книги / Сборник задач по подземной гидравлике
..pdfЕсли отбор жидкости не меняется с течением времени, т. е.
то |
Q (0, |
t) = w1со - const, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(х, 0 = рк — (рк — рг) [l — -Щ - J , |
(XII. 15) |
||
Р |
Р*Рн |
где |
|
|
РГШ |
I |
|
|
(XII. 16) |
|
|
а приведенный |
радиус |
влияния, |
|
|
найденный из уравнения мате- |
||
к—l(t) |
х |
риального баланса, определяется |
||
— |
по формуле |
|
(XII. 17) |
|
Рис. 75 |
l(t) = |
у ш . |
||
§ 4. Суперпозиция в задачах упругого режима
Метод суперпозиции (наложения фильтрационных потоков) широко применяется и в задачах неустановившихся течений при упругом режиме.
Если в пласте действует группа скважин, то понижение дав ления в какой-либо точке пласта Д р=рк—Р определяется сло жением понижений давления, создаваемых в этой точке отдель ными скважинами
|
= |
|
|
|
(ХП18) |
где |
число скважин; Q, — дебит /-той |
скважины, |
причем |
||
Q j> 0 , |
если скважина |
эксплуатационная, |
и Q j < 0 , |
если сква |
|
жина |
нагнетательная; |
г, — расстояние от |
центра |
/-той |
сква |
жины до точки, в которой определяется понижение давления. Если скважины начали работать в разное время, то (XII.18)
будет иметь вид |
|
|
|
|
(XII. 19) |
где tj — время, прошедшее |
с начала работы /-той |
скважины. |
Методом суперпозиции |
можно решить задачи, |
связанные |
спуском, остановкой или с изменением темпа добычи сква жины. Пусть, например, скважина была пущена в эксплуатацию
спостоянным дебитом Q и через промежуток времени Т оста новлена. Требуется определить давление в любой точке пласта.
Для решения задачи предположим, что скважина продолжает работать с тем же дебитом; тогда к моменту t после остановки понижение давления в какой-либо точке пласта, вызванное пус ком непрерывно работающей скважины, будет равно
Д/>1 = Ankh { - « [ ■ 4х(Г + 0 ]}■
Допустим мысленно, что в том же месте, где расположена эксплуатационная скважина, в момент остановки начала рабо тать нагнетательная скважина с тем же дебитом. К моменту t повышение давления в какой-либо точке пласта, вызванное пуском нагнетательной скважины, определится по формуле
Др2 = |
[— Ei ( |
|
|
|
|||
F2 |
4лkh \ |
|
\ |
|
|
|
|
Результирующее |
понижение давления |
Ар запишется |
в виде |
||||
Ар = Ару— Др2 = |
• |
|
|
г2 |
1+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4х (Т + О J |
|
|
|
4- Ei |
|
|
|
|
(XII.20) |
|
Если аргументы |
функций |
малы, то |
можно использовать |
||||
приближенную формулу (XII.9), и тогда |
|
|
|
||||
Ар = |
4лкЬ |
In |
{T + i) |
. |
|
(XII.21) |
|
|
и |
|
t |
|
|
v |
|
|
З а д а ч а |
107 |
|
|
|
||
Нефтяная залежь площадью 5 = 500 га и мощностью Л = 30м имеет пористость m = 20% и водонасыщенность ов = 30% •Сколь ко нефти можно отобрать за счет объемного упругого расшире ния жидкости при падении давления от 300 кгс/см2 (29,4 МПа)
до 200 кгс/см2 (19,6 МПа), |
если коэффициент сжимаемости |
нефти рн= 1,53-10-9 м2/Н, а |
коэффициент сжимаемости воды |
рв = 3,06-10-1° м2/Н? |
|
Пласт считать недеформируемым.
Решение. Считая нефть и воду упругими жидкостями, опреде лим изменение объемов, занимаемых нефтью и водой при паде нии давления на Др = 100 кгс/см2 (9,8 МПа):
ДУН= Shm (1 — ств) р„Др,
AVB= 5ЛтаврвДр,
объем вытесненной нефти AVn' равен сумме объемов ДУН+ДУВ
AV'„ = S/im[(l — <тв)р н + оврв] Ар = 500-104-30 0,2 [(1— 0,3) 1.53Х
X Ю- 9 + 0,3-3,06-10-10] 9,8- 10е = 3,42-106 м3.
