книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

arctg2 5x (5x)

2

1 − cos 5x

(5x)2

,

.

2

Поэтому lim

arctg2 5x

= lim

(5x)2

= 2 .

− cos5x

(5x)2

x→

0 1

→x

0

2

в) При x →

0

ln (1 − 3x) →

0 и (e4 x −1) → 0 .

Имеем ln (1 − 3x) = ln (1 + (−3x)) −3x ;

e4 x −1 4x .

Поэтому lim

ln (1 − 3x)

= lim −3x = −

3

.

x→

0

e4 x −1

→x 0 4x

4

e2 x −1 2x ;

sin 3x 3x .

Поэтому

lim

ex − e− x

= lim

2x

=

2

.

3

x→

0 sin 3x

→x 0 3x

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

Определение 1

Функция y = f ( x) называет-

ся непрерывной в точке x = x0 ,

есливыполняютсяусловия:

1) функция

определена в

точке x0 и некоторой её окрест-

ности;

f ( x ) имеет пре-

2) функция

делпри x →

x0 ;

Рис. 2.13

3) предел функции в точке x0

равен значению функции в этой

lim f (x) = f (x )

(2.83)

точке, т.е.

выполняется равен-

0

ство (2.83) (рис. 2.13).

x→ x0

2. Разность x − x0 = ∆ x

(2.84)

Читается «дельта икс».

– приращение аргумента x в точ-

ке x0.

Разность y − y0 =

Читается «дельта игрек».

= f (x) − f (x0 ) = ∆ y

(2.85)

– приращение функции y = f (x)

Замечание

в точке x0.

∆ x

Нельзя рассматривать

как произведение ∆

на x.

Это

единый символ.

Тожесамое относится к ∆ y .

Определение 2

Функция

y = f ( x ) называ-

ется непрерывной в точке x0,

если она определена в точке x0

и её окрестности и выполняется

Рис. 2.14

равенство (2.86), т.е. бесконеч-

но малому приращению аргу-

lim ∆ y= 0

мента соответствует

бесконеч-

(2.86)

но малое приращение функции

∆ x→

0

(рис. 2.14).

3.

Определение 3

Функция

y = f ( x ) называ-

ется непрерывной в точке x0,

если она определена в точке x0

и её окрестности и выполняется

равенство (2.87), т.е. односторон-

ние пределы

равны

значению

Рис. 2.15

функциивточкеx0 (рис. 2.15).

Замечание 1

lim

f (x) =

Понятия

односторонних

пределов рассмотрены в

гла-

x→

x− 0

0

(2.87)

ве 2, §3.

=

lim

f (x) = f (x

)

Замечание 2

x→ x+

0

0

0

Данные

три определения

непрерывности равносильны.

Замечание 3

В зависимости от характера

рассматриваемой задачи удобно

пользоваться

тем или другим

определением

непрерывности

функции в точке.

При исследовании функции

на непрерывность удобно поль-

зоваться определениями 1 и 2.

Особенно удобно в диффе-

ренциальном

исчислении

ис-

пользовать определение 2.

При исследовании функции

на точки разрыва пользуемся

определением 3.

Действия над функциями, непрерывными в точке

4. Если

f ( x ) непрерывна

Произведение константы на

в точке x0, C = const , то

непрерывную в некоторой точ-

g ( x ) = C f ( x )

ке функцию есть функция, не-

(2.88)

прерывная в этой точке.

непрерывна в точке x0.

5. Если

f ( x ) и φ( x )

– не-

Сумма двух непрерывных

прерывныефункциивточкеx0, то

в некоторой точке функций есть

g ( x ) = f ( x ) + φ( x )

(2.89)

функция, непрерывная в этой

точке.

непрерывна в точке x0.

Замечание

Правило

справедливо

при

любом конечном числе непре-

рывных функций.

6. Если

f ( x ) и φ( x )

– не-

Произведение двух непре-

прерывные функции в точке x0,

рывных в некоторой точке функ-

то

ций есть функция, непрерывная

вэтойточке.

g ( x ) = f ( x ) φ( x )

(2.90)

Замечание

непрерывна в точке x0.

Правило

справедливо

при

любом конечном числе непре-

рывных функций.

7. Если f ( x ) и φ( x ) – не-

Частное

от деления двух

прерывные функции в точке x0,

непрерывных в некоторой точке

φ( x0 ) ≠

0 , то

функций есть функция, непре-

f ( x )

рывная в этой точке, при усло-

g ( x ) =

(2.91)

вии, что знаменатель не обраща-

φ( x )

ется в нуль в этой точке.

непрерывна в точке x0.

8. Если u = φ( x ) непрерыв-

Сложная функция, состав-

на в точке x0, а

y = f (u )

непре-

ленная из конечного числа непре-

рывна в точке u0 = φ( x0 ) , тогда

рывных в некоторой точке функ-

ций, непрерывнавэтойточке.

y = f (φ( x ))

непрерывна в точ-

Замечание 1

ке x0.

Понятие сложной функции

рассмотрено в главе 1, §3, п. 2.

Замечание 2

Всякая элементарная функ-

ция непрерывна в каждой точ-

ке, в которой она определена.

9.

Определение

Если в какой-либо точке x0

функция не является непрерыв-

ной, то точка x0 называется точ-

кой разрыва функции, а сама

функция– разрывнойвэтойточке.

Следует запомнить:

если равенство (2.87) в какой-

либо его части не выполняется,

то о точке x = x0 говорят, что

она является точкой разрыва.

