книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdf
Замечание
Так как старшие степени числителя и знаменателя равны (n = m =1) , следовательно, предел равен отношению коэффици-
ентов при этих степенях, т.е. −1 = − 1 .
4 16
|
|
|
x |
4 |
|
|
x |
2 |
|
|
б) |
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
а) |
lim |
|
|
|
− |
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
5x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
x→∞ |
5x3 − |
|
8 |
|
x→ 2 |
x − 2 |
|
|
|
− 4 |
|
|
||||||||||||||
lim ( |
x + 2 − |
x ) ; |
г) |
lim ( |
3 |
( x +1) |
2 |
− |
3 |
( x −1) |
2 |
) ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim ( |
4x2 − 3x + 5 − 2x) . |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
а) Анализируя условие задачи, заключаем, что при указанном поведении аргумента функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай ∞ − ∞ ).
Преобразуем данную функцию к виду дроби, выполняя вычитание дробей, т.е. приводим дроби к общему знаменателю:
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
5 |
+ 8x |
4 |
− 5x |
5 |
+ 3x |
2 |
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x3 − 3)(5x + 8) |
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ |
5x3 − |
3 5x + 8 |
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
8x4 + 3x2 |
|
|
|
|
|
|
= |
∞ |
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
25x |
4 |
+ 40x |
3 |
−15x − |
24 |
∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
8 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
40 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
25 + |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
x3 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) |
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= [∞ − ∞ |
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ 2 |
x − 2 |
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Приведем дроби к общему знаменателю, получим:
91
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
4 |
|
|
= lim |
x + 2 − 4 |
= lim |
x − 2 |
= |
|||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− |
|
( x − 2)( x + 2) |
( x − 2)( x + 2) |
|||||||||||
x→ 2 |
x − 2 x2 |
4 |
|
→x 2 |
→ x 2 |
. |
||||||||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
= lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
x→ |
2 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) lim ( |
x + 2 − |
|
x ) = [∞ − ∞ |
] . |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
Умножим и разделим данное выражение на сопряженное, |
||||||
т.е. на ( x + 2 + x ) . |
|
|
|
|
||
Тогда |
x + 2 − x ) = lim ( |
x + 2 − x )( |
x + 2 + x ) = |
|||
lim ( |
||||||
x→+∞ |
|
|
|
→+∞x |
x + 2 + |
x |
= lim |
x |
+ 2 − x |
|
= |
|
|
x |
+ 2 + |
|
|
|
||
x→+∞ |
x |
|
|
|||
= lim |
|
2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
+ 2 + |
|
|
|
||
x→+∞ |
x |
|
|
|||
(в знаменателе величина бесконечно большая, как сумма двух бесконечно больших).
г) |
lim |
(3 |
( |
)2 |
− |
3 |
( |
)2 ) |
= |
[ |
∞ − ∞ |
] |
. |
|
|
x +1 |
|
|
x −1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим и разделим данное выражение на неполный квадрат, т.е. на
|
|
|
|
|
(3 ( |
x + |
)4 |
+ |
3 ( |
x |
|
)2 |
( |
|
|
|
)2 |
+ |
3 ( |
x |
)4 ) |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 |
x −1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
(3 |
( |
|
|
)2 |
− |
3 |
( |
x − |
)2 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x +1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
(3 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 )(3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)4 ) |
|
||||
|
|
x |
)2 |
− |
3 ( |
|
|
( |
|
)4 |
+ |
3 |
( |
|
|
)2 |
( |
x − |
)2 |
+ |
3 |
( |
|
|||||||||||||
= lim |
|
|
+1 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
1 |
|
|
x −1 |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 ( |
|
|
)4 |
|
|
( |
|
)2 |
( |
|
|
|
|
)2 |
|
|
( |
|
)4 |
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
+ |
3 |
x − |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
x −1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
92
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
)2 |
− |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 ( |
|
|
|
)4 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
)2 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
( |
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
+ |
3 |
|
x + |
|
x |
− |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
x2 + 2x +1 − x2 + 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 ( |
|
|
|
)4 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
)2 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
( |
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
+ |
3 |
|
x + |
|
x |
− |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 ( |
|
|
|
)4 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
)2 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
( |
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
+ |
3 |
|
x + |
|
x |
− |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(при возникшей неопределенности |
∞ |
|
|
старшая степень числите- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ля n = 1 ниже старшей степени знаменателя m = |
4 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
д) lim ( |
|
4x2 − 3x + 5 − 2x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1) lim ( |
|
4x2 − 3x + 5 − 2x) = [∞ − ∞ |
|
|
] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим |
|
|
и |
|
|
|
разделим |
|
|
|
данное |
выражение |
|
|
|
на |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( |
4x2 − 3x + 5 + 2x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
|
4x2 − 3x + 5 − 2x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
( 4x2 − 3x + 5 − 2x)( 4x2 − 3x + 5 + 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
− 3x + 5 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4x2 − 3x + 5 − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x + 5 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 − 3x + 5 + 2x |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
4x2 − 3x + 5 + 2x |
→+∞x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
= − |
3 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4x |
|
− 3x + |
5 + 2 |
|
|
|
4 − 3 + 52 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
2 |
|
→+∞x |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
93
2) lim ( |
4x |
2 |
− 3x + 5 − 2x) = |
|
4x |
2 |
|
= +∞ , |
|
lim |
|
− 3x + 5 + (−2x) |
|||||
x→−∞ |
|
|
→−x∞ |
|
|
|
|
|
так как сумма двух положительных бесконечно больших есть также бесконечно большая.
