книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

Рис. 4.58

Из схемы (рис. 4.58) следует, что функция выпукла на ин-

y =1 – правосторонняя горизонтальная асимптота.

y =1 – левосторонняя горизонтальная асимптота.

241

Правосторонняя и левосторонняя асимптоты являются частями одной и той же прямой y =1 (§6, п. 3, замечание 2).

График функции представлен на рис. 4.59.

Рис. 4.59

Задача 4. Исследовать функцию

y = x + ln ( x2 −1)

и построить её график.

Решение

1. Функция определена и непрерывна при всех значениях x, для которых

x2 −1 > 0 , т.е. x −( ∞ −; 1) +∞(1; ).

2. Точек пересечения с осью ОY нет, так как x = 0 не принадлежит области определения функции.

242

Найдем точки пересечения кривой с осью ОX. Положив y = 0 , получим

x + ln ( x2 −1) = 0 .

Точного решения уравнение не имеет. Решаем уравнение приближенно. Рассмотрим интервал (1; +∞ ) .

этом интервале расположен ниже оси ОX.

3. Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, находим:

f (−x) = −x + ln ( x2 −1) ≠ f ( x) и f (−x) ≠ − f ( x) ,

т.е. функция общего вида.

4.Функция непериодическая.

5.Найдем первую производную функции:

В точке x2 = −1 + 2 функция не определена

Рис. 4.60

243

y′′ < 0 для всех х из области определения функции, следова-

тельно, кривая везде выпукла. Точек перегиба нет. 7. Найдем асимптоты кривой.

Вертикальные асимптоты:

Таким образом, кривая имеет две вертикальные асимптоты: x = −1 и x =1 .

Ищем наклонные асимптоты:

244

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

1.Исаак Ньютон (1643–1727), выдающийся английский физик, механик, астроном и математик, родился в 1643 г. в деревне Вульсторп близ г. Грэнтэма.

Ньютон сформулировал основные законы классической механики, установил закон всемирного тяготения, закон разложения белого света на монохроматические лучи, разработал независимо от Лейбница дифференциальное и интегральное исчисление (которое он называл методом флюксий). Ньютон разработал также вопросы интерференции света в тонких пластинках, дифракции

иполяризации света, вывел формулу для вычисления любой положительной степени бинома, а также выполнил ряд других исследований.

2.Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), выдающийся

немецкий ученый, математик и философ-идеалист, родился в Лейпциге 1 июля 1646 г.

Главной заслугой Лейбница является то, что он (одновременно с Ньютоном) завершил создание основ дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц разработал простейшие правила дифференцирования, определил дифференциал как бесконечно малую разность двух бесконечно близких значений переменной величины, интеграл – как сумму бесконечного числа дифференциалов, подчеркивая одновременно взаимно обратный характер этих основных операций математического анализа. Большое внимание Лейбниц уделял также созданию математической символики. Обозначение таких основных понятий математического анализа, как дифференци-

ал dx , второй дифференциал d 2 x , интеграл ∫ ydx , производ-

ная d , были предложены Лейбницем. Тот факт, что эти обозна- dx

чения употребляются до настоящего времени, свидетельствует о том, насколько они удачны.

246

Хорошо выбранная символика весьма способствует быстроте и легкости производимых выкладок и рассуждений, а, кроме того, удачная символика иногда ограждает нас от ошибочных заключений. Всё это Лейбниц хорошо понимал, а поэтому в своем творчестве очень большое внимание уделял выбору обозначений и терминов.

3.Гийом Франсуа Лопиталь (1661–1704), французский математик, член Парижской академии наук, очень много сделавший для распространения идей математического анализа.

Работы Лопиталя относятся, главным образом, к исследованию трудных задач математического анализа. В 1696 г. вышло из печати главное творение его жизни – «Анализ бесконечно малых для познания кривых линий». Появление этого первого печатного учебника по дифференциальному исчислению как нельзя лучше отвечало потребности момента. Никто, кроме Лопиталя, не позаботился собрать воедино формальный аппарат нового исчисления, обработать его педагогически, подобрать

исочинить необходимые примеры и задачи. Заслуга Лопиталя

изаключается в том, что с появлением его учебника началось широкое знакомство с анализом бесконечно малых и постепенное его проникновение в математическую практику.

