книги / Общая электротехника и электроника

1.8. Методы анализа цепей постоянного тока

Проанализировать электрическую цепь – значит рассчитать электрическую цепь, определить электрические параметры каждого электрического элемента (электротехнического устройства), т.е. электрическое напряжение U, ток I, мощность P, при необходимости сопротивление R и др. Схемы бывают разные, поэтому применяются различные методы анализа цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа:

–метод уравнений Кирхгофа (МУК);

–метод контурных токов (МКТ);

–метод узловых потенциалов (МУП);

–метод наложения (суперпозиции) (МН);

–метод преобразования схем (МПС);

–метод эквивалентного генератора (МЭГ).

1.8.1.Метод уравнений Кирхгофа

Вобщем случае схема замещения цепи имеет В ветвей

иУ узлов. Расчет режима цепи без источника тока, т.е. при

ВJ = 0, сводится к нахождению токов в В ветвях (число уравнений в системе уравнений). Для этого необходимо составить У– 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа (1ЗК), поскольку токи последнего узла тождественно равны токам предыдущих узлов и К = В – У + 1 независимых уравнений (контуров) по второму закону Кирхгофа (2ЗК) (рис. 1.11). Выбирают

любой контур из числа возможных, но каждый из них должен содержать хотя бы одну новую ветвь (называются независимыми узлами и контурами).

Этапы составления системы уравнений:

а) задаться направлениями токов в ветвях: если при расчете значение тока окажется отрицательным, значит действительное направление тока противоположное;

б) составить возможное число уравнений по 1ЗК;

21

в) определить число независимых контуров и задаться направлением обхода в контурах;

г) составить недостающее (до числа ветвей) число уравнений по 2ЗК.

Для схемы на рис. 1.11 взят узел А и контуры 1, 3.

Рис. 1.11. Схема замещения

Система уравнений будет иметь вид

При решении методом подстановок или по математической программе находят все токи.

Достоинства данного метода следующие: можно рассчитать любуюсхему; метод прямой, искомыетоки вычисляютсясразу.

Его недостаток – имеет наибольшее число уравнений в системе уравнений по сравнению с другими методами (равно числу неизвестных токов).

Применение: берет любую схему.

Данный метод широко стал применяться в последнее время с появлением персональных компьютеров и математических программ (например, MathCAD различных версий и др.).

22

1.8.2.Метод контурных токов

Спомощью метода контурных токов можно проанализировать любую схему путем составления системы уравнений только контурных (расчетных, а не действительных, виртуальных) токов. Контуры должны быть составлены так, чтобы охватить все ветви. Действительные токи находят после решения системы уравнений с применением 1ЗК.

Этапы составления системы уравнений:

а) задаться направлениями токов в ветвях, определиться счислом контуров и задаться направлением обхода в них, при этом необходимо отличать действительные токи от контурных, последние обозначают римскими цифрами или двойными арабскими;

б) составить систему уравнений по 2ЗК по числу контуров, при этом, если выбранное направление тока на электротехническом элементе совпадает с выбранным направление контура, берется знак «плюс», если нет – «минус», решить систему уравнений любым способом (подстановки, Крамера, при помощи математической программы);

в) вычислить действительные токи по 1ЗК. Если в ветви несколько контурных токов, вычисляют их алгебраическую сумму, т.е. если направление выбранного тока элемента совпадает с контурным, то они складываются, если нет – берется разность. Для рис. 1.11 в качестве контурных токов можно взять контуры I и II:

где римскими цифрами обозначены контурные токи. После решения системы уравнений вычисляют

I1 = II; I2 = II + III; I3 = III.

Достоинство данного метода заключается в том, что он имеет меньшее число уравнений в системе уравнений по сравнению спервым методом.

23

Его недостатки:

а) метод косвенный, т.е. сначала вычисляют контурные токи, затем действительные;

б) необходимость составления системы уравнений. Применение: пригоден для анализа любой схемы.

1.8.3. Метод узловых потенциалов

Идея данного метода заключается в том, что потенциал одного из узлов приравнивают к нулю, при этом напряжения в схеме как разность потенциалов остаются прежними. Такой подход позволяет еще уменьшить на одно уравнение число совместно решаемых уравнений в системе.

Этапы решения:

а) один узел схемы цепи принимают базисным, и его потенциал приравнивают к нулю, задаются токами в ветвях;

б) для остальных У – 1 узлов составляют уравнения по 1ЗК; в) выражают токи ветвей через потенциалы узлов по зако-

ну Ома; г) решают составленную систему уравнений, определяют

потенциалы.

д) вычисляют действительные токи ветвей по закону Ома. Для схемы на рис. 1.12, содержащей У = 3 узла, узел 3

принят базисным, т.е. φ3 = 0.