З а д а ч а 108
Определить упругий запас нефти в замкнутой области нефте носности площадью 4500 га, мощностью /г=15 м, если средне
взвешенное |
пластовое |
давление |
изменилось |
на 50 кгс/см2, |
|||
пористость |
пласта |
т = 18%, коэффициент |
сжимаемости |
нефти |
|||
Р„ = 2,04-10-9 м2/Н, |
насыщенность |
пласта |
связанной |
водой |
|||
ов —20%, коэффициент |
сжимаемости воды |
рв— 4,59-10-10 |
м2/Н, |
||||
коэффициент сжимаемости породы рс = 1,02-10-10 |
м2/Н. |
|
|||||
Ответ: ДК3= 1,35-10е м3. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
З а д а ч а |
109 |
|
|
|
Определить количество нефти, полученное за счет упругого расширения нефти, воды и горной породы, если площадь об ласти нефтеносности SH=1000 га, законтурная вода занимает площадь SB=10000 га, средняя мощность пласта Л = 10 м, пористость пласта т = 25%, водонасыщенность в зоне нефтенос
ности ав= 2 0 %, коэффициенты сжимаемости |
нефти, воды и по |
|||
роды соответственно равны |
|
|
||
Рн = |
6 - 10- 5 |
см2/кгс = |
6,12-10_1° |
м2/Н, |
рв = |
4,2-10- |
5 см2/кгс = 4,28-10-10 м2/Н, |
||
рс = |
2 - 10- 5 |
см2/кгс = |
2,04-10-10 |
м2/Н. |
Пластовое давление снижается от 180 до 80 кгс/см2. Решение. Коэффициент нефтеотдачи за счет упругого рас
ширения определяется как отношение объема нефти, получен
ного за |
счет сжимаемости, к |
первоначальному объему нефти |
|
т] = |
AV/V. |
Начальный объем нефти |
|
|
V = |
SJim (1 — сгв) = 1000-104- 10 •0,25-(1 — 0,2) = 2 - 107 м3. |
|
Объем нефти, вытесняемой из зоны нефтеносности при паде нии давления на Др=100 кгс/см2 за счет сжимаемости нефти и пористой среды, равен
где |
AV' = SHh (1 — <хв) рн Др, |
|
|
|
|
Рн = |
тр н + р с = 0 ,2 5 -6,1 2 - 10- 1 0 + 2,04-10-10 = |
3,57-10- '° м2/Н; |
|
A V = 0,8 -108-3,57• 10- 10 •100-9,8-104 = |
2,8 -105 м3. |
За счет расширения воды и породы в зоне нефтеносности |
||
объём вытесненной нефти составит |
|
|
где |
AV" = SJioB¥>BAp, |
|
|
|
|
р* = |
т р в + р0 = 0,25 •4,28 •10- 10 + 2,04 •10- 10 = |
3,11 •10~ 10 м2/Н; |
|
AV" = 10 7 - 10-0,2-3,11- 1 0 - 10 -9,8- 10е = 0,61 •10Бм3. |
|
Объем нефти, вытесняемой из окружающей зоны водонос ности за счет упругости воды и пласта, равен
AV'" = SJi& Ар = |
1 08- 10-3,11 •1СМ0-9,8-106 = 3,05* Ю6 м3, |
||||||
AV = AV' + AV" + |
AV’" = 2,8- 10б + 0,61 •10б + |
30,5- 10б = |
|||||
|
|
|
|
|
= 33,9-105 м3, |
|
|
|
|
|
AV |
33,9- 10Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
110 |
|
Определить дебит галереи, расположенной в полосообразном |
|||||||
полубесконечном |
пласте |
(см. рис. 74) шириной 5 = 300 м, мощ |
|||||
ностью |
/i=15 |
м, |
с коэффициентом |
проницаемости |
& = 0,8 Д, в |
||
момент |
/ = 2 |
сут |
с начала эксплуатации с постоянным забой |
||||
ным давлением |
рг= 9,8 |
МПа. Начальное пластовое давление |
|||||
рк= 12,74 МПа, коэффициент сжимаемости жидкости и породы равен соответственно рж=1,53-10”9 м2/Н и рс= 0,612• 10- 10м2/Н, коэффициент пористости т = 2 0 %, динамический коэффициент вязкости нефти р,= 1,5 мПа-с.
В пласте имеет место неустановившаяся фильтрация упру гой жидкости по закону Дарси.
Найти дебиты по точной формуле и по формуле, получен ной по методу последовательной смены стационарных со стояний.
