1 |
|
= +∞ |
, |
|
1 |
|
|
= −∞ (см. рис. 4.45). |
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+ 0 ex −1 |
|
|
x→− 0 ex −1 |
|
|
|
|
|
Ищем наклонные асимптоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
1) x |
|
|
|
b1 |
= lim |
|
1 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
ex −1 |
Так как k1 = 0 |
и b1 = 0 , данная кривая имеет правосторон- |
нюю горизонтальную асимптоту y = 0 (ось OX): |
|
|
|
k2 |
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
−1) x |
|
|
|
b2 |
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
= −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
−1 |
Так как k2 = 0 , данная кривая имеет левостороннюю горизонтальную асимптоту y = −1 (рис. 4.51):
Рис. 4.51
Задача 5. Найти асимптоты кривой |
y = |
x4 |
|
. |
x2 + 1 |
Решение
Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как данная функция непрерывна на всей числовой оси. Будем искать наклонные асимптоты;
|
x4 |
|
|
x4 |
k = lim |
|
|
= lim |
|
= ±∞ . |
( x2 + |
|
|
x→±∞ |
1) x →±∞x |
x3 + x |
Следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет.
§7. Общая схема исследования функции
ипостроения графика
Схема исследования |
Замечания |
1. Найти область опреде- |
|
ления функции. |
|
|
2. Определить точки пе- |
Кривая пересекает ось OY, если |
ресечения кривой |
с осями |
x = 0 . Следовательно, вычисляем |
координат. |
|
y = f (0) . |
|
|
Кривая пересекает ось OX, если |
|
|
y = 0 . Следовательно, решаем урав- |
|
|
нение y = f ( x) = 0 , корни которого |
|
|
и есть точки пересечения кривой |
|
|
сосью OX. |
3. Установить, |
является |
Если функция четная или не- |
ли функция четной, нечет- |
четная, то вместо всей области |
ной или этим свойством не |
определения достаточно рассмот- |
обладает. |
|
реть лишь ту часть её, которая |
|
|
принадлежит положительной по- |
|
|
луоси абсцисс. На этой части об- |
|
|
ласти определения нужно провес- |
|
|
ти полное исследование функции |
|
|
и построить её график, а затем, |
|
пользуясь симметрией, |
достроить |
|
его на всей области определения. |
4. Установить, является |
Если функция периодическая, |
ли функция периодической. |
то достаточно провести исследо- |
|
вание функции на любом отрезке, |
|
длина которого |
равна |
периоду |
|
функции, а затем, построив гра- |
|
фик на этом отрезке, распростра- |
|
нить его на всю область определе- |
|
ния функции. |
|
|
5. Найти локальные экс- |
|
|
|
тремумы и промежутки воз- |
|
|
|
растания и убывания функ- |
|
|
|
ции. |
|
|
|
6. Найти промежутки вы- |
|
|
|
пуклости и вогнутости гра- |
|
|
|
фика функции, его точки пе- |
|
|
|
региба. |
|
|
|
7. Найти асимптоты гра- |
Вертикальные, наклонные (го- |
фика функции. |
ризонтальные) |
|
|
8. Построитьграфикфунк- |
Для более точного вычерчива- |
ции, используя полученные |
ния кривой полезно также наметить |
результаты исследования. |
небольшое число |
промежуточных |
|
точек, вычисляя их координаты при |
|
помощиуравнения кривой. |
Задачи
Задача 1. Исследовать функцию
y = ( x2 +1)( x −1)
и построить её график.
Решение
1.Областьопределения – всячисловая ось. Точекразрыванет.
2.Найдем точки пересечения кривой с осями координат.
Положив x = 0 , находим, что кривая пересекает ось ординат в точке y (0) = −1.
