книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

Функция

нечётная,

т.е.

сtg(–x) = –сtg(x)

(график

сим-

метричен относительно начала

координат).

Замечание

График

функции

y = ctg x

(рис. 1.30) называется котан-

генсоидой.

Рис. 1.30

sec x =

1

Замечание

cos x

Иногда рассматривают еще

(1.21)

две тригонометрические функ-

cosec x =

1

ции – секанс и косеканс, кото-

рые определяются по формулам

sin x

(1.21).

д) Обратные тригономет-

рические функции:

y = arcsin x ,

y = arccos x ,

Функция y = arcsin x.

(1.22)

y = arctg x ,

Область определения: [–1;1].

y = arcctg x

Область значений:

−

π

;

π

.

2

2

Функция нечётная, т.е.

arcsin (–x) = –arcsin x.

График симметричен отно-

сительно

начала координат

(рис. 1.31).

Рис. 1.31

4) Элементарные функции

Функции,

построенные из

основных элементарных функ-

ций и постоянных с помощью

конечного числа арифметиче-

ских операций (сложение, вы-

читание, умножение, деление)

и операций взятия функции от

функции, называются элемен-

тарными функциями.

2 + 3 x

10x −1

Формулы (1.23) – примеры

y =

, y =

, (1.23)

элементарных функций.

3 −

x

x2

y = lg (x + 1+ x2 ) ,

y = arctg

1+ sin x

и т.д.

1− sin x

y = 1 2 3 n = n!

(1.24)

Читается: n – факториал.

Формула

(1.24) – пример

функции, которая не является

элементарной, так как количе-

ство операций, которое нужно

произвести для получения y,

увеличивается с увеличением n,

т.е. не является ограниченным.

Замечание

О важном значении элемен-

тарных функций свидетельству-

ет то, что в математическом ана-

лизе, применяемом в основных

задачах физики и техники, упот-

ребляются чаще всего элемен-

тарныефункции.

y = 4 − 3x

относительно x, получим

обратную

функцию

x = φ( y ) =

4 − y

. Обозначим ее аргумент через x,

а функцию –

3

4 − x

через y ,

построим графики функций

y = 4 − 3x

и

y =

3

−

π

+ 2πn < x <

π

+ 2πn, n Z.

2

2

в) В данном

случае рассматривается

сложная функция

с двумя промежуточными аргументами u и υ

:

y = sin u, u = 3 υ

, υ = x − 6 .

г) Аналогичным образом находим

y = u3,

u = arcsinυ

, υ

= 1− x2 .

Поскольку −1 ≤

υ ≤

1

, то −1 ≤ 1− x2≤ 1 .

Следовательно,

0 ≤

x2≤

2 ,

−

2 ≤

x≤ 2 .

Основные формулы

Определения

ирисунки

изамечания

1. Обозначение

числовой

Числовой последователь-

последовательности:

ностью называется бесконечное

x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... или

множество чисел x1 , x2 , x3 ,...,

xn ,... следующих одно за дру-

{xn}

(2.1)

гим в определенном порядке

и построенных по определен-

ному закону, с помощью кото-

рого xn задается как функция

натурального (или целочислен-

ного) аргумента.

Числа x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... на-

зываются

членами последова-

тельности,

xn

– общим или n-м

членом последовательности.

2.

xn = f (n)

(2.2)

Числовая

последователь-

ность может быть определена

заданием её n-го члена форму-

лой (2.2),

позволяющей найти

любой член

последовательно-

сти простой подстановкой но-

мера искомого члена в эту фор-

мулу (2.2).

3.

x1 = f (1) , x2 = f (2) ,…,

x1 = f (1)

– первый член по-

xn = f (n) ,…–

(2.3)

следовательности,

члены числовой последователь-

x2 = f (2)

– второй член

ности

последовательности, …

xn = f (n)

– n-й член или

общийчлен последовательности.

Замечание

Члены

последовательности

обычно располагаются в поряд-

ке возрастания аргумента.

вые последовательности

переносятся

понятия

монотонности

и ограниченности функций.

4. Последовательность {xn} –

Последовательность назы-

вается

строго

возрастающей,

строго возрастающая, если

если каждый последующий член

xn+1 > xn ,

n

(2.4)

последовательности больше сво-

его предыдущего.

1

2

3

n

(2.5)

Пример строго возрастаю-

,

,

,...,

,...

2

3

4

n + 1

щей последовательности (2.5).