Решение. Распределение давления в пласте при неустановившейся параллельно-струйной фильтрации упругой жидкости к прямолинейной галерее при постоянном давлении на забое выражается следующей формулой (точное решение):
р(*> 0 = Рк —(Рк —Рг)(1— e r f ^ = ) ,
где
X
2 Yxt
—интеграл вероятностей. Согласно закону Дарси
X1
4xt |
) |
Рк Рг |
|
т]/7ы ’ |
|
|
21/хГ/х==о |
Поэтому
f\ |
__ k (Рк Рг) Bh |
Чтт |
ni^SS |
^Коэффициент пьезопроводности х в условиях рассматривае
мой задачи равен |
|
|
||||
и = |
k |
_ |
k_______ ____________0,8-1 ,02-10-м _____________ |
|||
рР* |
р («Рж+ Рс) |
1,5-10-» (0,2-1,53-10-» + 0,612-10-1») |
_ |
|||
|
||||||
|
|
|
= 1,48 ма/с. |
|
||
Дебит, определенный по точной формуле, будет |
|
|||||
Q = |
0,8-1,02- 1Q—!» (12,74 |
9,8) •10»-300-15 = |
= |
|||
|
|
|
1,5-10-» 1/3,14-1,48-2-0,864-10» |
|
||
|
|
|
= |
694 м3/сут. |
|
|
По методу последовательной смены стационарных состояний дебит приближенно определяется по формуле для стационар ного режима движения
k (Рк — Рг) Bh
QnpuO
pi (0
где l ( t ) — длина, на которую распространилось бы понижение давления к моменту t, если бы давление в зоне депрессии меня лось по прямой линии; l(t) определяется из условия матери ального баланса при pr= const и равна
I = 21f v t .
Тогда
k(pK — pr)B h __ 0,8-1,02-10—12 (12,74 — 9,8) 10®-300-15
Qnp.,6 — |
р2 "j/x? |
~ |
1,5-Ю-з-21/1,48-2-0,864-10» |
|||||
|
||||||||
|
|
= 7 ,1 2 - 10- 3 |
м3/с = |
615 |
м3/сут. |
|
||
Погрешность |
при |
определении |
дебита по |
приближенной |
||||
формуле составит |
|
|
|
|
|
|
||
|
А = |
~~ Qnp-"6 -100 = 6 |
9 |
4 |
100 = |
11,4%. |
||
|
|
Qxo, |
|
|
694 |
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
111 |
|
|
||
Представить графически изменение во времени давления на забое галереи, проведенной в полосообразном полубесконечном
пласте |
(см. рис. 74), если в |
момент ( = 0 ее начали эксплуати |
||||
ровать |
с постоянным |
дебитом |
Q —500 |
м3/сут. Ширина галереи |
||
В = 400 |
м, мощность |
пласта |
Л = 18 м, |
коэффициент проницае |
||
мости |
k = 0 5 Д, |
коэффициенты |
сжимаемости жидкости рж = |
|||
= 2,04-10-»’ м2/Н |
и породы |
рс= 0,51 •10" 10 м2/Н, коэффициент |
||||
йористостй m = 16%, коэффициен? вязкости жидкости fl—
=3 мПа-с, начальное пластовое давление рк=14,7 МПа.
Впласте имеет место неустановившаяся фильтрация упругой
жидкости по закону Дарси.
Сравнить значение депрессии в момент /= 10 сут, определен ное по точной формуле, с депрессией, найденной по методу последовательной смены стационарных состояний.
