книги / Методы и средства цифровой обработки пространственно-временных сигналов

Ив анализа (9 )—(10)

видно, что необходимое для вычисления

V -мерною

Н -преобразования количество одномерных

И-преобразований

в новом алгоритме в \)

раз мс ;ьгае, чем

в ''строчно-столбцовых” .

применима к таким К -пре­

Заметим,

что данная методика

образованиям,

как преобразования Гогеибауэра

6{<Ю!Х> 3 Харт­

ли С115(<Ш/Х>) -

/< Ш/Х>) + 5СП (< Ш/Х >)

сфероидальное

Т"

'Ш1Х>

и т .д .

разделимым ДПХ, у

которого

Н(аСуП) =Д С115 (Х-с П^)

7

реализация которой

требует

2 сложения ^каж дую спектра**ъную

точку. В свою очередь, разделимое ДПХ просто связано с

ДПФ.

объектов в последовательности двумерных кадров

Ь)И € [0,Т ] I , где

т - время наблюдения,

](Х 1, Х&, I ): Я — Ьр (Яд , П)

Оказывается, что спектр Харт­

торой полностью

определяются вектором скорости

объекта.

Предположим,

что изображение

1(^1)

движется как

единое целое, т.

е. ^(Л)уXр , (.) =!/(Х/- ИI,

- ]/рС) , где

где У• (?,,% ),

-векторы скоростей

объекта и фона

относительно датчика изображения, Л(Х/9Хг ) -

характеристи­

* а)0) - Ши),,ш2) дщУ,

]*

ф(ю,,и)&) &(и)М+'°А+ш0) ] ,

(12)

где

н* " - символ обобщенной свертки

Хартли.

Первое и второе слагаемые (12) представляют собой трехмер­

го

слагаемого перейдем от двумерных изображений к одномерным.

Тогда

Р(и),,ш0) = М(и),) д(и), V+и)а)Щ ц),$ (Щ *и)0) -

_л/?<М*ац

зШ & А ш м + и ъ )]

( У, - Щ)

Х(и),Ы,но0)

_

I (и),У, -нд0)\ з1п[X М гМ У г^ п )

<13)

\У, + М,1

Х(и),иг

ш0)

>

где

ы - размер объекта.

Анализ выражений (П )-(1 2 )

показывает,

что спектры объекта

на

(главные

лепестки пары функций 5Ш.Х/Х) п нулевые

значения

на

линиях,

параллельных ей (нули функций 31/1X1X

) . Основная

двух футадай. Таким образом,

линия скорости объекта выделяет-

-

13 -

УДК 621.391

В.В. Латышев (Московский

авиационный институт)

но уменьшить трудоемкость

задачи привязки. Рассмотрим это на

примере

приведенной в

[ I ]

задачи оценки плоскопараллельного

сдвига одного изображения относительно другого.

Пусть на некоторой прямоугольной области

В

задана

не­

прерывная функция

3(Х, ф

В дискретном виде она

представля­

ет собой матрицу

5 =

у ^ 58/, . . . , /1;/=/,..■,N

Назовем

5

опорным изображением. Второе изображение -

на­

блюдаемое,

имеет

меньшие размеры

Ж

^

и представляет собой прямоугольный дискретный аналог

час­

ти

5 (х

. н о меньших,

чем

В

размеров, вмещен­

ной от начала координат на величину

И^6-и

вдоль оси X и

на

вдоль

оси

^

Необходимо по

наблюдаемому изобра­

жению «2?

оценить

В.

*и

V' .

Матрицы

^

и

^

при

отсутствии

искажений представля­

но использовать

не

элементы матрицы

1

,

а компоненты линей­

но

связанного с

ней

вектора

(1

небольшой размерности

Н

В качестве оператора понижения размерности рассмотрим ли­

нейный проектор

^

а , = 1 1 2 п

г?:

и

(I)

преобразующий

%

в

вектор

(1 ^

с

помощью набора

орто-

нормированиых базисных матриц

Оставляя пока в стороне выбор матриц

, ^рассмотрим

принципиальную возможность построения оценок

Ч и

и на

основе

вектора

0.

Ч

о

при изменениях координат смещения

и

в пределах

* Ч1Г

будут меняться и вычисляемые по формуле

(I)

величи­

ны

^

(Ц. , У)

,

что можно рассматривать

как параметричес­

кое

задание

некоторой

поверхности

в

Н -мерном пространстве

! Г

:риэнаков. Допустим,

что

в рассматриваемой

области

поверхности

(соответствующей

&и л&у-. нет

тат* называемых крат-

•15 -

ных точек

[3 ]

, т .ё .

точек, соответствующих

сразу двум паром

((/,1/})

^ )

. Возможность^построения

обратного

преобразова­

ния точек

поверхности

в

й

в искомые координаты

Ч

V

определяется

следующей теоремой.

