь нам потребуются две конфигурации — в начальный момент времени, называемая отсчетной и обозначаемая K0 , и в текущий момент времени, называемая текущей и обозначаемая Kt . Деформацией тела называется изменение его конфигурации. В механике континуума внимание концентрируется на деформационной составляющей его движения. Элементарным примером деформируемого тела является пружина, способная изменять расстояние между концами.

На рис. 1.1 для примера приведены сетки материальных координат в осевом сечении деформированного штамповкой тела, имевшего в начальной конфигурации данного сечения прямоугольную сетку материальных координатных линий.

Рис. 1.1. Сетка материальных координат после деформации штамповки

Основная гипотеза континуума при лагранжевом способе описания движения состоит в том, что отображение (1.1) по первому аргументу гомеоморфно, то есть непрерывно дифференцируемо и имеет ненулевой якобиан. При этом условии существует обратное отображение

также являющееся гомеоморфным. Отображение (1.2) позволяет определить, какая именно материальная точка находится сейчас в данной точке пространства. Поскольку параметр t здесь может быть произвольным, все

11

материальные системы координат в пространстве, образованные из лагранжевых координатных линий движением континуума, являются равноправными. То есть при движении континуума две материальные точки не сольются в одну, а из одной не появятся две, векторы, касательные к материальным координатным линиям, проходящим через точку, не окажутся в одной плоскости и т. д. Данная гипотеза требует, чтобы близкие материальные частицы в процессе движения оставались близкими, т.е.

сохранения локальной топологии [2]. Эксперименты показывают, что требование не выполняется для некоторых сравнительно малых объемов жидких, пластических и тому подобных сред, где движение может сопровождаться локальным перемешиванием частиц. Однако в некоторых средах — упругих — это требование (даже в сравнительно малых объемах) выполняется хорошо, для других же сред такую гипотезу можно принять для некоторых движений на некоторых масштабах. Такими случаями, вообще-то, ограничено использование и самого лагранжева подхода к описанию движения.

1.3. Аффинные локальные искажения континуума

Каждой материальной точке можно естественно сопоставить локальный базис

i i

касательный к первоначальным материальным координатным линиям, проходящим через эту точку, и локальный базис

касательный к материальным координатным линиям, проходящим через эту точку в текущий момент времени. Примем якобиан преобразования (1.1) положительным, тогда базисы ei и ei оба правые или оба левые и материальную среду невозможно локально вывернуть наизнанку. Бесконечно малый материальный отрезок

исходящий из некоторой материальной точки в начальный момент времени, преобразуется в бесконечно малый материальный отрезок

исходящий из той же материальной точки в текущий момент времени. Один бесконечно малый материальный отрезок dx взаимно однозначно

12

отображается на другой бесконечно малый материальный отрезок dx , но оба состоят из одного и того же набора материальных точек, о чем свидетельствуют равенство бесконечно малых приращений материальных координат d i в (1.5) и (1.6) (то есть равенство «поименных списков» точек

отрезков). Компоненты d i отрезка, оставаясь бесконечно малыми, в

Из (1.8) нетрудно получить запись данного оператора в виде диадика, построенного из векторов обоих локальных базисов:

и формулы (1.4) рассматриваемый оператор можно записать в виде диады

F x , (1.11)

благодаря чему его называют градиентом места. Из (1.9) немедленно следует

Итак, материальная точка в процессе движения перемещается в пространстве. Рассмотрим в начальный момент времени бесконечно малый материальный параллелепипед с вершиной в некоторой материальной точке и ребрами d i вдоль векторов локального базиса ei в этой точке. В процессе движения эта фигура перемещается вместе с вершиной и искажается, превращаясь в бесконечно малый материальный параллелепипед с ребрами d i вдоль базисных векторов ei . То есть линейные операторы F и F описывают аффинное изменение формы малой окрестности точки материального континуума и потому являются аффинорами.

1.4. Изменения метрики

В процессе деформации материального континуума в малой окрестности любой его точки изменяется метрика. Изменение локальной материальной метрики называют локальной деформацией. Фундаментальная матрица, в начальный момент времени равная

что выражает принадлежность обеих конфигураций аффинному евклидову пространству. Мерой изменения локальных метрических свойств может служить симметричная матрица

Из (1.24), (1.25) видно, что информация о локальной деформации содержится в шести независимых компонентах любого из этих тензоров, находимых по девяти компонентам аффинора. При деформации тела, то есть изменении его конфигурации, локальная окрестность произвольной точки испытывает не только деформацию, но и поворот, описываемый тремя оставшимися

14

независимыми компонентами аффинора. Более наглядно эти вопросы могут быть изучены с помощью полярного разложения тензора.

