книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

Если же функции принадлежностей сворачиваемых критериев заданы так же, как и распределения вероятностей, то результат процедуры нечёткого комплексного оценивания при использовании аддитивно-мультипликатив- ного подхода совпал бы с результатом комплексного оценивания с распределением вероятностей. В этом легко убедиться 43.

3.9. Комплексное оценивание при количественно-измеримых и качественно-описываемых свойствах

Пусть сложный объект обладает четырьмя свойствами, два из которых количественно-измеримые показатели, два других – качественно-описывае- мые свойства.

Категории (термы), используемые для оценки качественно-описывае- мых свойств, имеют базовую интерпретацию: плохо, удовлетворительно, хорошо и отлично. Тогда для оценивания этих свойств можно использовать шкалу

{1, 2, 3, 4}.

Функции приведения количественно-измеримых параметров имеют вид:

Функция (3.3) монотонно возрастающая; функция (3.4) монотонно убывающая.

Пусть механизм комплексного оценивания задан графом G (рис. 3.12) и набором матриц свёртки (рис. 3.13). Значения свойств сложного объекта и используемая процедура комплексного оценивания будут определены в условиях задач.

Рис. 3.12. Дерево свёртки двух количественно-измеримых критериев и двух качественно-описываемых свойств

43 Рекомендуется сделать это самостоятельно.

41

в

Рис. 3.13. Набор матриц свёртки: а – матрица свёртки критериев X1 и Х2; б – матрица свёртки критериев Т3 и Т4; в – матрица свёртки обобщённых критериев X12(X1,Х2) и Т34(Т3,Т4)

Пример 1. Пусть требуется осуществить комплексное оценивание с помощью максиминного подхода при следующих условиях: x1 = 56, x2 = 27,

T3 = плохо, T4 = отлично.

Решение. Находим значение первого свойства в критериальном пространстве согласно выражению (3.3): X1(x1 = 56) ≈ 2,7, и значение второго свойства согласно выражению (3.4): X2(x2 = 27) = 3,4.

Результатом свёртки X1 = 2,7 и X2 = 3,4 будет 3,1 (X12 = 3,1) согласно

(1.18):

γ1(X1 = 2,7) = 0,7; γ2(X2 = 3,4) = 0,4;

j3 = m23 = 2; j4 = m33 = 3; j5 = m24 = 3; j6 = m34 = 4; X12 = 2 + 0,7·(3–2) + 0,4·(4–3) = 3,1.

Результатом свёртки критериев T3 = плохо и T4= отлично будет 2

(cм. рис. 3.13, б): Т34(Т3,Т4) = 2.

Тогда комплексная оценка будет определяться при γ1(X12 = 3,1) = 0,1;

γ2(Т34 = 2) = 0; j3 = m32 = 2; j4 = m42 = 3; j5 = m33 = 3; j6 = m43 = 4 по выражению

(1.18) следующим образом:

Х(X1, X2, Т3, Т4) = 2 + 0,1·(3–2) + 0·(4–3) = 2,1.

Пример 2. Пусть требуется осуществить комплексное оценивание с помощью аддитивно-мультипликативного подхода при следующих условиях: x1 = 56, x2 = 27, T3 = плохо, T4 = отлично.

42

Решение. Результатом свёртки X1 = 2,7 и X2 = 3,4 будет 3,1 (X12 = 3,1) со-

гласно (1.19):

γ1(X1 = 2,7) = 0,7; γ2(X2 = 3,4) = 0,4;

j3 = m23 = 2; j4 = m33 = 3; j5 = m24 = 3; j6 = m34 = 4;

X12 = 2 + 0,7·(3–2) + 0,4·(3–2) + 0,7·0,4· (4 + 2 – 3 – 3) = 3,1.

j3 = m32 = 2; j4 = m42 = 3; j5 = m33 = 3; j6 = m43 = 4 будет определяться по выражению (1.19) следующим образом:

Х(X1, X2, Т3, Т4) =2 + 0,1·(3 – 2) + 0·(3 – 2) +0,1·0·(4 + 2 – 3 – 3) = 2,1.

