книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения, |
содержащие |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иррациональности, |
|
приводятся |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к рациональному виду во мно- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гих |
случаях путем |
введения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
новой переменной. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
2. |
Неопределенность ви- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
Под |
раскрытием |
такой |
|
Правило |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
неопределенности понимают |
|
При отыскании предела от- |
||||||||||||||||||||
нахождение предела |
|
|
ношения двух целых многочле- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
f ( x) |
|
, если lim f ( x) = ∞ |
нов относительно x при x → ∞ |
|||||||||||||||
lim |
оба многочлена полезно пред- |
|||||||||||||||||||||
φ( x) |
||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
варительно |
разделить |
на |
xn , |
|||||||||||
и |
|
|
lim φ( x) = ∞ . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
где n – наивысшая степень этих |
||||||||||||||||||
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочленов. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim R(x) = |
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
Аналогичный прием во мно- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a xn + a xn−1 +... + a |
x + a |
гих |
случаях |
можно применять |
|||||||||||
= lim |
|
|
0 |
|
1 |
|
n−1 |
n |
= |
и для дробей, содержащих ирра- |
||||||||||||
|
|
m |
|
m−1 |
|
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
+ b1x |
+... + bm−1x + bm |
|||||||||||||||
|
|
|
|
b0x |
|
циональности. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
если |
n> |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
если |
n < m |
(2.69) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
если |
n = m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3. |
Неопределенность ви- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
да 0 ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Под раскрытием такой не- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
определенности понимают нахо- |
|
Чтобы |
раскрыть |
неопре- |
||||||||||||||||||
ждениепредела |
|
|
|
деленность |
вида |
0 ∞ |
, |
нуж- |
||||||||||||||
lim [ f ( x) φ( x)] , |
если |
|
|
но |
преобразовать |
|
выражение |
|||||||||||||||
x→ |
x0 |
f ( x) = 0 и |
lim φ( x) = ∞ , |
f ( x) φ( x) к виду |
|
f ( x) |
или |
|||||||||||||||
lim |
|
|||||||||||||||||||||
1 φ( x) |
||||||||||||||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
81
т.е. произведение бесконечно |
|
φ( x) |
т.е. |
привести к неоп- |
||||||||||||||||||||||||
малой функции на бесконечно |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||
1 f ( x) |
||||||||||||||||||||||||||||
большую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ределенности вида |
|
|
|
или |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило справедливо и в том |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
случае, когда x → ∞ . |
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Неопределенность вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(∞ − ∞ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Правило |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Под раскрытием такой не- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∞ − ∞ ) |
||||||||||||||||||
определенности понимают на- |
|
Неопределенность |
||||||||||||||||||||||||||
хождение предела |
приводится к неопределенности |
|||||||||||||||||||||||||||
lim [ f ( x ) − φ( x )] , когда |
вида |
|
0 |
|
|
или |
|
∞ |
|
либо алгебраи- |
||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|||||||||||||||
f ( x) |
и φ( x) |
– бесконечно боль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ческими преобразованиями (на- |
||||||||||||||||||||||||||||
шиефункцииодногознака, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||
пример, |
приведением |
дробей |
||||||||||||||||||||||||||
lim f ( x) = ∞ |
|
и lim φ( x) = ∞ . |
к общему знаменателю), либо |
|||||||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
x→ x0 |
переводом иррациональности из |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
числителя в знаменатель. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило справедливо и в том |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
случае, когда x → ∞ . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) lim |
|
2x2 |
−11x + 5 |
|
|
б) |
|
|
|
|
x2 − 2x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + 4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ 5 |
x2 − 25 |
|
|
|
|
|
|
x→ 2 x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
в) lim |
x3 |
− x2 + x −1 |
|
|
г) |
|
|
x3 |
− 3x + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ 1 x4 |
+ 2x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
x→ 1 x4 |
− 4x + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) Пределы числителя и знаменателя при x → |
|
5 равны нулю: |
82
lim (2x2 −11x + 5) = 2 52 −11 5 + 5 = 0,
x→ 5
|
|
( |
|
2 |
− 25 |
) |
= 5 |
2 |
− 25 = 0 , т.е. lim |
2x2 |
−11x + 5 |
0 |
|
||
lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 25 |
|
||||||||
x→ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x→ 5 |
|
0 |
|
Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
(п. 1а, замечание 2), учитывая, что |
|
= |
−b ± |
b2 − 4ac |
|||
x |
|
|
. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
1,2 |
|
|
2a |
|
|
( x − 5) x − |
|
. |
|
|
||
Тогда 2x2 −11x + 5 = 2 |
1 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
К знаменателю применим формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b) , получим
x2 − 25 = ( x − 5)( x + 5) .