Решение. В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение фильтрации упругой жидкости в деформируемой по ристой среде имеет вид
дР |
д2Р |
(XII.22) |
dt |
дх2 |
’ |
а начальное и граничные условия запишутся следующим об
разом: |
|
р (х ,0 )= р к, |
|
|
|
|
|
|
|
|
при ^=0 |
|
Q(x, 0) |
_ 0 . |
|
|
|
||||
|
|
w (х, 0) |
|
|
(X 11.23) |
|||||
|
|
|
|
|
Bh |
|
|
|
|
|
при х = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а,(0, t) = |
|
= w = 0,805-10-6 м/с. |
(X 11.24) |
|||||
|
|
|
Bh |
|
|
|
|
|
|
|
Умножая |
(XII.22) |
на k/\i, |
дифференцируя |
по х |
и учитывая, |
|||||
k |
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что w = ~ |
~ |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
д2р |
k |
|
д*р |
|
|
|
|
|
|
р, |
dxdt |
[i |
X ----- |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх3 |
|
|
|
|||
или, изменяя порядок дифференцирования, |
|
|
|
|||||||
|
|
_д_ / k_ эр_\ = х Л |
|
/ fe |
др \ |
|
||||
|
|
. . |
дх |
) |
дх* |
|
V Р |
дх ) |
’ |
|
т. е. |
|
д* \ Р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dw |
d2w |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(XII.25) |
||||
|
|
|
~дГ ~ |
дх* |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение теплопроводности (XII.25) совпадает с уравне-
нием (XII.22), и начальным и граничным условиями |
являются: |
|||
при / = |
0 w (х, 0) = |
0, |
(ХН.26) |
|
при х = 0 w(0, t) - |
w1= const. |
(ХИ.27) |
||
Решением уравнения |
(XII.25) |
при |
условиях |
(XII.26) и |
(XII.27) является интеграл вероятности |
|
|
||
|
|
X |
|
|
|
|
2 У~*Л |
(XI1.28) |
|
w(x, 0 = »Д |
1 — — |
| |
е— du |
|
Для того, чтобы найти закон изменения давления, необхо* димо проинтегрировать по х уравнение
|
|
|
|
|
X |
|
|
k |
др |
= w = |
w11 1 ------- 1 =7- |
Г |
е_ “‘ du I; |
||
— |
|
||||||
|i |
дх |
Ч |
У я |
J |
|
” |
|
ц |
|
||||||
при фиксированном t: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
Ух/ |
|
|
|
|
|
|
|
.f |
' - ‘ ■‘" ‘ Г |
- |
|
|
|
д: 2 |
]Лс/ |
|
|
(XII.29) |
|
|
= wxx — |
~ = J |
J е- "2dudx. |
|||
|
|
|
о |
о |
|
|
|
Возьмем по частям интеграл
х
х 2 Vnt
j* J е~“2dudx.
оо
Обозначим
|
|
|
t / |
= |
2 1х/ |
eru~du, |
F = |
x, |
|
|
|||
|
|
|
|
j |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я / |
= |
e |
’ 4x< |
. 4 - , |
^ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2l/x< |
|
|
|
|
|
||
x 2 VxT |
|
|
|
|
2 /хГ |
|
|
x |
x |
__ x*_ |
|
||
j |
j e~ w2 сУ |
а: = |
л: |
j* |
|
e~ u2 du | |
^Л ш |
xdx |
|||||
o |
o |
|
|
|
|
b |
|
|
о - |
i0 |
|
2 |
у * ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 F"xT |
e_w2 da — Y%t ( 1 |
— e |
* * ) . |
(XII.30) |
|||||||
|
= |
* |
j* |
|
|||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив |
(XII.30) в |
(XII.29), получим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[■ |
|
2 |
|
Vxt |
|
|
P(x.t) — p ( ° > Q = J3f L |
|
|
j |
e - “* du + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
||
в _ Л _ е г Ц + |
i |
1 - е~^ |
|
"j/я |
£ )' |
||
|
где
x .
1 = 2УхГ ’
9 2 V*t
erf 1 = —4=. f e -“2da. V " 0J
Устремляя X-+ CQ и учитывая, что при этом erf£-»-l,
|
|
e-s2-> О, |
|
|
|
JL |
X |
= 2 y ^ t , |
|
|
I |
г |
|
|
|
|
p{x,t) = |
PH, |
|
найдем депрессию в любой момент времени |
||||
|
у» — р( 0, 0 = |
/г У я |
|
|
|
|
|
|
|
и давление на забое галереи |
|
|
||
|
Рг — Р (0, t) = PK- |
\iwv 2~\/y.t |
||
|
k~l/n |
|||
|
|
|
||
Подсчитаем коэффициент пьезопроводности |
||||
k |
|
0,5-1,02-10-12 |
= 0,45 м2/с |
|
и = |
3-10-2 (0,16-2,04.10-» + |
|||
Илфж + Рс) |
0,51.10-1°) |
|||
и постоянную величину |
|
|
|
|
ц аугУ х - |
_ 3.10-2.0,805-10-« 2 У М 5 |
= 3600 Па-с-1''2. |
||
kУя |
0,5.1,02.10—12У з ,14 |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
р(0, 0 = |
14,7 — 0,0036 У ^ , МПа. |
||
Задаваясь различными t, найдем р(0, t)= p r(t) и результаты поместим в табл. 15.
График зависимости р,- от / приведен на рис. 76. Определим депрессию по методу последовательной сменьг
стационарных состояний через / = 1 0 сут после начала отбора. Согласно этому методу депрессия находится по формуле дебита галереи при установившейся фильтрации по закону Дарси,.
