книги / Общая электротехника и электроника

ГЛАВА 3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

3.1. Понятие о трехфазных электрических цепях

Трехфазная электрическая цепь (ТЦ) – это совокупность трех однофазных электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электрической энергии. Основное назначение ТЦ – возможность создания вращающегося магнитного поля для электродвигателей.

Таблица 3 . 1

Обозначение фаз в трехфазных электрических цепях

Фаза – отдельная электрическая цепь, входящая в состав ТЦ, в которой может протекать один из токов трехфазной системы. Фазами называют также отдельные элементы этой цепи (например, фазные обмотки трехфазного источника и др.). Общепринятое обозначение фаз ТЦ приведено в табл. 3.1.

Фазное напряжение Uф – напряжение между началом и концом фазы источника или приемника.

Фазный ток Iф – ток в фазе трехфазной цепи.

Линейные провода – провода, соединяющие начала одноименных фаз источника и приемника.

Линейный ток Iл – ток в линейных проводах.

Линейное напряжение Uл – напряжение между линейными проводами или между началами разных фаз.

Трехфазную систему ЭДС (токов, напряжений) – совокупность ЭДС (токов, напряжений) – называют симметричной,

61

если амплитудные (действующие) значения ЭДС (токов, напряжений) во всех фазах равны и сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол ψ = 2π/3 (120°), и несимметричной, если хотя бы одно из приведенных условий не выполняется.

Трехфазная симметричная система ЭДС для мгновенных и комплексных значений может быть описана системой уравнений

где индексы А, В, С обозначают принадлежность ЭДС к соответствующей фазе трехфазной цепи.

Трехфазную систему ЭДС (токов, напряжений) можно изобразить векторной и временной диаграммой, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Векторнаяивременнаядиаграмматрехфазнойцепи

Трехфазные симметричные системы ЭДС (токов, напряжений) удовлетворяют уравнениям

62

Симметричный приемник электрической энергии – трех-

фазный приемник, у которого комплексные сопротивления всех фаз одинаковы: Zа = Zb = Zc .

Cимметричный режим работы ТЦ – режим работы, при котором трехфазные системы напряжений и токов симметричны.

Связанная трехфазная электрическая цепь– цепь, в которой все фазы электрически соединены. Основными способами соединенияфаз являются соединения звездой (Y) и треугольником ( ).

3.2. Соединение звездой

При этом типе соединения начала фазных обмоток соединены в одном узле, который называют нолем (0), а концы фаз образуют трехфазную цепь. Схема соединения звездой в четырехпроводной цепи приведена на рис. 3.2, где указаны общепринятые условныеположительные направления токов, напряжений и ЭДС.

Фаза А трехфазной цепи – участок NAan. Аналогично можно выделить фазы В и С этой цепи.

Комплексные фазные сопротивления отдельных фаз (без учета внутреннего сопротивления источника) равны

ZA = Za + ZПР , ZВ = Zb + ZПР , ZС = Zс + ZПР. (3.3)

Линейные и фазные напряжения источника электрической энергии связаны соотношениями

Расчеты симметричных и несимметричных режимов в трехфазной цепи могут быть выполнены с помощью законов Ома и Кирхгофа и другими известными методами, подобно расчету однофазных цепей. При этом наиболее целесообразно пользоваться комплексным методом.

63

Напряжения ТЦ определяют по законам Кирхгофа и Ома, при этом

откуда следует, что Uab + Ubc + Uca = 0 .

При симметричной системе ТЦ, соединенной звездой, справедливы соотношения

3.3. Соединение треугольником

При этом типе соединения конец каждой фазной обмотки соединен с началом следующей фазной обмотки, и так по кругу. Соединения фазных обмоток образуют трехфазную систему. Схема соединения и общепринятые условные положительные направления всех электрических величин показаны на рис. 3.3. В узлах А, В и С конец одной фазы соединен с началом другой, равно как и в узлах а, b и c приемника.

Линейные токи ĪA, ĪB, ĪC связаны с фазными токами Īab, Ībc, Īca соотношениями

причем

65

3.4.Мощность трехфазной цепи

Втрехфазной цепи комплексную, полную, активную

иреактивную фазные мощности определяют как в однофазных цепях.

где Iф* – сопряженный комплексный фазный ток.

Мощность трехфазного приемника или источника равна

67

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.1. Физика переходных процессов

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры (например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, коротких замыканиях отдельных участков цепи и т.д.).

Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности

иконденсаторов, т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в линейной цепи описывается линейным дифференциальным уравнением. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы: классический, операторный и др. Первый обладает физической наглядностью

иудобен для расчета простых цепей, а другие упрощают расчет сложных цепей.

4.2. Классический метод расчета переходных процессов

Название «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом включает следующие этапы:

1. Составляют систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и путем исключения перемен-

68

ных получают одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока i или напряжения u. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо напряжение на емкостном элементе, либо ток в индуктивном элементе.

2. Cоставляют общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решениясоответствующегооднородногодифференциальногоуравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т.е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают iу и uу и называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс у цепи без источников ЭДС и тока, который в связи с этим называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают icв и ucв и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавших коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующем за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

69

3. В общем решении i = iу + icв, u = uу + ucв следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют исходя из начальных условий, т.е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Коммутационные ключи считают идеальными, т.е. предполагают, что коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких коммутациях ток

виндуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе

вначальный момент времени после коммутации t+ такие же, как

вмомент времени, непосредственно предшествовавший коммутации t–. Эти условия получаются из законов коммутации.

4.3. Законы коммутации

Законы коммутации утверждают, что напряжение на емкостном элементе и ток в индуктивном элементе не могут измениться скачком.

Доказательство закона коммутации, например для индуктивного элемента, следующее. Пусть в течение интервала времени от момента t1 до момента t2 ток в индуктивном элементе изменяется от значения iL(t1) до значения iL(t2). При этом средняя мощность изменения энергии магнитного поля индуктивного элемента будет равна

Если интервал времени t = t2 – t1, в течение которого происходит изменение тока в индуктивном элементе, стремится к нулю и iL(t2) ≠ iL(t1), то средняя мощность изменения энергии магнитного поля стремится к бесконечности.

Поскольку цепей бесконечно большой мощности не суще-

ствует, то изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно, как и напряжения на емкостном элементе. Этот вы-

70