43

§4. КОМПЛЕКСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ГРУППОЙ ЭКСПЕРТОВ

Групповая экспертиза сложных объектов, описываемых вектором свойств, является актуальной задачей во многих предметных областях, что делает востребованным синтез механизмов комплексного оценивания и активной экспертизы. Предполагается, что матричная активная экспертиза проводится последовательно в отношении всего механизма комплексного оценивания, представляющего собой бинарное дерево критериев, в узлах которого расположены матрицы свёртки.

4.1. Активная экспертиза

Активная экспертиза определяется следующим образом. Для согласования мнений группы из n экспертов используется процедура :

где xn – результат групповой экспертизы; sn – вектор сообщений n экспертов, sn s1,..., sn . Сообщение эксперта i ограничено шкалой si d , D , где

d – минимальное значение, D – максимальное значение. Индекс сверху обозначает количество экспертов, а индекс снизу – порядковый номер эксперта в ранжированном ряду.

Процедура должна удовлетворять следующим условиям: А1. Функция (s) монотонна 44 по всем переменным s .

В общем случае для построения неманипулируемого механизма активной экспертизы на основе медианных схем [79] требуется добавить к сообщениям реальных экспертов (агентов) заранее фиксированные дополнительные сообщения. Это как бы сообщения несуществующих, так называемых фантомных, экспертов (агентов). Затем они используются так, как если бы это были сообщения реальных экспертов.

Неманипулируемой активной экспертизой является такая процедура, при которой результатом экспертизы становится медиана множества, образо-

ванного n сообщениями экспертов sn и (n + 1) сообщениями фантомов wn :

44 В работах [4, с.76], [77, с. 40] применительно к условию А1 выдвигается «жёсткое» требование: там говорится о строгой монотонности функции (s) , а в работе Н.А. Коргина [78, с. 58] говорится о том, что достаточно нестрогой монотонности.

44

где сообщения фантомов wn wk , k 0, n, вычисляются с помощью выбранной процедуры на основе множества виртуальных оценок s(k) , полученных так, как будто часть реальных агентов сообщает максимальные оценки, а оставшаяся часть агентов сообщает минимальную оценку,

При n экспертах согласно (4.4) сообщений фантомов на единицу больше, чем сообщений экспертов, благодаря тому, что k = 0. Поэтому мощ-

ность объединённых множеств оценок sn wn определяется нечётным числом (n сообщений экспертов и (n + 1) сообщений фантомов). В таком случае

медианой множества sn wn является либо сообщение эксперта, либо сообщение фантома, разделяющее всё множество на левую и правую коалиции (определение коалиций – см. [77, c. 42–43]).

Не исключается случай, когда оценка эксперта совпадает с оценкой фантома. Поскольку при k 0 сообщение фантома равно d, при k n оно равно, а величины d и D являются крайними значениями, то при исключении их из множества сообщений результат выражения (4.2) будет прежним, в чём несложно убедиться 45.

4.2.Матричный анонимный обобщенный медианный механизм (МАОММ)

Обозначим согласованную матрицу свёртки для комплексного оценивания как z zrc , r 1,..., r , c 1,...,c . Она должна быть сформирована на

45 Рекомендуется это сделать самостоятельно.

45

основе мнений n агентов (экспертов). Предполагается, что r,с элементы матрицы zrc zrc ; zrc 46, а в соответствии с требованиями к механизмам комплексного оценивания матрица должна быть непротиворечивой, т.е. неубы-

Стоит отметить, что вид максимальной и минимальной матриц (см. рис. 4.1) определён в соответствии с дополнительными ограничениями, накладываемыми на целочисленные матрицы свёртки: разница между соседними по горизонтали и вертикали элементами не превышает единицу, т.е.

src src 1 1, src sr 1c 1. При этом не накладываем ограничение на равномерность главной диагонали (r = c) матрицы свёртки srr r, а лишь считаем

матриц индекс сверху будет соответствовать порядковому номеру фантома (j) или эксперта (i), а индексы снизу – номерам строки (r) и столбца (c) матрицы свёртки, которую требуется согласовать.

46 Для случая r c 4 на рис. 4.1, а представлена максимальная матрица zrc , каждый элемент которой представляет собой максимально возможную целочисленную оценку zrc , а на рис. 4.1, б минимальная матрица zrc соответственно.

47С минимально возможными элементами drc.

48С максимально возможными элементами Drc.

46

zrc πrc (src ), удовлетворяющей условиям монотонности, непрерывности и единогласия [79].