138
а под |
l(t) |
понимается длина возмущенной области, которая |
||
при постоянном отборе равна |
|
|||
|
|
l(t) = У 2%t = 1 /2 -0,45 -0,864- 10е = 882 |
м, |
|
Pit'- |
Рг |
Qpl (() |
_________ 500-3-Ю-з-882_________ |
= 4,16 МПа. |
|
|
kBh |
~ 0,864-105.0,5-1,02-10-13.400.18 |
|
Соответствующая депрессия, определенная по точной фор муле (см. табл. 15), равна
(Рк — Л)Точ = 3,35 МПа.
Погрешность
д __ 1(Рк |
Рг)точ |
(п’< Рг)пр 1 |
13,35 — 4,16 i |
= 0,243 - 24,3%. |
|
(Рк Рг)точ |
3,35 |
||
|
|
|||
|
|
З а д а ч а |
112 |
|
Найти распределение давления в полосообразном полубес- |
||||
конечном |
пласте |
в момент ^ = 15 сут с начала отбора, если |
||
в пласте имеет место приток упругой жидкости к дренажной галерее при условии постоянного отбора Q = 100 м3/сут; длина
галереи В = 250 м; |
мощность пласта h= 10 м, коэффициент про |
ницаемости k = 400 |
мД, коэффициент сжимаемости пористой |
среды рс= 0,306-10~10 |
м2/Н, коэффициент сжимаемости жидко |
||||
сти (Зж = 4,59-10~ 10 |
м2/Н, динамический |
коэффициент вязкости |
|||
|i=1,2 мПа-с, коэффициент |
пористости |
т = 1 5 % , |
начальное |
||
пластовое давление |
по |
=11,76 МПа (120 кгс/см2). |
последова |
||
Задачу решить |
точной |
формуле, |
по методу |
||
тельной смены стационарных состояний и по методу А. М. Пирвердяна
Решение. В задаче 111 выведена точная формула |
для |
раз |
||||||||||
ности давлений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
„(*, 0 _ р( 0, о - |
X\lW 1 |
|
- |
, |
(ХП.31) |
||||||
|
- 2= - ( l - e r f 5 |
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
Е_____±___• |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
21/хГ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erf I |
= —7 = f е_ “2du\ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V я i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (0, Q_ _ |
_Q_ _ const- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
Bft |
|
Bh |
|
|
|
|
Из этой формулы давление на забое галереи равно |
|
|||||||||||
|
|
|
ft = p |
( 0 , 0 |
- A |
, - e b ^ |
|
(XII.32) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k ул |
|
|
|
|
Подставив |
(XII.32) |
в |
(XII.31), получим |
|
|
|
|
|||||
|
|
p{x,t) = pK— |
Ixw±x |
|
|
|
|
(XII.33) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим |
постоянные множители: |
|
|
|
|
|||||||
щр, |
_ |
p,Q |
________ 1,2-10—3•100 |
= |
1362 Па/м, |
|||||||
k |
|
kBh |
|
|
|
|
|
|||||
|
0,864-105-0,4 -1,02-10—12-250-10 |
|
|
|
||||||||
% — |
k |
|
|
|
|
0,4-1.02-10—12 |
|
|
= 3 ,4 2 м 2/сг |
|||
|
|
|
1,2-Ю -з (0,15-4,59.10-1»+ 0,306-10-1») |
|||||||||
М ^Р ж -гР с) |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
= 2,37* 10—4 м -1, |
|
|||
|
2 y * t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
21/3,42-15-0,864.10» |
|
|
|
|
||||||
при этом |
| = 2,37-1 0- 4 х . |
|
подсчитаем |
р ( х ) при |
/= 1 5 |
сут. |
||||||
Задаваясь |
различными х , |
|||||||||||
Результаты расчетов |
по |
точной |
формуле |
(XII.33) |
приведены |
|||||||
в табл. |
16 и представлены на рис. 77 (кривая 1). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
16 |
|
X, м |
|
|
1362 |
л:, |
|
6 |
|
erf g |
|
|
e -S 2 |
|
|
|
Па |
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
i |
|
2-102 |
|
|
0,272 |
0,0474 |
|
0,0530 |
2,247-Ю -3 |
0,998 |
||||
5-102 |
|
|
0,681 |
|
0,1185 |
|
0,1330 |
1,404-10-2 |
0,986 |
|||
103 |
|
|
1,362 |
0,2370 |
|
0,2625 |
0,0562 |
0,945 |
||||
2-103 |
|
|
2,720 |
0,4740 |
|
0,4973 |
0,2247 |
0,798 |
||||
3 -103 |
|
|
4,090 |
0,7110 |
|
0,6854 |
0,5050 |
0,603 |
||||
5 -IQ3 |
|
|
6,810 |
1,1850 |
|
0,9062 |
1,404 |
|
0,245 |
|||