книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

§5. МАТРИЧНЫЙ АНОНИМНЫЙ ОБОБЩЁННЫЙ МЕДИАННЫЙ МЕХАНИЗМ С ПРАВОМ ДЕЛЕГИРОВАНИЯ СООБЩЕНИЙ

Теперь рассмотрим возможность делегирования сообщений экспертами. Делегирование востребованно в ситуациях, когда к экспертизе привлекаются узкопрофильные специалисты, способные оценить лишь часть свойств исследуемого объекта (класса объектов), поэтому они вынуждены передать оценку непрофильных свойств коллегам, компетентным в этих вопросах.

Видится два способа организации права делегирования сообщений

вматричном анонимном обобщённом медианном механизме:

–при делегировании сообщается результат активной экспертизы, который был бы получен при меньшем на единицу количестве экспертов;

–при делегировании сообщений о критерии, который эксперт считает непрофильным, матрица свёртки заполняется по принципу полного доминирования профильного критерия.

Первый способ требует формального доказательства, а второй способ требует исследования, так как может приводить к искажению матрицы свёртки.

5.1. Делегирование путём сообщения результата активной экспертизы при (n – 1) экспертах

Утверждение. Если для активной экспертизы с n экспертами используется обобщённая медианная схема (4.2), то результат активной экспертизы

xn является медианой ранжированного множества, образованного сообще-

ниями n экспертов sn , дополнительным сообщением (sn 1 xn ), совпада-

ющим с результатами активной экспертизы с n экспертами, и оценками фан-

томов wn 1 , образованными при k 0,n 1:

Качественно это утверждение означает, что при сообщении результата активной экспертизы, полученной при n экспертах, в процедуре при (n + 1) экспертах данное сообщение будет являться результатом активной экспертизы:

Доказательство. Рассмотрим отдельно ситуации, когда медианой ранжированного множества (wn , sn ) является сообщение фантома и сообщение эксперта.

Если медианой ранжированного множества (wn , sn ) является сообще-

которое следует из условия монотонности функции .

Для доказательства справедливости выражения (5.4) достаточно взглянуть на (4.4), где показано, что вектор s при (n + 1) экспертах содержит на одну больше минимальных оценок d при том же числе максимальных оценок

D.

Поскольку при увеличении количества экспертов растёт количество оценок фантомов и условие (5.4) справедливо, то очевидно, что при (n + 1)

множество оценок на два равных по мощности множества, смещается влево, одновременно увеличивая мощность левой коалиции на единицу. Согласно определению медианы она делит ранжированный ряд на два равных по мощности множества: первое множество, значения которого не больше медианы, и второе, значения которого не меньше медианы. Тогда любая оценка, кото-

частным случаем.

52

Итак, мы показали, что при xn wmedn оценка xn является медианой множества (wn 1, sn , sn 1 xn ).

Рассмотрим случай, при котором медианой является сообщение агента, которое не совпадает со значением фантома (очевидно, что в случае совпадения оценок фантома и эксперта утверждение справедливо в силу первой части доказательства). Сообщение агента, являющегося медианой множества (wn , sn ), обозначим smedn , тогда:

В выражениях (5.7) и (5.8) использованы строгие ограничения, поскольку мы рассматриваем случай несовпадения оценки фантома с сообщением агента, определённый в (5.6).

Существование k для n экспертов следует из леммы, приведённой в [79, с. 44] и доказанной там же. Следует отметить, что в [79, с. 44] используются нестрогие ограничения, от которых мы отказались в силу (5.6).

Единственность k следует из монотонности (строгой монотонности) функции .

Так выполняется следующее условие:

в силу (5.9), и тогда для любой пары k – i и k – i + 1 (i 1, k) будет выпол-

няться только условие (5.7). Аналогично для j 1, n k у пары k + j и k + j +1 будет выполняться только условие (5.8). Тогда может существовать единственное k, для которого выполняются одновременно условия (5.7) и

(5.8).