1.5. Эллипсоиды деформации

Аффинор F единственным образом разложим на компоненты

деформацию и в соответствии с их положением в полярных разложениях (1.26), называемые правым и левым тензорами искажения, и R — собственно ортогональный тензор, описывающий поворот. Аналогично

т.е. тензоры искажений отвечают за изменение локальной метрики.

Малый материальный шар dx dx 2 , взятый в начальный момент времени, при движении среды перемещается вместе со своим центром и искажается, становясь малым материальным эллипсоидом

аффинное искажение шара разделить на два этапа: деформацию U и поворот R, и рассмотреть промежуточную локальную конфигурацию K .

Такая конфигурация в общем не осуществлялась в ходе действительного движения выбранной материальной окрестности, ибо аффинор F содержит в себе информацию только о начальной и текущей конфигурациях этой материальной окрестности. Использование такой

** Здесь и далее индекс у формулы в отдельной строке указывает порядковый номер выражения в данной строке

15

промежуточной конфигурации, во-первых, оправдывается существованием упругих сред, состояние которых в любой момент времени не зависит от истории искажения материальной окрестности, а зависит именно от начальной (ненапряженной и недеформированной) и текущей конфигураций этой материальной окрестности, а во-вторых, возможностью применения этого разложения в кинематике — для пары бесконечно близких текущих конфигураций, где промежуточная конфигурация с ними сливается.

Малые материальные отрезки dx в K , связанные с начальными материальными отрезками dx деформацией dx U dx и с текущими материальными отрезками dx поворотом dx R dx , образуют эллипсоид dx U 2 dx 2 . Итак, на первом этапе материальный шар деформируется и

Отметим, что каждый из этих векторов определяется с точностью до противоположного направления, поэтому только правых троек будет четыре варианта. Очевидно, главные оси pi правого эллипсоида деформации совпадают с главными осями тензора U; главные значения этого тензора,

называемые главными удлинениями или кратностями удлинений, обозначим

i ( i 0 ). Материальные отрезки, располагающиеся в K0 вдоль векторов pi , в результате деформации не изменяют своего направления, но изменяют свою длину в отношении i li / li , где li — текущие, а li — начальные длины материальных отрезков. В частных случаях деформации среди трех чисел i имеются совпадающие. Когда два и только два таких числа совпадают, скажем 1 и 2 , соответствующие им главные направления будут исчерпываться всеми направлениями в плоскости, перпендикулярной p3 , а эллипсоид деформации окажется эллипсоидом вращения. Если все три значения совпадают, любое направление в пространстве будет главным, а эллипсоид деформации оказывается шаром.

16

Рис. 1.2. Эллипсы и главные направления деформации

Теперь разделим аффинное искажение материального шара с использованием (1.26)2 — на последовательно осуществляемые поворот R и деформацию V. Промежуточную конфигурацию (фиктивную, как и в первом

в результате деформации не изменяют своего направления, но изменяют свою длину в отношении i .

Очевидно, главные оси правого и левого эллипсоидов деформации в пределе при t t0 совпадают между собой. Обозначим ортонормированные векторы вдоль главных осей в их предельном положении как Ортонормированные тройки векторов pi , pi и pi существуют и в случае кратных главных удлинений. Эти тройки, являющиеся базисами рассматриваемого пространства, будем называть соответственно правым, левым и предельным трехгранниками. Выше говорилось о неопределенности

17

деформацию, и поворот, — однородный простой сдвиг среды, описываемый законом

xˆ1 x1 2 x2xˆ2 x2

в декартовом ортонормальном репере, вдоль третьего направления которого преобразование тождественно. С помощью аффинора

Главные оси этих тензоров образуют соответственно правый и левый трехгранники. Ориентация первой главной оси любого симметричного тензора T второго ранга над плоскостью по отношению к первому вектору базиса дается формулами:

где знак минус соответствует правой, а плюс — левой, первым главным осям.