книги / Общая электротехника и электроника

для мгновенных значений синусоидальных токов, напряжений

иЭДС, членами которых могут быть производные и интегралы от синусоидальных функций времени. Поскольку производные

иинтегралы от синусоидальных функций также являются синусоидальными функциями, то им, как и синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС, можно поставить в соответствие комплексные числа, являющиеся изображениями этих величин. Так, для синусоидального тока

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС.

Комплексный метод основан на использовании преобразований (2.15) и (2.27). Его суть заключается в том, что, используя указанные преобразования, можно от системы дифференциальных уравнений для действительных функций времени перейти к системе алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС. Переход от дифференциальных уравнений к комплексным осуществляется путем замены в них мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС комплексными числами в соответствии с выражением (2.27), а производных и интегралов от них – комплексными числами, аналогичными для производных и интегралов от синусоидального тока по формуле (2.31). Обратный переход к мгновенному значению производят по выражению (2.27).

Символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений и после вычислений решение перевести во временную область.

Свойства элементов схем замещения электрических цепей переменного тока приведены в табл. 2.3.

51

Окончание табл. 2 . 3

Пример. Дано: V1 = 10e j0, V2 = 20e j30, V3 = 30e j45. Опре-

делить Vэ. Решение:

V1e j0 = 10cos0o + j10sin0o = 10·1 + j10·0 = 10 + j0;

V2e j30 = 20cos30o + j20sin30o = 20·0,866 + j20·0,5 = 17,32 + j10; V3e j45 = 30cos45o + j30sin45o = 30·0,707 + j30·0,707 = 21,2 + j21,2. Reэ = Re1 + Re2 + Re3 = 10 + 17,32 + 21,2 = 48,52;

Imэ = Im1 + Im2 + Im3 = j0 + j10 + j21,2 = j31,2. Vэ = 48,52 + j31,2;

V = 48,522 + 31,22 = 2354,19 + 973,44 = 3327,63 = 57,7;

φ= arctg 48,5231,2 = arctg 0,643 = 32°; Vэ = 57,7e j32.

2.8.Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме имеет вид

53

где Z и Y – комплексные сопротивление и проводимость це-

пи, причем

поэтому, зная комплексное сопротивление, можно найти эквивалентную ему комплексную проводимость и обратно:

k =1

где n – число ветвей в узле.

54

Второй закон Кирхгофа:

где Ek ,Uk , Ik , Zk – комплексные ЭДС, напряжение, ток и сопро-

тивление в k-й ветви контура. Правила записи уравнений по законам Кирхгофа такие же, как и цепях постоянного тока.

2.9. Эквивалентное преобразование схем последовательного соединения элементов

впараллельное

Всхемах замещения цепей синусоидального тока иногда необходимо преобразовать последовательное соединение элементов в эквивалентное параллельное, чтобы упростить анализ некоторых электротехнических устройств.

Преобразованное соединение будет эквивалентно исходному, если останутся неизменными параметры внешней цепи, т.е. не подвергнутой преобразованию. Пусть имеется последовательное соединение резистора R, конденсатора С и индуктивности L

(Z = RПС + XCПС + ХLПС). Нужно преобразовать его в параллельное (YПР = GПР + BCПР + BLПР). Индекс ПС означает последовательное соединение, ПР– параллельное. Тогдасимволическимметодомбудет

Обратное преобразование аналогично. Формулы преобразования приведены в табл. 2.4.

55

2.10. Мощность однофазной цепи синусоидального тока

Активная мощность определяется по формуле

Она характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Единицы измерения активной мощности – ватт (Вт), киловатт (кВт), мегаватт (МВт) и др.

Реактивная мощность равна

56

Она характеризует интенсивность колебательного обмена энергией между источником и реактивными элементами приемника электрической энергии без ее преобразования. Единицы измерения реактивой мощности – вольт-ампер реактивный (ВАр), киловольт-ампер реактивный (кВАр), мегавольт-ампер реактивный (МВАр) и т.д.

Полная мощность – это наибольшее значение мощности, которое может быть получено при заданных значениях напряжения и тока. Единицы измерения – вольт-ампер (ВА), кило- вольт-ампер (кВА) и др. Определяется по формуле

при этом Р = Re(S) и Q = Im(S).

Коэффициент мощности вычисляется по формуле

Увеличение коэффициента мощности уменьшает реактивную мощность, т.е. интенсивность колебательной мощности, и, значит, потери в проводах.

В формулах (2.40)–(2.43) U и I – действующие значения напряжения и тока; φ – сдвиг фаз между напряжением и током;

ляющие напряжения и тока соответственно, Ua = Ucosφ, Ia = Icosφ; Up и Ip – реактивные составляющие тех же напряжения и тока,

Up = Usinφ, Ip = Isinφ.

57

2.11. Резонанс в электрических цепях синусоидального тока

Резонанс – явление в электрической цепи (или на ее участке), содержащей индуктивные и емкостные элементы (хотя бы по одному), возникающее в случае, когда реактивное сопротивление или реактивная проводимость этой цепи (или ее участка) равны нулю. Согласно закону Ома в комплексной форме эквивалентное комплексноесопротивление и проводимостицепи равны

Согласно определению резонанс в цепи возникает при условии, если

при этом Zэ = Rэ и Yэ = Gэ являются чисто активными, а сдвиг фаз

Основными видами резонанса являются резонанс напряжений при последовательном соединении и резонанс токов при параллельном соединении R, L, C.

При резонансе ω0L = 1/ω0С, т.е. ω0 = 1/ LC. Резонансные свойства контура могут оцениваться по ре-

зонансным и частотным характеристикам, добротности контура и его полосе пропускания.

58

Добротность Q – это отношение параметра реактивного элемента к основному параметру цепи при резонансе напряжений U и токов I соответственно, например:

где UC (или UL), Uвх – напряжение на реактивном элементе и входе цепи при резонансе U; IC (или IL), IO – ток реактивного элемента и ток цепи при резонансе I.

Полоса пропускания Δω – это разность между верхней ωв и нижней ωн частотами, т.е. диапазоном частот Δω = ωв – ωн при

условии I/IO ≥ 1/ 2 , т.е. мощность на входе цепи больше поло-

Параметры при резонансах приведены в табл. 2.5. Резонанс напряжений опасен пробоем конденсатора из-за

перенапряжения на нем, резонанс тока – работой катушки индуктивности в нелинейном режиме из-за магнитной перенапряженности.

2.12. Методырасчетасложныхэлектрическихцепей синусоидального тока приустановившихсяпроцессах

Расчет сложных электрических цепей синусоидального тока производят теми же методами, что и расчет сложных электрических цепей постоянного тока (см. § 1.8). Разница заключается лишь в том, что уравнения составляют для комплексных токов,

59

Таблица 2 . 5

Параметры при резонансах напряжения и тока

Векторная

диаграмма

Частотная

характеристика

Z

Зависимости

параметров вконтурах отчастоты

напряжений и ЭДС, в которых сопротивления R, проводимости G и потенциалы φ заменяют комплексными сопротивлениями

Z , проводимости Y и потенциалами узлов φ соответственно.

60