книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

Комплексный показатель может выступать как критерий эффективности управления или использоваться как целевая функция многокритериальной оптимизации.

Аналогично сделано в квалиметрии [81] – науке о количественном измерении качества, согласно которой все параметры, отражающие характеристику качества, приводятся к относительной шкале (данное пространство в литературных источниках называют квалиметрическим пространством). После того как все свойства объекта описаны в единой безразмерной шкале, осуществляется взвешенное22 оценивание.

Важно отметить, что в различных литературных источниках критериальное и квалиметрическое пространства отождествляются. Для этого есть вполне логическое основание: в квалиметрии при приведении к относительной шкале [0;1] используется так называемое эталонное (или нормативное) значение показателя, и квалиметрическая оценка фактически показывает степень соответствия эталону (норме). Другими словами, норма выступает в роли критерия, именно поэтому понятия критериального и квалиметрического пространства можно считать синонимами.

Задача комплексного оценивания сложных объектов заключается в установлении отображения параметров из пространства состояний сложных объектов в ограниченное множество действительных значений с помощью механизма комплексного оценивания (МКО):

где О – пространство состояний сложного объекта; V – шкала значений комплексного показателя; R1 – одномерное пространство, содержащее множество действительных чисел.

Матричный механизм комплексного оценивания (ММКО) – это совокупность набора критериев, наборов термов, функций приведения, графа и набора матриц свёртки, подходящих для комплексного оценивания сложных объектов конкретной предметной области. ММКО задаётся кортежем:

где Р – процедура комплексного оценивания; G – граф 23, определяющий последовательность агрегирования (свёртки) частных факторов в комплексную

22Для учёта важности отдельных свойств используются весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна единице.

23Граф G имеет структуру бинарного дерева (см. рис. 1.3), листьями (вершинами с 1 ребром) которого являются критерии, принадлежащие множеству K, корневая вершина, соединённая 2 рёбрами, является узлом, в котором определяется комплексная оценка

vV , остальные вершины графа имеют 3 ребра. Бинарная структура дерева объясняется

тем, что такая структура соответствует наименьшему количеству элементов матриц свёртки, которые требуется определить для построения ММКО, что было доказано М.В. Губко [82].

11

оценку, узлам дерева соответствуют матрицы свёртки (рис. 1.3); М – множество матриц свёртки, матрица свёртки является подмножеством декартового произведения шкал качественного оценивания сворачиваемых критериев и шкалы обобщённой, агрегированной оценки, матрица задаётся множеством элементов 24 m mrc , где r 1, , r , c 1, , c ; Q – критериальное (квалиметрическое) пространство, образованное множеством шкал качественного оценивания частных критериев K, промежуточных свёрток и шкалой комплексной оценки V; K – множество частных свойств (параметров, факторов, критериев), по которым оценивается сложный объект, данное множество образовано двумя подмножествами: K Kq Kn , где K q – подмно-

жество качественно-описываемых свойств объекта, Kn – подмножество коли- чественно-измеримых свойств объекта; элементы множества Kq K, q 1, q,

Kn K, n 1,n , оцениваются с помощью шкал, принадлежащих множеству

Рис. 1.3. Пример графа, описывающего дерево критериев

В случае применения нечётких ММКО элементам матрицы mrc соответствует несколько значений функции принадлежности. Для определения

24 Размерность матриц свёртки определяется конкретными условиями прикладной задачи. В практике применения ММКО известны случаи применения матриц размерностью от 3×3 [34] до 5×5[30], случай 2×2 соответствует классической математической логике, использующей аксиоматику булевой алгебры.

12

единственного значения функции принадлежности необходимо использовать теоретико-множественную операцию пересечения:

где Xi – элемент носителя нечёткого множества; A и B – значения функций принадлежности элемента Xi нечётким множествам A и B .

Для элементов матрицы свёртки, которые имеют одно и то же значение, необходимо использовать теоретико-множественную операцию объединения согласно процедуре нечёткого комплексного оценивания:

Подход, использующий операции (1.3) и (1.5), называется максиминным (процедура РММ); подход, использующий операции (1.4) и (1.6), называется аддитивно-мультипликативным (процедура РАМ).

Результат матрицы свёртки примет форму нечёткого числа V :

где mrc , ,mrc – градации шкалы v V R1 , описывающей свёртку факторов

X r и X c , элементы mrc принимают значения из этого множества, mrc опре-

деляются по выбранной процедуре РММ или РАМ.