§ 7. Первый замечательный предел
Основные формулы |
Определения |
и рисунки |
и замечания |
1. Первый замечатель- |
Замечание 1 |
|
||||||||
ный предел: |
|
|
При нахождении пределов три- |
|||||||
|
sin x |
|
гонометрических выражений |
очень |
||||||
lim |
=1 (2.70) |
часто оказывается удобным |
вос- |
|||||||
|
||||||||||
x→ 0 |
x |
пользоваться формулой (2.70). Этим |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
объясняется название предела «за- |
||||||
|
|
|
|
мечательный предел». |
|
|||||
|
|
|
|
Замечание 2 |
|
|||||
|
|
|
|
Поскольку при x → 0 числитель |
||||||
|
|
|
|
дроби |
sin x |
также стремится к нулю, |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
здесь имеет место неопределенность |
||||||
|
|
|
|
вида |
0 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Замечание 3 |
|
|||||
«Конструкция» первого замечательного предела такова, что аргумент синуса и выражение, стоящее в знаменателе, одинаковые, при этом аргумент синуса стремится к нулю.
2. lim x =1 |
(2.71) |
Формула (2.71) справедлива, так |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x −1 |
|||
x→ |
0 sin x |
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
как |
lim |
|
= lim |
|
|
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x→ 0 sin x |
→x 0 |
|
x |
|
||
3. |
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Если под знаком предела триго- |
||||||
|
|
|
|
нометрическая функция и неопреде- |
|||||||
94
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ленность |
|
|
0 |
, |
при |
этом |
x → a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a ≠ 0) , нужно либо преобразовать |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дробь так, чтобы сократить ее на |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множитель, стремящийся к нулю, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо |
выполнить замену |
t = x − a , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t → |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 1. Найти lim |
|
sin 5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение |
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем неопределенность |
0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
sin 5x |
= lim |
5 sin 5x |
= 5lim |
sin 5x |
= 5 1 = 5 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
x |
|
→x 0 |
5x |
→ x 0 |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 2. Найти lim |
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение |
|
|
x→ |
0 sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем неопределенность |
0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
7x |
= lim |
|
|
|
|
|
7 4x |
= |
7 |
lim |
|
|
4x |
= |
7 |
1 = |
7 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→ 0 |
|
sin 4x |
|
→x 0 |
4 |
sin 4x |
→ x 0 |
sin 4x |
4 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача 3. Найти lim tg 3x .