Классификация точек разрыва

10. x = x0

– устранимая точ-

В

точке

x = x0

функция

каразрыва, если

f ( x )

имеет предел слева и спра-

lim

0

f (x) =

ва, и эти пределы между собой

x→

x−

=

0

) ≠ f (x )

(2.92)

равны, но их значения не совпа-

lim

f (x

дают

со значением

функции в

x→ x+

0

0

0

0

точкеx0, т.е. созначением f ( x0 ) .

Замечание

Разрыв «устраняется» тем,

что

полагают

f ( x0 )

равным

f ( x0 − 0)

и f ( x0 + 0) ,

т.е. при-

нимают,

что

f ( x

) = lim f ( x )

0

x→ x0

(рис. 2.16).

Рис. 2.16

Говорят, что функцию нуж-

но доопределить и тем самым

устранить существующий ранее

разрыв. Отсюда становится по-

нятным происхождение термина

«устранимый разрыв».

11. x = x0

– точка разрыва

В

точке

x = x0

функция

первого рода, если

f ( x )

имеет конечные преде-

x→ x− 0

f (x) = A

,

лы слева и справа, не равные

lim

друг другу (рис. 2.17).

0

lim

f (x) = B ,

x→ x+

0

0

A ≠

B

(2.93)

Замечание

Точку разрыва первого ро-

да

x = x0

называют точкой ко-

нечного скачка, при этом ве-

личина, определяемая форму-

лой (2.94), называется скачком

функции

f ( x )

в точке x0.

12. x = x0

– точка разрыва

Замечание

второго рода, если хотя бы

x0 называют точкой беско-

нечного разрыва.

один из пределов

lim

f ( x ) ,

x→ x−

0

0

lim

f ( x) равенбесконечности.

x→ x+

0

0

Свойства функций, непрерывных на отрезке

13.

Определение 4

Функция f ( x ) называется

непрерывной на интервале (a;b) ,

если она непрерывна в каждой

точкеэтогоинтервала.

y = f ( x) , x

[a;b]

Определение 5

Функция

называется не-

Функция

y = f ( x )

непре-

прерывной на отрезке [a;b] ,

если она непрерывна в интер-

рывна справавточке«a», если

вале (a;b)

и в точке «a» непре-

lim f ( x) = f (a )

(2.95)

рывна справа, в точке «b» не-

x→ +a 0

y = f ( x )

прерывна слева (формулы (2.95)

Функция

непре-

и (2.96)).

рывна слева в точке «b», если

lim f ( x) = f (b)

(2.96)

x→ −b 0

14. Если

f ( x )

– непрерыв-

Теорема 1 (Вейерштрасса*)

наяфункция наотрезке [a;b] , то

Если

функция

y = f ( x)

m ≤

f (x)≤

M

(2.97)

непрерывна на отрезке [a;b] ,

то она достигает на этом отрез-

ке своих наибольшего (M) и

наименьшего (m) значений.

m = f ( x1 )

–

наименьшее

значение

функции

на

отрезке

[a;b] (рис. 2.18);

Рис. 2.18

Замечание 1

Точки x1 , x2 , в которых дос-

тигаются наибольшее и наимень-

шее значения функции

f ( x ) на

отрезке [a;b] , не обязательно

должны

быть единственными

(рис. 2.19),

f ( x1 ) = f ( x3 ) = M .

Рис. 2.19

Замечание 2

Задача о наибольшем и наи-

меньшем

значениях

функции

более подробно будет рассмот-

рена в главе 4, §4.

15. Если f ( x ) – непрерыв-

Следствие (об ограничен-

ная функция на отрезке

[a;b],

ности функции)

непре-

то M > 0, x [a;b]

Функция y = f ( x),

рывная на отрезке [a;b] , огра-

f ( x)

≤ M

(2.98)

ничена на этом отрезке (следует

из формулы (2.97)).

16.

Теорема 2 (Больцано* – Ко-

ши опромежуточном значении)

Если функция y = f ( x ) не-

прерывна на отрезке [a;b] , то

для любого значения

функции

C, заключенного между наи-

большим (M) и наименьшим (m)

Рис. 2.20

Геометрически

это

озна-

чает, что любая прямая

y = C ,

параллельная оси

OX,

где

m < C < M , пересекает график

непрерывной на [a;b] функции

y = f ( x ) хотя

бы

один

раз

Рис. 2.21

(рис. 2.20 и рис. 2.21).

Следствие

y = f ( x )

Если

функция

непрерывна на отрезке [a;b] и

на его концах принимает значе-

ния разных знаков, то внутри

отрезка существует хотя бы од-

на точка x0, в которой функция

обращается

в

нуль,

т.е.

Рис. 2.22

f ( x0 ) = 0 ,

a < x0 < b .

f ( x1 ) = 0 ; f ( x2 ) = 0 ;

Геометрический

смысл

f ( x3 ) = 0

следствия

иллюстрируется

на

рис. 2.20 и рис. 2.22.

17. Если y = f ( x) непре-

Функция, обратная к моно-

рывна и строго монотонна на

тонной и непрерывной функ-

ции, непрерывна.

отрезке [a;b] , то обратная функ-

Замечание

ция x = φ( x )

также непрерывна

Понятие монотонной функ-

и монотонна

на отрезке [c; d ] ,

ции рассмотрено в главе 1, §2,

п. 2, обратной– вглаве1, §3, п. 1.

где c = f (a ) , d = f (b) .

числяем lim f ( x) :

x→

x0

lim f ( x ) = lim

(4x5 + 3x4 + 2x +1) = 4x5

+ 3x4

+ 2x +1 .

x→ x0

→x x0

0

0

0