Для того чтобы представить результат агрегирования в форме числа, принадлежащего множеству действительных значений v V R1, в работах [32, 54] предлагается использовать уравнение центра масс, которое с учётом принятых в данном пособии обозначений примет вид:

Рассмотрим так называемые [56] стандартные функции свёртки, являющиеся подмножествами матрицы, образованными элементамиmrc ; mr+1c ; mrc 1; mr 1c 1 (табл. 1.1). Эти функции имеют простую интерпретацию, описываемую с помощью естественного языка.

13

Т а б л и ц а 1 . 1

Стандартные функции свёртки и их базовая интерпретация

Эти подмножества матрицы свёртки можно интерполировать, используя процедуру нечёткого комплексного оценивания, и на непрерывной области определения аргументов свёртки можно построить трёхмерные поверхности, соответствующие стандартным функциям. Далее ограничимся иллюстрацией полученных поверхностей для стандартных функций F1, F2, F4 и F5. Мы не будем рассматривать стандартные функции F0, поскольку получается плоская поверхность, параллельная области определения сворачиваемых критериев, и F3, так как достаточно показать стандартную функцию F2, потому что F3 = F2т.

В случае использования нечётких ММКО с максиминным подходом к теоретико-множественным операциям дефазифицированная согласно (1.8) комплексная оценка имеет погрешность 25. Этот случай был подробно рассмотрен в работах [56, 67–69].

Применительно к стандартным функциям F1, F2, F4 и F5 были получены результаты, показанные на рис. 1.4–1.7.

25 См. § 4, пример 4.

14

Рис. 1.4. Топологическое представление стандартных функций:

а – F1; б – F2, при использовании максиминного подхода к операциям пересечения (1.3) и объединения (1.5) над нечёткими множествами

Рис. 1.5. Проекции стандартных функций: а – F1; б – F2,

на область определения при использовании максиминного подхода к операциям пересечения (1.3) и объединения (1.5)

над нечёткими множествами

Как видно на этих рисунках (см. рис. 1.4–1.7), поверхности функций свёртки имеют немонотонные участки. Это является следствием погрешности (см. §4, пример 4), возникающей из-за того, что при применении нечёткой процедуры комплексного оценивания у комплексной оценки в нечётком виде сумма функций принадлежности не равна единице.

15

Рис. 1.6. Топологическое представление стандартных функций:

а– F4; б – F5, при использовании максиминного подхода

коперациям пересечения (1.3) и объединения (1.5)

над нечёткими множествами

Рис. 1.7. Проекции стандартных функций: а – F4, б – F5, на область определения при использовании максиминного подхода к операциям пересечения (1.3) и объединения (1.5) над нечёткими множествами

16

Для исключения погрешности необходимо использовать следующие операции [64, 68]:

– для стандартной функции F0:

Операции (1.10) и (1.13) эквивалентны операциям минимума и максимума соответственно. Поэтому данный подход также будем называть максиминным. В случае использования этих операций поверхности, соответствующие стандартным функциям, примут вид без погрешности (рис. 1.8).

Аналогичный результат получится при использовании процедуры фазификации (2.1) сворачиваемых критериев, носителем которых будет являться декартово произведение носителей обоих критериев. Для этих нечётких множеств можно выполнить следующие теоретико-множественные операции: пересечения (1.3) – выбор минимальных значений (рис. 1.9, а) и объединения (1.5) – выбор максимальных значений (рис. 1.9, б).

17

Рис. 1.8. Топологическое представление стандартных функций: а – F1; б – F2; в – F4, г – F5, полученных при использовании максиминного подхода (1.9) – (1.14) к операциям

над нечёткими множествами

18

Рис. 1.9. Результат пересечения (а) и объединения (б) функций принадлежности нечётких переменных на носителе, образованном декартовым произведением носителей сворачиваемых критериев Xr и Xс

Если дефазифицировать полученные нечёткие множества (см. рис. 1.9) с помощью уравнения центра масс (1.8), то получатся поверхности, полностью совпадающие с поверхностями (см. рис. 1.8, а, в), соответствующими стандартным функциям F1 и F4.

градации которых имеется некоторая вероятность. Другими словами, имеются функции распределения вероятностей значений агрегируемых критериев. ММКО с дискретными шкалами и распределением вероятностей значений агрегируемых критериев G, M , Q, PP был предложен В.Н. Бурко-

вым и Д.А. Новиковым в работе [16] ещё в 1997 г.

В случае использования аддитивно-мультипликативного подхода стандартные функции F1, F2, F4 и F5 примут вид, показанный на рис. 1.10, а их проекции на область определения – вид, приведенный на рис. 1.11.

19