Приравняв y = 0 , получаем уравнение
( |
x |
2 |
)( |
) |
|
|
|
+1 |
x −1 = 0 . |
|
Так как x2 +1 ≠ 0 для любого x, то единственным корнем |
является x =1 . |
|
|
|
и P (1;0) |
|
Таким образом, P (0; −1) |
– точки пересечения |
1 |
|
|
|
2 |
|
кривой с осями координат. |
|
|
|
3. Проверим условие |
f ( x) = f (−x) : |
|
f (−x) = ((−x)2 +1)(−x − 1) = − ( x2 + 1)( x + 1) .
Следовательно, f (−x) ≠ f ( x) . Функция не является четной.
f |
( |
−x |
) |
= − |
( |
x |
2 |
+ |
)( |
) |
( |
x |
2 |
+ |
)( |
x + |
) |
f |
( |
−x |
) |
≠ − |
f |
( |
x |
) |
. |
|
|
|
|
1 |
x +1 |
= − |
|
|
1 |
1 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
Нечетной функция не является. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Функция непериодическая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найдем первую производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 3x2 − 2x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критических |
точек |
первого |
рода |
нет, |
|
так |
|
|
как |
3x2 − 2x +1 ≠ |
0 . |
На всей числовой оси |
y′ = 3x2 − 2x +1 > 0 , |
т.е. |
функция монотонно возрастает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экстремумов нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Находим вторую производную: y′′ = 6x − 2.
Критическая точка второго рода: x = 1 . 3
Исследуем знак второй производной:
Из схемы (рис. 4.52) следует, что на интервале
вая выпукла, на интервале |
1 |
; +∞ |
|
вогнута. |
|
|
3 |
|
|
x = 1 является абсциссой точки перегиба.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
20 |
|
Находим |
yпер |
|
|
|
= |
|
+1 |
|
−1 |
= − |
|
. |
|
|
|
27 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
Следовательно, |
P3 |
|
1 |
; − |
20 |
|
– точка перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
7. Находим асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. Наклонных, а следовательно, и горизонтальных асимптот
нет, так как
|
( |
x |
2 |
) |
( |
) |
|
k = |
lim |
|
|
+1 |
|
x −1 |
= ∞ . |
|
|
|
x |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
График функции представлен на рис. 4.53.
Задача 2. Исследовать функцию
y= 1 ( x +1)3
4 ( x − 2)2
и построить её график.
235
Рис. 4.53
Решение
1.Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки
x= 2 ,
x −( ∞ ; 2) +∞(2; ) .
2. Найдем точки пересечения кривой с осями координат. Положив x = 0 , находим, что кривая пересекает ось ординат
|
в точке y (0) = |
1 |
|
1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
( |
)3 |
|
|
Приравняв |
y = 0 , получаем уравнение |
|
= 0 , единст- |
|
|
|
x +1 |
|
венный корень |
которого |
x = −1 |
дает нам |
точку |
пересечения |
|
кривой с осью абсцисс. |
0; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, P |
и |
P (−1;0) |
– точки пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
кривой с осями координат.
3. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является
236
четной или нечетной, поэтому ни центральной, ни осевой симметрией она не обладает.
4.Исследуемая функция непериодична.