Таким образом,
|
|
|
|
2 |
−11x + 5 |
|
|
0 |
|
|
|
2( x − 5) x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (сокращаем |
|||||||||
|
|
x |
2 |
− 25 |
|
|
|
|
|
( x |
− 5)( x + 5) |
|
||||||||||||||||||||||
x→ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
→x 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − |
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
9 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
дробь на ( x − 5) ) |
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
( x + 5) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 5 |
|
|
|
→x 5 x + 5 10 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 2x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
− 4x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ |
2 x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для x ≠ |
2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 2x |
|
= |
x ( x − 2) |
= |
|
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 4 |
( x − 2)2 |
x − 2 |
|
|
|
|
Таким образом,
83
lim |
x2 |
− 2x |
= lim |
x |
. |
||
|
− 4x + 4 |
|
|||||
x→ |
2 x2 |
→x 2 x − 2 |
|
Так как lim x = 2 , а lim ( x − 2) = 0 , то ( x − 2) |
при x → |
2 есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина бесконечно малая, |
|
а обратная ей величина |
|
|
2 |
|
|
|
– |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно большая (2.55). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Поэтому lim |
|
|
|
|
x |
|
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 2 x − 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) lim |
x3 |
− x2 + x −1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
+ 2x |
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→ |
1 x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1-й способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для x ≠ 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x3 − x2 + x −1 |
= |
( x3 − x2 ) + ( x − 1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x4 + 2x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + 2x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для знаменателя используем преобразование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 + 2x2 − 3 = t 2 |
+ 2t − 3 = (где |
t = x2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= (t + 3)(t −1) |
= |
x |
2 |
|
+ 3 |
x |
2 |
− |
x |
2 |
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
|
|
( x − 1)( x + 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
И далее формула принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 ( |
x |
|
) |
|
|
|
( |
x |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
)( |
x |
2 |
|
|
) |
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
−1 + |
|
|
−1 |
|
= |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
+1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
( x2 + 3)( x −1)( x +1) |
( x2 + 3)( x −1)( x +1) |
( x2 + 3)( x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
x3 − x2 + x −1 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
12 +1 |
= |
2 |
|
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
( x2 + 3)(x +1) |
(12 |
+ 3)(1+1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 1 x4 + 2x2 − 3 |
|
|
|
|
→x 1 |
|
|
|
|
|
4 2 4 |
2-й способ
Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на выражение ( x − x0 ) , т.е. на ( x −1) , дающее неопределенность.
84
|
− |
x3 − x2 + x −1 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
− |
x4 |
+ 2x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − x2 |
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
x4 |
− x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x2 + 3x + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
3x2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
− 3x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x − 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lim |
|
x3 |
− x2 + x −1 |
|
= lim |
|
|
|
x2 +1 |
|
|
= |
2 |
|
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ |
1 x4 + 2x2 − 3 |
|
|
→x 1 x3 |
+ x2 + 3x + 3 8 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 − 3x + 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
− 4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x→ |
1 x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Разделим |
числитель |
и знаменатель |
|
|
на |
|
|
выражение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x −1) , |
дающее |
неопределенность. |
|
Тогда |
|
|
|
lim |
x3 − 3x + 2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
1 x4 − 4x + 3 |
||||||||
= lim |
|
x2 + x − 2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
+ x |
2 |
+ x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→ |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Учитывая замечание 1 (п. 1а), произведем повторное деле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние на ( x −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Тогда lim |
|
x2 |
+ x − 2 |
|
|
= lim |
x + 2 |
|
= |
3 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ x2 |
+ x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
1 x3 |
|
→x 1 x2 + 2x + 3 6 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 2. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
2x + 3 −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x→− |
1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
б) lim |
|
|
2x + 3 − 3 |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ 3 |
9x − 2 − 5 |
|
|
|
||||||||
|
3 |
x − 4 −1 |
|
|
|
||||||||
в) lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→ 5 |
5 − x |
|
|
|
||||||||
г) |
lim |
1 − x |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 1 1 − 3 x |
|
|
|
|||||||||
Решение |
|
|
|
||||||||||
а) |
lim |
|
2x + 3 −1 |
= |
0 |
. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x→− 1 |
x +1 |
0 |
К числителю подбираем сопряженное выражение и умножаем на него и числитель и знаменатель:
|
|
|
|
lim |
( |
|
2x + 3 −1)( 2x + 3 +1) |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( x +1)( 2x + 3 +1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x→− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(в числителе применяем формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b) ) |
||||||||||||||||
|
(2x +3−1) |
|
|
|
|
|
|
2(x +1) |
2 |
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
=1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→− 1 |
(x +1)( 2x +3 +1) |
→−x |
1 (x +1)( 2x +3 +1) |
→− x 1 2x +3 |
+1 |
|||||||||||
б) lim |
|
2x + 3 − 3 |
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
9x − 2 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
В этой задаче придется числитель и знаменатель дроби |
||||||||||||||||
умножить на |
( 2x + 3 + 3) (выражение, сопряженное числи- |
|||||||||||||||
телю) |
и на |
( |
9x − 2 + 5) |
(выражение, сопряженное знамена- |
телю).