Обозначим s si i N , тогда МАОММ будет определяться выражением z π(s).

Матрица свёртки, элементы которой определены с помощью матричного анонимного обобщённого медианного механизма, непротиворечива, т.е.

не убывает: s, r,c πrc (src ) πrc 1(src 1), πrc (src ) πr 1c (sr 1c ).

Доказательство основано на том, что для любой процедуры π должно

накладывается ограничение монотонности значений матрицы, чтобы их ин-

таты активной экспертизы π будут монотонны в силу монотонности аргумента.

4.3. Пример согласования матрицы свёртки

Рассмотрим применение обобщённых медианных схем для матричной активной экспертизы на примере трёх агентов (n = 3) (рис. 4.2), которым для комплексного оценивания необходимо определить одну матрицу свёртки.

47

в

Рис. 4.2. Примеры сообщений агентов: а – 1-го; б – 2-го; в – 3-го

В данном примере у первого фантома два агента сообщают максимальные оценки zrc , один агент сообщает минимальную оценку zrc , а у второго фантома один агент сообщает максимальную оценку zrc , два агента сообщают минимальные оценки zrc.

Используем среднеарифметическую процедуру π 49 . Тогда элементы матрицы фантомов (рис. 4.3) вычисляются по следующему выражению:

Рис. 4.3. Матрицы свёртки со значениями фантомов: а – матрица фантома (j = 1); б – матрица фантома (j = 2)

Используя МАОММ, получим матрицу свёртки zrc (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Матрица свёртки, полученная с помощью МАОММ

Возможность использования для комплексного оценивания матриц свёртки, элементы которых определены в непрерывном виде (см. рис. 4.4),

49 Cтоит отметить, что процедура π может быть любой функцией, удовлетворяющей условиям монотонности, непрерывности и единогласия.

48

основана на том, что при использовании процедуры нечёткого комплексного оценивания каждый элемент удаётся представить в виде чёткого числа. Результаты вычислительного эксперимента, исследующего возможность построения матриц свёртки с непрерывными элементами, приводятся в работе [56]. Там же [56, c. 181–183] приводится сравнение топологического представления матрицы, полученной в результате транзитивного замыкания на дереве комплексного оценивания, с матрицей, топологическое представление которой построено по элементам матрицы в непрерывном виде. Близость полученных результатов свидетельствовала о возможности использования матриц свёртки с непрерывными элементами, что, в свою очередь, не накладывает никаких дополнительных условий на процедуру активной экспертизы, помимо традиционно используемых: монотонность, непрерывность, единогласие. Аналогичный эксперимент с применением аддитивно-мульти- пликативного подхода был выполнен в [67], где было показано, что погрешность в несколько раз меньше при использовании аддитивно-мультиплика- тивного подхода.

Несмотря на то, что МАОММ как механизм согласования матриц свёртки в отношении элементов матрицы по отдельности является неманипулируемым, он всё же является манипулируемым по отношению к механизму комплексного оценивания в целом, поскольку рациональный агент может целенаправленно исказить информацию о значении элемента матрицы с целью искажения результатов, используемых на матрицах верхнего уровня.

Результат свёртки двух критериев X r и X c при сообщении агентом истинной матрицы обозначим vr.

Согласно (1.19) комплексная оценка будет определяться по выражению:

Результат свёртки двух критериев X r и X c по медианной матрице z

обозначим v z :

vz med(src ; wrc )(1 1)(1 2 ) med(sr 1c ; wr 1c ) 1(1 2 )med(src 1; wrc 1) 2 (1 1) med(sr 1c 1; wr 1c 1) 2 1,

где все элементы матрицы z определяются как медианы zrc med(src ; wrc )

сообщений агентов и фантомов.

Если агент является диктатором хотя бы в одном элементе матрицы, а в остальных элементах его сообщение не меняет их значения, то он может ис-

казить именно этот элемент, чтобы приблизить комплексную оценку v z к своей vr .

Таким образом, МАОММ является неманипулируемым при согласовании матрицы, но манипулируемым по комплексному показателю.

Аналогичные рассуждения можно привести в отношении способности рационального агента искажать информацию о частных критериях, участвующих в комплексном оценивании 50.

50 Это рекомендуется для самостоятельной работы.

50