5.Дифференцируя данную функцию, получим
|
1 |
|
3( x +1)2 |
( x − 2)2 − ( x +1)3 |
2 |
( x − 2) |
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
( |
|
)4 |
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( |
)2 |
|
( |
|
) |
3( x − 2) − 2( x + 1) |
|
1 ( x +1)2 |
( |
|
) |
|
= |
|
|
x +1 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
. |
4 |
|
|
( x − 2) |
4 |
|
4 ( x − 2) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критические точки первого рода: |
x1 = −1 , x2 = 8 и x3 = 2 . |
Применяем первоедостаточное условие экстремума функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
схемы |
(рис. |
|
|
4.54) |
|
|
следует, |
что |
на |
|
интервалах |
(−∞ ; 2) |
|
(+∞8; |
|
) функциявозрастает, на интервале (2;8) |
убывает. |
В точке x = −1 экстремума нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка x = 8 является точкой минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим y |
|
(8) = |
|
1 |
|
93 |
|
= |
81 |
, следовательно, P |
8; |
81 |
|
. |
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 62 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
Точка x = 2 – точка разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дифференцируя дважды данную функцию, получим |
|
|
|
|
|
1 |
( |
2 |
( |
|
)( |
− 8 |
) |
+ |
( |
|
|
|
)2 )( |
x |
− 2 |
)3 |
− |
( |
)2 ( |
x − 8 |
) |
3 |
( |
x − |
2 |
)2 |
|
|
y′′ = |
|
|
|
x +1 x |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( |
|
|
)( |
|
|
|
)( |
x − 2 |
)3 |
− |
3 |
( |
x |
)2 |
( |
x − 8 |
)( |
x − 2 |
)2 |
|
= |
|
|
x +1 3x −15 |
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
3 |
( |
x + |
)( |
|
)2 |
( x − 5)( x − 2) − ( x |
+ 1)( x − 8) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
( x +1) |
|
18 = |
27 |
|
( x +1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ( x − 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( x − 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критические точки второго рода: |
x1 = −1, x2 = 2. |
|
|
|
Исследуем знак второй производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.55 |
|
Из схемы (рис. 4.55) |
следует, |
что на интервале (−∞ −; 1) |
кривая выпукла, на (−1; 2) |
(2;+∞ ) |
вогнута. |
x = −1 является абсциссой точки перегиба.
Находим yпер (−1) = 0, следовательно, P2 (−1;0) – точка пе-
региба совпадает с точкой пересечения кривой с осью ОX. 7. Находим асимптоты кривой.
x = 2 – вертикальная асимптота, так как
|
1 |
( |
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( |
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x +1 |
= +∞ |
|
, |
|
lim |
|
|
x +1 |
|
= +∞ . (§6, рис. 4.44). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ +2 0 4 ( x − 2)2 |
|
|
|
|
x→ −2 0 4 ( x − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем наклонные асимптоты: |
|
y = kx + b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
1 |
( |
x |
|
)3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k = lim |
|
|
|
= lim |
|
|
+1 |
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x − 2) |
2 |
x |
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
x |
|
→±∞x |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x +1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− x +1 |
|
|
|
b = lim [ f ( x) − kx] = lim |
1 |
|
|
− |
1 |
x |
= |
1 |
lim |
7x |
|
= |
7 |
. |
|
|
( |
|
)2 |
|
|
( |
|
|
|
)2 |
|
|
x→±∞ |
→±∞x |
4 |
x − 2 |
|
4 |
→±∞4 x |
x − 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуемая кривая имеет наклонную асимптоту:
y = 1 x + 7 . 4 4
График функции представлен на рис. 4.56.
Рис. 4.56
Задача 3. Исследовать функцию
1
y = e x −1
и построить её график.
Решение
1. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки x =1 , в которой функция терпит разрыв, т.е. x −( ∞ ;1) +∞(1; ) .
2. Точек пересечения с осью ОX нет. Найдем точки пересечения кривой с осью ОY. Положив x = 0 , находим, что кривая
пересекает ось ординат в точке y (0) = e−1 .
Таким образом, P (0;e−1 ) |
– точка пересечения кривой |
1 |
|
сосью ОY.
3.Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является четной или нечетной, поэтому ни центральной, ни осевой симметрией она не обладает.
4.Исследуемая функция непериодическая.
5.Найдем первую производную функции:
|
|
|
1 |
1 |
|
|
y′ = − |
|
|
e |
x−1 |
|
|
( |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
Критические точки I рода: x = 1 .
Рис. 4.57
Из схемы (рис. 4.57) следует, что функция убывает всюду, где она определена.
Точек экстремума нет.
6. Найдем вторую производную функции:
|
( |
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
Критические точки второго рода: |
x = |
1 |
, |
x =1 . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