Получаем:
86
lim |
|
|
2x + 3 − 3 |
= lim |
( 2x + 3 − 3)( 2x + 3 + 3)( 9x − 2 + 5) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9x |
− 2 − 5 |
( 9x − 2 − 5)( 2x + 3 + 3)( |
9x − 2 + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ 3 |
|
|
|
→x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
( |
2x + 3 − |
9)( 9x − 2 |
|
+ 5) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(9x − 2 − 25)( |
|
2x + 3 + |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
2( x − 3)( 9x − 2 |
|
+ 5) |
|
= lim |
2( |
9x |
− 2 |
+ 5) |
|
= |
10 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3) |
|
|
|
|
2x + 3 + 3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→ 3 9( x − 3)( 2x + 3 |
|
|
|
|
|
→x 3 9( |
|
27 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
x − 4 −1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
известной |
|
|
|
формулой |
алгебры |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a − b) (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 |
|
(§6, п. 1б, правило 2). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим a = 3 x − 4 , |
|
b =1. Тогда неполный квадрат име- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
4 |
)2 |
|
+ |
3 |
|
x − |
4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Умножая и числитель, и знаменатель на это выражение, по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лучаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)(3 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( 3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
− 4 |
)2 |
|
+ |
3 |
|
x |
− 4 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
− 4 −1 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ 5 |
|
|
( |
5 − x |
) |
(3 |
x − 4 |
)2 |
|
+ |
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)(3 ( |
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→ |
5 ( |
5 |
− x |
x |
− 4 |
|
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
)( |
3 ( |
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→ |
5 |
− |
x − 5 |
x − |
|
4 |
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= lim− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→ |
5 3 ( x − 4)2 + 3 x − 4 +1 |
|
|
1 +1 + |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) lim |
1 − |
|
x |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→ |
1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
1-й способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этой задаче придется числитель и знаменатель дроби умно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жить на |
( |
+ x |
) |
(сопряженное числителю) |
|
и на |
( |
+ |
3 |
x + |
3 |
x |
2 ) |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(неполныйквадрат кзнаменателю). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Используя это указание, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 − |
x |
|
|
|
|
( |
|
− |
|
x |
)( |
+ x |
)( |
+ |
3 |
x + |
3 |
x |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
= lim |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
)( |
|
)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→ 1 1 − |
3 x |
|
→x 1 |
|
− |
3 |
|
+ x |
+ |
3 |
x + |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
( |
|
|
) |
( |
+ |
3 |
x + |
3 |
x |
2 ) |
|
|
1 + |
3 |
|
x + |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
1 − x |
|
1 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→ |
1 |
|
(1 − x)(1 + x ) |
|
→x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 +1 +1 = 3 .
1 +1 2
2-й способ
Выполним подстановку x = t6 , где показатель степени 6 – наименьшее кратное показателей корней.