3

Теорема

I,

Предположим: I)

матрица

является

дис­

кретным представлением функции

5 (X, у)

, непрерывной в об­

ласти определения

В

;

2)

в

этой области существуют и не­

прерывны

частные

производные

5(Х} I})

по аргументам I

и

3) для каждого

I =

И

существует хотя

бы один

определитель вида

ип

_ _

IV

Л&

ди

ди

I

точке /4

,г

• Тогда

в

окрест­

отличный от нуля в некоторой

, К

ности точки

ЙИ

с

координатами 11

-Н>1

существуют однозначные функции

(1 =/ц (0п ..., 0И

л

шими.

как найти преобразования Ч - /(,({/г .. 0и)7

Рассмотрим теперь,

Оу)* Общий

ПОДХОД К ПОСТрООНИЮ фуНКЦИЙ Т(/ И /у

построения

точных фушвдй $ и $

проще получить их

аппроксимации в каком-либо единообразном виде,

например в фор-

мо полиномов

и а

, ) - / ,

( 2)

коэффициенты которых определяются по матрице

О

где

6*(11)

-

производная по

11

функции

6(11)

смещения

оценки;

1(11)

-

информация по Фишеру об оцениваемом парамет­

ре

(1

, содержащаяся в предъявляемой матрице

%

. Для па­

раметра

ТУ потенциальная точность оценивает я аналогично со

своими функциями

6(1У)

и

К Ю -

Что касается функции смещения, ее нетрудно найти, как

6(11)-и

*

Расчет же фишеровокой информации следует

вести исходя из того, что

оценка

И

производится по векто­

ру

I1 . При переходе

от

Ж

к

И

вое :ожна потеря этой ин­

формации. Оценим эти

потери.

Под

%

далее

подразумевается вектор-отолбец

у=/7)/1', построенный из матрицы

%

размещением ее

столбцов

один под другим. Допустим,

что

%

искажается

нормальной

риационной матрицей

К/

#

= $т+ ^

, где

]г

- вектор

помехи,

$т

- дискретный фрагмент

3(Х, у)

,

Линейное пре­

образование

(I )

еашшем

в векторном виде

,

(5).

где й

-

матрица

преобразования, отроки которой являются

транспонированными векторами

6 =

А'

. построенными

так же,

как и

3?

из соответствующих базионык ортонормиро­

ванию: матриц ( I ) .

Используя результаты,

изложенные в [ б ] по

расчету фишеров­

,

(б)

где

IV ^ -

симметричный квадратный корень да матрицы,обрат­

ной к IV, П

У

®

|

5' т $ т

Подставляя

(6)

в

( 4 ) ,

получаем нижнюю границу для диспер­

сии

оценки параметра

(1

. Для параметра

V расчеты анало­

гичны.

Вернемся теперь

к вопросу о выборе базисных матриц в (I)

или

матрицы

й

в

(6 ).

Из сказанного

в^пе ясно, что для

мума в том

случае,

когда

Ън

образуют набор из И

ортонормированных

собственных векторов матрицы

д

,

соответ­

ствующих ее

наибольшим собстг^нньм значениям

X^

.

При этом

тахИгп ...}

= 1 л?

И

\лГ*к\лГгк

\л/-'

следует,

С другой стороны, из равенства

ку

ку

=Уу

что след матрицы

0

имеет вид

1гЗ = Д ( $ ‘Т)ТМ ~ % Ш Г

Кроме

того,

а г

1Г=1Х 1*... *Ап

Отсюда получаем, что при

указанном

выборе

векторов

7,,...,

имеются минимальные поте­

ри фишеровской информации:

4 1

+

...+Ац

Из сказанного следует,

что нахождение полиноминальных оце­

нок (2) в общем случае заключается в определении матрицы

Я

линейного преобразования (5 ), строками

которой

являются соб­

ственные

ее векторы (9 ). Число их выбирается из

требуемой

точ­

ности оценок. Затем решается задача

минимизации

(3 ).

Это

типич­

ставить

выражения

[и

и

и

<а> , то, дифференцируя резуль­

тат по

величинам

и приравнивая производные к нулю,

получим систему из

П1... ПИ+/

уравнений с такими же числом

неизвестных коэффициентов для ..аздой точки дискретной сетки в

области

Решая эти

системы уравнений,

находим неизвест­

ные коэффициенты полиномов

(2 ). В итоге

оценка

(1 ъ

V

заклю­

чается

в получении

очередного

% ,

преобразовании

его

с

по­

мощью (5) в вектор

0.

и подстановке

координат последнего

в

( 2) .

Видно, что здесь отсутствует проверка статистических гипо­

тез - наиболее трудоемкая

гас-ь известных алгоритмов. Несомнем

ций

Д

и

является достаточно сложной. Однако она про­

водится только один раз, зато

на

стадии оценивания

экономия

вычислений

большая,

если оценка проводится многократно. Так,

если матрица

%

имеет размерность 20*20,

а

3 -40*40,

то при размерности

вектора

Д

, равной 10,

рассмотренный

подход связан с примерно в 40

раз

меньшим объемом вычислений

на I

акт' оценивания.