4.Иоганн Бернулли (1667–1748), знаменитый математик

имеханик, профессор Гронингенского (с 1695 г., Голландия)

иБазельского (с 1705 г.) университетов, почетный член Петербургской академии наук, в изданиях которой он опубликовал девять работ.

В 1742 г. вышли четыре тома сочинений И. Бернулли, в том числе его «Интегральное исчисление», которое было написано с таким мастерством, что изложенный в нем материал вошёл в современные элементарные учебники анализапочтибез изменений.

И. Бернулли принадлежат также правило раскрытия неоп-

ределенности вида 0 , теория интегрирования рациональных

0

дробей, разработка теории обыкновенных дифференциальных уравнений и ряд других важных исследований.

247

5.Леонард Эйлер (1707–1783) величайший математик, механик и физик, член Петербургской академии наук и многих других академий. Родился в г. Базеле (Швейцария) в семье пастора Пауля Эйлера. Учился в Базельском университете на философском, а затем на богословском факультете. Одновременно посещал лекции Иоганна Бернулли, что и определило его дальнейшую судьбу.

Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят начала высшей математики по руководствам, первыми образцами которых являлись классические монографии Эйлера. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий ученый. Но

впервую очередь он был математиком. Творческая деятельность Эйлера тесно связана с Петербургской академией наук. Продолжая дело Ньютона и Лейбница, он преобразовал исчисление бесконечно малых в аналитическую дисциплину. Результаты этой работы Эйлер изложил в ряде классических монографий («Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление» и др.). Эйлер отличался феноменальной работоспособностью: его перу принадлежит свыше 850 научных работ, большая часть которых, а именно 473, была напечатана впервые в изданиях Петербургской академии наук.

6.Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), великий француз-

ский математик и механик, член Берлинской академии наук (с 1759 г., а в 1766–1787 гг. – её президент), член Парижской академии (с 1772 г.), почетный член Петербургской академии наук (с 1776 г.).

Работы Лагранжа относятся ко многим разделам математики и механики, а именно: вариационному исчислению, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям, математическому анализу, дифференциальной геометрии, аналитической и теоретической механике, небесной механике и астрономии.

248

7.Бернард Больцано (1781–1848), известный чешский математик и философ. Он впервые сформулировал признак: если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу. Признак был сформулирован в его фундаментальном труде «Учение о функциях», написанном в Праге

в1830 г., но увидевшем свет только через 100 лет, после распада австрийской империи, где его автор за свои прогрессивные взгляды подвергался преследованиям.

8.Огюстен Луи Коши (1789–1857), великий французский математик, член Парижской академии наук (с 1816 г.).

Коши принадлежат более 750 работ, относящихся ко всем областям математики и многим областям механики и физики.

Он является одним из основоположников теории функций

комплексного переменного. В теории дифференциальных уравнений Коши принадлежит постановка одной из самых важных задач – так называемой задачи Коши. Кроме того, он доказал теорему о существовании решений обыкновенных дифференциальных уравнений, разработал теорию уравнений в частных производных первого порядка. Ряд работ Коши относится также к математической физике, геометрии, алгебре, теории чисел.

Одной из основных заслуг Коши является создание им курсов анализа, в которых дано строгое обоснование понятий и положений дифференциального и интегрального исчисления путем систематического использования понятия предела.

9. Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), вели-

кий русский математик, создатель неевклидовой геометрии. В 1811 г. окончил Казанский университет, был деканом физи- ко-математического факультета и ректором этого же универси-

тета (1827–1846).

Исторической заслугой Н.И. Лобачевского является открытие новой геометрической системы, отличной от евклидовой, которая получила в дальнейшем название геометрии Лобачевского.

Лобачевскому принадлежат также фундаментальные работы по алгебре и математическому анализу. Он первым установил разницу между непрерывностью и дифференцируемостью

249

функций, создал один из наиболее эффективных методов приближенного решения алгебраических уравнений.

10. Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897),

выдающийся немецкий математик, член Берлинской академии наук (с 1857 г.).

Большинство работ Вейерштрасса опубликовано после его смерти. Они относятся к математическому анализу, вариационному исчислению, теории функции комплексного переменного, линейной алгебре и дифференциальной геометрии. Большое значение имеют работы Вейерштрасса по обоснованию математического анализа.

250