53

При увеличении числа экспертов, как показано выше, оценки фантомов

смещаются влево, следовательно, оценка wn , принадлежащая правой коа-

k 1

лиции, может при некоторой функции sn 1 оказаться меньше xn , что уве-

личит мощность левой коалиции, и, соответственно, оценка xn уравнивает коалиции. В противном случае оценка wkn 11 по-прежнему принадлежит пра-

вой коалиции, а оценка xn тогда принадлежит левой.

Другими словами, медианной при (n + 1) экспертах будет являться лю-

интервалы, на которых определяется медиана, вырождаются в точку xn . Следствие. Следствием из доказанного утверждения является то, что

процедуру делегирования можно организовать следующим способом: если эксперт считает необходимым делегировать право оценки некоего критерия, то вместо его оценки необходимо сообщить результат активной экспертизы, который получился бы без его участия в экспертизе.

5.2. Делегирование путём заполнения матрицы свёртки по принципу доминирования над критерием, оценку которого планируется делегировать

Ещё одним способом делегирования сообщений является подход, основанный на заполнении матрицы свёртки по принципу доминирования над критерием, оценку которого планируется делегировать.

Доминирующей матрицей назовём такую бинарную матрицу свёртки пары критериев, результатом свёртки которых является значение одного из критериев:

54

Пример доминирующих матриц свёртки размерностью 4×4 приведён на рис. 5.1.

Стоит отметить, что в непрерывном случае или при использовании нечётких процедур комплексного оценивания условия (5.10) и (5.11) сохраняются.

Рис. 5.1. Доминирующие матрицы свёртки:

а– доминирует критерий Xr ; б – доминирует критерий Xc

Вобщем случае матричный механизм комплексного оценивания представляет собой последовательную свёртку критериев с помощью бинарных

матриц Mrc (Xr , Xc ) :

Используя доминирующие матрицы (5.10) и/или (5.11), можно построить механизм комплексного оценивания, включающий дополнительные критерии и являющийся эквивалентным механизму комплексного оценивания (5.12):

X(xr 1, xr ,..., xc, xc 1)

Mc (xr 1,Mr (Mrc (...,Mrr 1(xr , xr 1),...,Mc 1c (xc 1, xc )));xc 1)). (5.13)

Можно поступить и противоположным образом: не увеличивать количество критериев, а уменьшать. Если имеется дерево с критериями c > 2, то матрицы свёртки можно заполнить, используя (5.10) или (5.11) так, что данный механизм будет эквивалентен механизму комплексного оценивания с меньшим количеством критериев.

Рассмотрим пример ММКО, включающего четыре критерия (рис. 5.2), и исключим критерий X4 (рис. 5.3):

X (X1, X2, X3, X4) M(M12(X1, X2),Mr (X3, X4))

55

Рис. 5.2. Пример 4-факторного дерева критериев ММКО

Рис. 5.3. Пример 3-факторного ММКО, эквивалентного 4-факторному при M34 Mr (см. выражение (5.14))

Аналогично можно исключить любой другой критерий или несколько критериев (рис. 5.4):

X(X1,X2)=Mc(M12(X1,X2), M34(X3,X4))=M34(X3,X4)

56

Рис. 5.4. Пример 2-факторного ММКО, эквивалентного 4-факторному при M Mc (см. выражение (5.15))

Так можно поступить для любого бинарного дерева, выбрав подграф, одной из вершин которого является критерий, требующий делегирования: матрицу, расположенную в узле, одна ветвь которого соединяется с делегируемым критерием, необходимо заполнить по принципу доминирования.

Используя это свойство, процедуру делегирования можно организовать так: эксперт, участвующий в согласовании (активной экспертизе) матричного механизма комплексного оценивания, выбирает критерии, в которых он компетентен, далее для него строится механизм, эквивалентный механизму комплексного оценивания, который требуется согласовать, и эксперт заполняет оставшиеся матрицы так, как считает нужным, формируя тем самым часть сообщений. Оставшиеся сообщения принимаются по значениям доминирующих матриц.