Для узлов 1 и 2 уравнения по 1ЗК следующие:

♦ 1-й узел: I1 – I3 – I5 = 0;

I5 = (φ1 – φ2) /R5.

24

б) метод косвенный, сначала нужно вычислить потенциалы узлов.

Применение: для схем с малым числом узлов. Широко применяется частный случай – метод двух узлов, который всего одно уравнение.

1.8.4. Метод наложения (суперпозиции)

Для линейных электрических цепей справедлив принцип суперпозиции (наложения): действительный ток в любой ветви равен алгебраической сумме частичных токов в этой ветви. При этом каждый частичный ток вычисляется при условии, что в схеме остается действовать один источник энергии, при этом остальные источники заменяются резисторами согласно их внутренним сопротивлениям по схеме замещения, а именно источники напряжения, имеющие Rвт = 0, закорачивают, источники тока, имеющие Rвт = ∞, обрывают.

где n – число ветвей, k – число источников. Этапы решения:

а) составляют столько схем так, чтобы в схеме остался только один источник энергии, создающий один частичный ток во всех ветвях, при этом остальные источники энергии заменяют согласно их внутренним сопротивлениям, рассчитывают эти частичные токи во всех ветвях;

б) рассчитывают действительные токи в каждой ветви как сумму частичных токов, при этом токи, имеющие одинаковое направление с током исходной схемы, берут со знаком «плюс», противоположное – со знаком «минус».

Примером расчета цепи методом наложения является схема на рис. 1.13. Токи ветвей равны сумме частичных токов в схемах на рис. 1.13, б и в:

26

Рис. 1.14. Схемы к методу преобразований: а – исходная; б – преобразованная

28

1.8.6. Метод эквивалентного генератора

Чтобы определить параметры только одной ветви сложной схемы, ее делят на две части: активный двухполюсник (А) и пассивный (П) (рис. 1.15). Активный двухполюсник содержит источники энергии, а пассивный – нет. Обе части можно упростить, привести к схемам замещения. По схеме замещения пассивной части входное сопротивление будет равно эквивалентному, т.е. сопротивлению нагрузки: Rвх = Rэ = Rн. Для этих целей применяют метод преобразования схем. Схема замещения активной части будет соответствовать эквивалентному генератору, представляющему собой последовательно соединенные источник напряжения Е и сопротивление, равное внутреннему сопротивлению генератора (Rвт). Схема замещения линейного двухполюсника определяется его линейной вольт-амперной, или внешней, характеристикой U(I).

Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника (см. рис. 1.5, прямая а) соответствует его эквивалентному сопротивлению и описывается законом Ома Rвх = U/I, где U, I и Rвх – напряжение между выводами, ток и входное сопротивлениепассивного двухполюсникасоответственно, Rвх= Rэ = Rн.

аI

b

Рис. 1.15. Схемадвухполюсников

Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (см. рис. 1.8, а) можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода (т.е. при Rн = ∞, U = Ux, I = 0) и короткого замыкания (т.е. при Rн = 0, U = 0, I = Iкз).

29

Эта характеристика и ее уравнение имеют вид

где Rэ – эквивалентное, или выходное, сопротивление двухполюсника, Rэ = Rвт = Uxх / Iкз; оно совпадает с одноименными характеристикой и уравнением источника электрической энергии, представляемого эквивалентным источником ЭДС Еэ = Uxх = Е и внутренним сопротивлением Rэ = Rвт = Rвых (см. рис. 1.7, а, 1.8, а). Гальванический элемент – примерактивного двухполюсника.

Если приемник с сопротивлением Rн подключен к активному двухполюснику, то его ток определяется по методу экви-

валентного источника:

что следует из второго закона Кирхгофа. Параметры эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным (не всегда возможен на практике) и теоретическим (путем расчетов).

При экспериментальном способе измеряют напряжение холостого хода при отсутствии сопротивления нагрузки (Rн = ∞, обрыв), оно равно напряжению генератора (Е = Eхх = Ег), и измеряют ток короткого замыкания Iкз (при Rн = 0), тогда Rвт = Eхх/Iкз. Ток в цепи при любой нагрузке будет равен

При теоретическом способе делают Rн = ∞ (обрывают) и сначала вычисляют напряжение холостого хода Eхх любым известным метом анализа сложных цепей, затем в активном двухполюснике источники энергии по схемам замещения заменяют на эквивалентные внутренние сопротивления, т.е. источники ЭДС закорачивают, а источники тока обрывают и рассчи-

тывают Rэ = Rвт.

Достоинство данного метода заключается в том, что не нужно составлять систему уравнений.

30