Если |
x = t6 , то 2 x = t3 , а |
3 x = t2 , и тогда |
1 − |
|
x |
= |
1 − t3 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3 x |
|
1 − t 2 |
|
|||||||||||
причем t → |
1 , когда x → |
|
1 ; и задача перепишется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
1 − |
x |
|
|
= lim |
1 − t3 |
= lim |
(1 − t )(1+ t + t 2 ) |
= lim |
1+ t + t 2 |
|
= |
|
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
1 1 − 3 x |
|
|
→t |
1 1 − t 2 |
→ t |
1 |
|
(1 − t )(1 + t ) |
|
→ |
|
t 1 |
1 + t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
Задача 3. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
|
|
8x |
3 |
|
+ 5x |
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
− 3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
5x |
− 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) |
|
|
x4 − 2x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 5 − x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
+ 5x −1 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
16x |
+1 + |
|
2x |
− 3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
8x3 + 5x |
2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5x |
3 |
− 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88
Разделим числитель и знаменатель на x3 (наивысшую степень x в данной дроби).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8x3 + 5x2 − 3 |
|
|
|
|
|
8 + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
8 + 0 − 0 |
= |
8 |
|
|||||
Тогда lim |
|
= lim |
|
x |
x3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
5 − 0 − 0 |
|
|||||||||||||||||||
x→∞ |
|
5x3 − 2x −1 |
→∞ x |
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(при x → ∞ |
слагаемые |
5 |
, |
|
3 |
|
, |
2 |
|
|
|
и |
1 |
|
– величины беско- |
|||||||||||
|
|
|
x3 |
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
нечно малые (§4, формула (2.54)) и, следовательно, их пределы равны нулю).
Замечание
Так как старшие степени числителя и знаменателя равны (n = m = 3) , следовательно, предел равен отношению коэффици-
ентов при этих степенях a0 = 8 (формула (2.69), §6).
|
|
|
|
|
|
b0 |
5 |
б) lim |
|
|
x + 4 |
∞ |
|
||
|
|
|
|
= |
|
. |
|
2x |
2 |
− 3x +1 |
∞ |
||||
x→∞ |
|
|
|
Разделим числитель и знаменатель на x2 (наивысшую степень x в данной дроби).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
Тогда |
lim |
|
= lim |
|
|
|
x |
x2 |
|
|
= |
= 0 |
|||||||||||||
2x2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
− 3x +1 |
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
||||||||||||
(при x → ∞ |
|
слагаемые |
1 |
, |
|
4 |
, |
|
3 |
|
|
и |
|
1 |
|
– величины бесконечно |
|||||||||
|
x |
|
x2 |
|
x |
|
|
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малые и, следовательно, их пределы равны нулю).
Замечание
Так как старшая степень числителя (n =1) меньше старшей
степени |
знаменателя |
(m = 2) (n < m) , следовательно, предел |
|||||
равен нулю (формула (2.69), §6). |
|||||||
в) lim |
x4 |
− 2x2 + 3 |
∞ |
|
|||
|
|
|
= |
|
. |
||
x |
3 |
+ 5x −1 |
|
||||
x→∞ |
|
|
∞ |
|
89
Разделим числитель и знаменатель на x4 .
|
1 |
− |
2 |
|
+ |
3 |
|
|
|
|||
Тогда lim |
x2 |
x4 |
= ∞ , так как при x → ∞ |
предел чис- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
1 |
+ |
5 |
|
− |
1 |
|
|
||||
|
x |
x3 |
x4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
лителя равен 1, а знаменатель есть величина бесконечно малая, как сумма трех бесконечно малых величин. Значит, мы имеем дело с величиной, которая обратна бесконечно малой, а такая величина – бесконечно большая.
Замечание
Так как старшая степень числителя (n = 4) больше старшей
степени |
знаменателя |
|
(m = 3) |
(n > m) , следовательно, предел |
||||||||
равен ∞ |
(формула (2.69), §6). |
|
|
|
||||||||
г) lim |
|
x + 5 − x2 − 3 |
∞ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
||
|
16x |
|
+1 + |
|
2x |
|
− 3 |
|
||||
x→∞ |
4 |
4 |
3 |
2 |
∞ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Разделим числитель и знаменатель на x (наивысшую степень x в данной дроби).
Тогда
|
|
|
|
|
x + 5 − |
|
|
|
x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 5 |
− |
|
x2 − 3 |
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
x |
|
x |
= |
||||||||||||||||||||||||
4 16x4 +1 + |
3 2x2 − 3 |
4 16x4 +1 |
|
|
3 2x2 − 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
→∞ x |
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 5 |
|
|
− |
|
x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
16x |
4 |
+1 |
+ 3 |
2x |
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
5 |
|
|
|
− |
1 − |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
1 |
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
+ |
1 |
|
+ 3 |
|
2 |
− |
3 |
4 |
16 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90