Такой подход позволяет эксперту сосредоточить внимание на оценивании влияния на комплексную оценку только тех критериев, в которых он компетентен.

Стоит признать, что этот подход потенциально манипулируем. Во-пер- вых, эксперт может выбирать те критерии для оценки, в которых он заинтересован (или, наоборот, сообщать о том, что он некомпетентен в оценке критерия, который хочет игнорировать). Во-вторых, некоторые элементы доминирующих матриц (см. рис. 5.1) лежат в интервале между минимально (рис. 4.1, а) и максимально (рис. 4.1, б) возможными оценками, что может влиять на результат активной экспертизы.

57

§6. ПРИМЕРЫ ДЕЛЕГИРОВАНИЯ СООБЩЕНИЙ ПРИ ГРУППОВОЙ ЭКСПЕРТИЗЕ

Для иллюстрации подходов к делегированию сообщений достаточно рассмотреть одну матрицу свёртки. Рассмотрим пример с четырьмя экспер-

тами, один из которых делегирует оценку критерия Xr . Сообщения агентов приведены на рис. 6.1, а, б, в.

необходимо принять вместо четвёртого эксперта.

6.1. Пример делегирования оценки путём сообщения результата активной экспертизы при (n – 1) экспертах

Для вычисления значений фантомов при трёх экспертах (n = 3) необходимо определить четыре вектора псевдосообщений s(k) согласно выражению (4.4), где k 0,n. Согласно условию А3 для k = 0 и k = 3 выполняется следующее: wrc(0) = drc, wrc(3) = Drc. Таким образом, необходимо определить

58

Векторы псевдосообщений s(k) являются исходными данными для определения значений фантомов wk согласно (4.3) с помощью функции . Приведём пример этого определения при среднеарифметической (табл. 6.1).

Т а б л и ц а 6 . 1

Определение значений фантомов при 3 экспертах и среднеарифметической функции

Теперь можно определить медианы на множествах сообщений 3 экспертов и значений 2 фантомов (табл. 6.2).

Т а б л и ц а 6 . 2

Определение медианы на множестве сообщений 3 экспертов и значений 2 фантомов

Таким образом, используя МАОММ при трёх экспертах, получим матрицу свёртки (рис. 6.2), которую необходимо сообщить вместо четвёртого эксперта.

В §5 формально доказано, что при сообщении результата активной экспертизы, полученной при n экспертах, это сообщение является результатом активной экспертизы при (n + 1) экспертах, поэтому демонстрировать это вычислительным примером нецелесообразно.

59

Рис. 6.2. Матрица свёртки, полученная с помощью МАОММ при трёх экспертах

6.2. Пример делегирования оценки путём заполнения матрицы свёртки по принципу доминирования

Поскольку при этом подходе значения матрицы принимаем по значениям доминантной матрицы (см. рис. 5.1, а или рис. 5.1, б), то нам необходимо определить 3 вектора псевдосообщений (не считая очевидные случаи wrc(k = 0) = drc, wrc(k = 4) = Drc) для вычисления четырёх матриц фантомов

(табл. 6.3):

– при k 1 s(1) s1(1) d, s2 (1) d, s3(1) d, s4 (1) D ,

–при k 2 s(2) s1(2) d, s2 (2) D, s3(2) D, s4 (2) D ,

–при k 3 s(3) s1(3) d, s2 (3) D, s3(3) D, s4 (3) D .

Пусть эксперт считает, что доминирует критерий Xr (см. рис. 5.1, а), тогда набор сообщений 4-го эксперта s4 будет заполнен так, как это показано в табл. 6.4 (строка 4).

Т а б л и ц а 6 . 3

Определение значений фантомов при 4 экспертах и среднеарифметической функции