книги / Общая электротехника и электроника
..pdf
Рис. 5.10. Исходная схема |
Рис. 5.11. Схема замещения |
|
Полное потокосцепление с витками катушки равно |
|
|
Ψ = wФ + Ψ рас . |
(5.20) |
|
С учетом активного сопротивления обмотки Rв и потокосцепления рассеяния напряжение между выводами катушки определяется выражением
u = R i + |
dΨ |
= R i + |
dΨ рас di |
+ w |
dФ |
= |
||
|
|
|
|
|
||||
в |
dt |
в |
di dt |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|||||
= R i + L |
|
di |
+ w |
dФ |
= u |
|
+ u |
|
|
+ u |
. |
(5.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в |
рас dt |
|
dt |
R |
|
Lрас |
0 |
|
|
|||||
Из выражения |
|
(5.21) |
следует, |
что |
реальную |
катушку |
||||||||
с магнитопроводом можно представить схемой замещения в виде последовательного соединения резистивного элемента с сопротивлением витков обмотки Rв, индуктивного элемента с ин-
дуктивностью рассеяния Lрас и так называемой идеализирован-
ной катушки (рис. 5.11).
У идеализированной катушки обмотка не имеет индуктивности рассеяния и активного сопротивления. Ее свойства зависят только от параметров магнитопровода и режима намагничивания, а напряжение между ее выводами определяется ЭДС самоиндукции в витках обмотки u0 = –е0 = wdФ/dt.
91
5.8.1. Процессы намагничивания магнитопровода идеализированной катушки
Пусть идеализированная катушка напрямую подключена к источнику синусоидальной ЭДС, без Rв и Lрас. На основании второго закона Кирхгофа для контура, обозначенного на рис. 5.11 штриховой линией, справедливо равенство
u0 = –e0 |
(5.22, а) |
или |
|
u0 = U0msinωt = wdФ/dt. |
(5.22, б) |
Из уравнения (5.22, б) следует закон изменения во времени магнитного потока. Поскольку
|
|
dФ = |
U0m |
sinωtdt , |
|
|
|
|
(5.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = |
U0m |
|
sin ωtdt = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
U0m |
cosωtdt + A |
= |
U0 2 |
|
ωt − |
π |
+ A. |
(5.24) |
||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||
w |
|
2πfw |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Постоянная интегрирования А равна некоторому постоянному потоку, которого нет в магнитопроводах устройств переменного тока в установившемся режиме работы. Следовательно, постоянная А = 0, и магнитный поток
Ф = Фmsin (ωt – π/2), |
(5.25, а) |
где |
|
Фm = U0 /4,44 fw, |
(5.25, б) |
т.е. при синусоидальном напряжении между выводами идеализированной катушки магнитный поток в магнитопроводе также
92
синусоидальный и не зависит от свойств ферромагнитного материала.
Поскольку действующие значения напряжения U0 между выводами идеализированной катушки и ЭДС самоиндукции Е0 одинаковые, получается
Е0 = 4,44fwФm. |
(5.25, в) |
Последнее соотношение применяется для расчетов ЭДС, индуктируемых в обмотках трансформаторов, поэтому его часто называют уравнением трансформаторной ЭДС.
5.8.2. Схемы замещения и векторные диаграммы реальной катушки с магнитопроводом
В зависимости от параметров магнитопровода и режима его намагничивания для анализа реальной катушки можно принять различные упрощающие допущения.
1. Магнитопровод изготовлен из ферромагнитного материала с практически линейной зависимостью индукции от напряженности магнитного поля В = μаН.
В однородном замкнутом неразветвленном магнитопроводе идеализированной катушки с площадью поперечного сечения S можно считать магнитное поле однородным, т.е. Ф = ВS, где В – индукция на средней линии магнитопровода, определяемая по напряженности магнитного поля на средней линии.
Для линейной зависимости индукции от напряженности
Ф = ВS = μа НS = |
μrμ0 Sw |
i. |
(5.26) |
|
|||
|
lср |
|
|
Подставив значение магнитного потока в магнитопроводе идеализированной катушки из выражения (5.25, а) в формулу (5.21), получим напряжение между выводами реальной катушки:
93
u = Rвi + Lрасdi/dt + Ldi/dt, |
(5.27) |
гдеL –индуктивностьидеализированнойкатушки, L = μrμ0 Sw2 /lср.
В цепи синусоидального тока выражению (5.27) соответствует схема замещения реальной катушки (рис. 5.12, а) с магнитопроводом, выполненным из магнитного материала с линейными свойствами. Схема замещения идеализированной катушки – линейный индуктивный элемент – обведена штриховой линией.
Поскольку все элементы схемы замещения реальной катушки линейные, то для ее расчета можно пользоваться комплексным методом (рис. 5.12, б).