x→ 0 x
Решение
Имеем неопределенность 0 :
0
95
lim |
tg 3x |
|
= lim |
|
sin 3x |
|
|
= lim |
sin 3x |
|
lim |
1 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
|
|
x |
|
|
→x |
0 cos 3x |
x → |
x 0 |
|
|
|
|
x 0 cos 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
3 sin 3x |
lim |
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
→x 0 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 3 lim |
sin 3x |
lim |
|
1 |
|
|
= 3 1 1 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ 0 |
|
|
3x |
|
|
|
|
→x 0 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 4. Найти lim |
sin 5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
tg 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Имеем неопределенность |
0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
cos8x |
= |
|
|||||||||||||||||||||
tg 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
|
→x |
|
|
|
0 sin 8x |
→ x |
0 sin 8x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin 5x |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos8x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ |
0 |
sin 8x |
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim |
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
x→ 0 |
|
|
5x |
|
|
|
|
lim cos8x = |
|
|
1 = |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
lim |
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 5. Найти lim |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение
Имеем неопределенность 0 . Применяем тригонометриче-
0
скую формулу
96
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos x = 2 sin2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
|
|
x2 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ |
0 1 − cos x |
|
|
|
|
→x |
|
|
|
0 2sin2 |
|
|
x → |
|
x |
0 |
|
|
2 sin |
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 1 = 2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ 0 |
2 |
sin |
x |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→x |
|
0 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача 6. Найти lim |
tg x − sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеем неопределенность |
0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
tg x − sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
→x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x (1 − cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x 2sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
= lim |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
|
|
x3 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
cos x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 1 |
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
|
|
→x |
0 cos x→ |
|
x 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
97
|
cos |
πx |
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 7. Найти lim |
2 |
. |
|
|
||
|
||||||
x→ 1 |
1− x |
|||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
Имеем неопределенность вида |
0 |
. Согласно замечанию п. 3, |
||||
|
||||||
|
0 |
|
||||
чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной: t = x −1, отсюда x = t +1. Тогда при x → 1 будет t → 0 и
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
cos |
|
π |
|
πt |
||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
t |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
2 |
|
= lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
− x |
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|||||||||||||||||||||
x→ 1 1 |
|
|
→t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
t 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
−sin |
πt |
|
|
|
|
|
sin |
πt |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
2 |
= lim |
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t → 0 |
|
|
|
|
|
|
→t 0 |
|
|
π |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π |
|
|
|
|
|
sin |
|
πt |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
lim |
2 |
|
= |
1 = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 t → |
0 |
|
|
πt |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§8. Нахождение пределов вида lim [ f
x→ x0
Второй замечательный предел
=
(x)]φ( x)
Основные формулы |
|
|
Определения |
||||
|
и рисунки |
|
|
|
и замечания |
||
1. lim [ f (x)]φ( x) = |
|
|
|
Следует запомнить: |
|||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
формула (2.72) справедлива, если |
|
|
= lim |
f (x) |
lim φ( x) |
= C |
lim |
f (x) = A и lim φ(x) = B , |
|
|
x→ |
x |
|||||
|
|
0 |
x→ x |
x→ x |
|||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
т.е. пределы существуют и ко- |
|||
|
|
|
|
(2.72) |
|||
|
|
|
|
|
|
нечны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда C = AB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
98
Замечание
|
Если lim |
f (x) = A ≠ 1 и |
|
|
x→ |
x0 |
|
lim φ(x) = ±∞ |
, |
то вопрос о на- |
|
x→ |
x0 |
|
|
хождении предела (2.72) решается непосредственно.
2. Второй замечательный предел:
lim 1 + |
1 |
x |
= e |
(2.73) |
Число e – иррациональное; |
|||||
|
||||||||||
x→∞ |
|
x |
|
|
e ≈ 2,7182818... . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
||
|
|
|
|
|
|
Число e = lim |
1 + |
|
|
явля- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
ется так же, как и число π , одной из важных постоянных. Имеется целый ряд таких задач, в которых e неизбежно появляется и служит средством их решения. Этим объясняется название «замечательный предел».
|
|
|
|
|
Замечание 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Второй замечательный пре- |
||||||
|
|
|
|
|
дел позволяет раскрыть неоп- |
||||||
|
|
|
|
|
ределенность вида {1∞ } . |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
Формула (2.74) есть след- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. lim (1 + α)α = e |
(2.74) |
ствие |
формулы |
(2.73), |
если |
||||||
α→ |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
= α |
( α→ 0 |
|
|
– второй замечательный |
положить |
при |
|||||||||
|
|||||||||||
предел. |
|
|
|
|
x → ∞ |
). |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. lim [ f (x)]φ( x) = |
|
Замечание |
|
|
|||||||
x→ x0 |
|
Формула (2.75) справедлива, |
|||||||||
= e |
lim φ( x) [ f ( x)−1] |
(2.75) |
если lim f (x) =1 и lim φ(x) = ∞ . |
||||||||
x→ x0 |
x→ |
x0 |
x→ x0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
99
Следует запомнить:
если при нахождении предела функции имеет место неопре-
деленность вида {1∞ } , то тре-
буется «построить» второй замечательный предел (формулы 2.73 или 2.74) или воспользоваться формулой (2.75).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x 2+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача 1. Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании формулы (2.72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
sin 3x |
2+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (2+x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x x→ |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→ |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
→x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
lim |
sin 3x |
= 3 ; lim (2 + x) = 2 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→ 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x 2+x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
= 9 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача 2. Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
4x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании формулы (2.72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x |
|
|
3x +1 x+1 |
|
|
|
|
|
|
3x +1 x→∞ |
x+1 |
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
4x |
2 |
+ 5 |
|
||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
100