а |
б |
Рис. 5.12. Идеализированная катушка:
а– схема; б – векторная диаграмма
2.Магнитопровод изготов-
лен из ферромагнитного материала |
|
|
с округлой статической петлей |
|
|
гистерезиса. |
|
|
Определяют |
магнитостати- |
|
ческие свойства |
магнитопровода |
|
зависимостью В(Н) (рис. 5.13), где |
|
|
В – среднее значение индукции в |
Рис. 5.13. График замещения |
|
поперечном сечении площадью S, |
|
|
В= Ф/S; Н– напряженностьна средней линии длиной lср, Н = iw/lср. Статическую петлю гистерезиса магнитопровода В(Н) для при-
94
ближенного анализа процессов в идеализированной катушке заменяют эквивалентным эллипсом. Эквивалентный эллипс
сцентром в начале координат должен иметь такие формы, расположение и направление обхода, чтобы его уравнение В(Н)
сдостаточной точностью описывало процесс намагничивания магнитопровода по статической петле гистерезиса. Обычно общая площадь эквивалентного эллипса и петли гистерезиса должна составлятьне менее 80–90 % площади каждого из них в отдельности.
При синусоидальном изменении напряжения питания u представляют уравнение эквивалентного эллипса в параметрической форме:
В = Вm sinωt; H = Hmsin(ωt + δ), |
(5.28) |
где Вm и Hm – максимальные значения индукции и напряженности; ω – угловая частота перемагничивания магнитопровода; t – время; δ– угол сдвигафаз между напряженностью и индукцией.
Поскольку индукция и напряженность магнитного поля в магнитопроводе при замене петли гистерезиса эквивалентным эллипсом изменяются по синусоидальному закону, то для расчета цепи можно применить комплексный метод. Для этого представляют напряженность и индукцию магнитного поля соответствующими им комплексными значениями:
Н = Нmе jδ/ 2; В = Вm / 2. |
(5.29) |
Следовательно, |
|
I = lсрН/w = Ie jδ; |
(5.30, а) |
U0 = –E0 = jωwBS = jU0, |
(5.30, б) |
где I и U0 – действующие значения тока, напряжения и ЭДС |
|
самоиндукции идеализированной катушки, I |
= lсрНm / 2w, |
U0 = E0 = ωwSBm / 2 . |
|
95
По закону Ома в комплексной форме и формулам преобразования получают
|
|
= |
U0 |
= |
U0 |
e− jδ = |
U0 |
sinδ+ j |
U0 |
cosδ = |
||||
Z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I |
|
I |
|
I |
I |
||||||
|
|
|
|
|
|
= Rг + jXL = Rг + jωL, |
(5.31) |
|||||||
где Rг – активное сопротивление, учитывающее потери на гисте-
резис, Rг = ωw2 Вm S sinδ; XL – индуктивное сопротивление идеа-
Hmlср
лизированной катушки, XL = ωw2 Вm S cosδ.
Hmlср
Заменив идеализированную катушку последовательным соединением резистивного элемента Rг и индуктивного элемента XL, получим схему замещения реальной катушки с потерями на гистерезис (рис. 5.14).
а |
б |
Рис. 5.14. Схемы замещения катушки: а – последовательная; б – параллельная
Часто для реальной катушки составляют схему замещения согласно рис. 5.14, б, которая получается из схемы замещения, представленной на рис. 5.14, а, после замены последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов схемы замещения идеализированной катушки эквивалентным параллельным соединением элементов:
96
|
|
|
|
G = |
|
|
|
Rг |
|
; ВL = |
ωL |
(5.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
R2 |
+ (ωL) |
2 |
R2 + (ωL)2 |
||||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
г |
|
||
где G и ВL – активная и индуктивная проводимость идеализиро- |
|||||||||||||
ванной катушки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
На |
векторной |
диаграмме |
|
|
|
|||||||
схемы замещения реальной ка- |
|
|
|
||||||||||
тушки (рис. 5.15) вектор Ф с ну- |
|
|
|
||||||||||
левой начальной фазой. Вектор |
|
|
|
||||||||||
тока |
|
|
|
опережает вектор |
маг- |
|
|
|
|||||
I |
|
|
|
||||||||||
нитного потока на угол δ, назы- |
|
|
|
||||||||||
ваемый углом потерь идеализиро- |
|
|
|
||||||||||
ванной катушки. Ток |
|
|
представ- |
|
|
|
|||||||
I |
|
|
|
|
|||||||||
лен |
суммой в |
виде суммы Рис. 5.15. Векторная диаграмма |
|||||||||||
активной Iа и реактивной Ip со-
ставляющих тока, причем активная составляющая тока совпадает по фазе с вектором напряжения U0 , а реактивная Ip отстает
по фазе от напряжения U0 на угол 90°.
Для определения напряжения U между выводами реальной катушки необходимо к напряжению идеализированной катушки U0 прибавить падения напряжения на активном сопро-
тивлении UR = RвI и индуктивном сопротивлении рассеяния ULрас = jXрас I обмотки. Вектор комплексного значения ЭДС самоиндукции E0 находится в противофазе с U0 .
В общем случае зависимость среднего значения индукции от напряженности магнитного поля на средней линии в магнитопроводе определяется не по статическому, а по динамическому циклу гистерезиса. В связи с этим эквивалентный эллипс, определяющий параметры схемы замещения идеализированной катушки в цепи переменного тока, в общем случае должен соответствовать динамическому циклу гистерезиса.
97
5.8.3. Мощность потерь в магнитопроводе
Наличие гистерезиса приводит к потерям энергии в магнитопроводе. В любой момент времени мощность потерь идеализированной катушки (см. рис. 5.14) составляет
|
dФ |
Hlср |
= Sw |
dB lср |
H = SlсрH |
dB |
|
|
||||
p = u0i = w |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(5.33) |
||
|
|
dt w |
dt |
|||||||||
|
dt |
w |
|
|
|
|
||||||
где u0 – напряжение между выводами идеализированной катушки; i – токв катушке.
Для периодического тока средняя мощность потерь, т.е. активнаямощностьидеализированнойкатушкизаодинпериод, равна
Р = Т1 |
Т |
|
0u0idt = SlсрŠHdB, |
(5.34) |
пропорциональна площади петли гистерезиса, умноженной на объем магнитопровода: V = Slср.
Площадь петли гистерезиса в общем случае отличается от площади статической петли гистерезиса. При изменяющемся во времени магнитном потоке в магнитопроводе индуктируются вихревые токи iв (рис. 5.16, а), которые зависят как от частоты магнитного потока, так и от удельной электрической проводимости материала и конструкции магнитопровода. Вихревые токи приводят к нагреву магнитопровода и оказывают размагничивающее действие в магнитопроводе, поэтому нужное значение магнитного потока, а значит и индукции, при учете вихревых токов можно получить при большем намагничивающем токе, т.е. при большей напряженности магнитного поля.
Таким образом, площадь динамической петли гистерезиса Вдин (Н) для магнитопровода, в котором возникают вихревые токи, больше площади соответствующей статической петли гистерезиса (рис. 5.16, в). Мощность потерь в магнитопроводе можно разделить на две составляющие.
98
а |
б |
в |
Рис. 5.16. Потери в магнитопроводе: а – в цельном; б – секционном; в – график
Мощность потерь на гистерезис пропорциональна площа-
ди статической петли (см. рис. 5.15, в, внутренняя петля). Мощность потерь на вихревые токи пропорциональна разности между площадями динамической и статической петель гистерезиса.
Для уменьшения вихревых токов в магнитопроводах, вопервых, уменьшают площадь контуров, охватываемых вихревыми токами, во-вторых, увеличивают удельное электрическое сопротивление самого материала. Для уменьшения площади контуров вихревых токов при частотах до 20 кГц магнитопроводы собирают из тонких листов электротехнической стали (пермаллоя), изолированных лаком (рис. 5.15, б).
При промышленной частоте тока в катушке 50 Гц толщина листов обычно равна 0,35–0,5 мм. При более высоких частотах толщина листов уменьшается до 0,02–0,05 мм. В материал магнитопровода добавляется 0,5–4,5 % кремния (Si). Такая присадка значительно увеличивает удельное электрическое сопротивление материала и мало влияет на его магнитные свойства.
Мощность потерь на гистерезис в технических задачах определяют по формуле
P = σ |
г |
fBn G, |
(5.35) |
г |
m |
|
где σг – гистерезисный коэффициент, значение которого зависит от сорта электротехнической стали (определяют по справоч-
99
никам); f – частота; Вm – амплитуда магнитной индукции, практический показатель степени n = 1,6 при Вm < 1 Тл и n = 2 при Вm > 1 Тл; G – масса магнитопровода.
Мощностьпотерьнавихревыетоки определяютпоформуле
Рв = σ |
в |
f |
2 γGB2 |
, |
(5.36) |
|
|
m |
|
|
где σв – коэффициент вихревых токов, значение которого зави-
сит от сорта электротехнической стали и конструкции магнитопровода (определяют по справочникам); f – частота; γ – удель-
ная проводимость материала; G – масса магнитопровода; Вm – амплитуда магнитной индукции.
При значениях индукции больше 1 Тл можно считать, что мощность суммарных потерь в магнитопроводе пропорциональна Bm2 и, следовательно, Ф2m . Таким образом, мощность потерь
в магнитопроводе Р = Рг + Рв пропорциональна квадрату амплитуды потока, подобно тому как мощность потерь в проводах обмотки пропорциональна квадрату амплитуды тока.
100