книги / Основы механики глубокого бурения

Очевидно, что pgF является погонным весом БК (весом еди­ ницы ее длины). Обозначив этот параметр через q = рgF, оконча­ тельно имеем:

d2u _ fs -q

(9.4)

dx2 EF •

Граничные условия:

1. x = 0:EF%- = cu. dx

2. x = H :E F^ = -P. dx

В предположении постоянства по длине бурильной колонны сил сопротивления (параметр fs = const) задача (9.4) легко реша­ ется, а ее решение записывается как

Согласно соотношению (2.4) осевое усилие в произвольном поперечном сечении колонны с учетом соотношения (9.5) будет

Обратимся к формуле (9.6) и изобразим изменение осевого усилия в текущем сечении БК N(x) (рис. 9.4). Найдем координа­ ту х0 сечения, в котором осевое усилие N(XQ) = 0. Это сечение называется нейтральным сечением. Выше этого сечения колонна испытывает растягивающие напряжения (на рис. 9.4 эта часть эпюры N(x) обозначена символом «+»), а ниже - сжимающие (эта часть эпюры обозначена символом «-»). Длина сжатой части БК обозначена буквой L. Согласно (9.6) имеем, что

Nt,xo) = (q - fs) ( H - x o)-P = 0,

откуда

(9.7)

*°= н - г т q-Js

Далее имеем, что

91

Рис. 9.4. Изменение продольных усилий по длине бурильной колонны

Но разность Н - хо = L есть не что иное, как длина сжатого участка БК. Следовательно, формула (9.8) говорит о том, что величина осевой нагрузки на долото численно равна весу сжа­ того участка бурильной колонны за вычетом силы сопротивления, дейст­ вующей на этот участок. Если сила сопротивления движению участка в вертикальном направлении мала (fs ~ ~ 0, что, например, может иметь место при бурении с продувкой воздухом), то осевая нагрузка создается фактиче­ ски весом сжатого участка колонны. Если же учитывать согласно закону Архимеда выталкивающее действие бурового раствора, то с учетом ра­ венств q = рgF и fs = рyggF, где р и рж соответственно плотности материала БК и бурового раствора, то из (9.8) получим:

(9.9)

Заметим, что при учёте только трения БК о стенки скважины параметр fs имеет знак, противоположный знаку скорости дви­ жения контактирующего участка колонны (в наиболее общем случае он может описываться весьма сложными функциональ­ ными зависимостями).

Рассмотренный сейчас случай соответствует состоянию БК, находящейся в вертикальной скважине, в случае равномерного вращения любого ее поперечного сечения по всей глубине сква­ жины (здесь можно говорить об устойчивости вращения бу­ рильной колонны). Предполагается, что осевая нагрузка на доло­ то Р является постоянной во времени величиной. В действитель­ ности из-за взаимодействия породоразрушающих элементов до­ лота с забоем она не будет постоянной, однако при нормальных режимах бурения (отсутствие разного рода интенсивных вибра­ ций, которые будут рассмотрены ниже) можно считать, что от­ клонения значений осевой нагрузки от номинального значения

92

во времени незначительны и при оценочных расчётах их можно во внимание не принимать.

Теперь рассмотрим задачу определения глубины, на которой произошел прихват БК (вид осложнения, когда в процессе про­ водки скважины на некотором ее участке происходит обвал гор­ ной породы и колонна в этом месте заклинивается). Расчетная схема этой задачи показана на рис. 9.5.

Пусть в скважине глубиной Я произошел прихват БК на не­ которой глубине х„. Необходимо определить глубину прихвата при условии, что на устье скважины (х = 0) имеется возмож­ ность замера перемещения верхнего торца колонны Ди и верти­ кального усилия N. В условиях прихвата считаем, что сечение колонны с координатой х„ закреплено неподвижно.

Вычислим теперь абсолютную деформацию БК при нахожде­ нии ее в вертикальной скважине. Из формулы (9.5) следует, что

Рис. 9.5. К определению глубины прихвата бурильной колонны

значения и(х) соответственно на устье скважины и на забое имеют вид:

В нашем случае согласно (9.10) при приложении растяги­ вающего усилия М к верхнему торцу он переместится в верти­ кальном направлении на величину

Л и № ) = ( й ^ к - Р , ) - § .

Здесь Л - сила реакции, приложенной к поперечному сече­ нию в зоне прихвата (см. рис. 9.5).

Аналогично в случае значения силы N = N2 получим, что пе­ ремещение верхнего торца будет

Очевидно, что разность Аи„ этих перемещений будет

Ди„ = Ди{Р2) - Д«(Р0.

Подставив сюда полученные значения перемещений, получим:

где АР= P i- Р2.

Теперь обратимся к формуле (9.6). Поскольку усилия Nxи N2 (так же, как и величину Аип) на устье скважины можно замерять, то положив в (9.6) Н —х = х„, имеем:

94

Лекция 10

ПОНЯТИЕ О МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Сейчас мы приступаем к рассмотрению «патологических» си­ туаций, возникающих (и причём довольно часто) в ходе бурения скважин. Одна из таких ситуаций, а именно крутильные автоко­ лебания БК, была рассмотрена выше в лекции б, а влияние этого вида колебаний на процесс углубления забоя - в лекции 8. В дальнейшем нами будут рассмотрены случаи возникновения ин­ тенсивных продольных вибраций БК и последствия, ими вызы­ ваемые. Однако для того, чтобы глубже постигнуть суть данных явлений, необходимо проанализировать некоторые свойства ме­ ханических систем, которые понадобятся в дальнейшем.

Обратимся к рис. 10.1, в верхней части которого изображено абсолютно жесткое тело массой т, лежащее на основании и со­ единённое с неподвижной преградой посредством пружины, имеющей коэффициент упругости k. В нижней части рисунка показан стержень длиной / с постоянной по длине площадью по­ перечного сечения F, материал которого имеет модуль Юнга Е. Стержень также лежит на аналогичном основании, причём один его торец соединён с преградой абсолютно жёстко, а второй сво­ боден. Пусть к телу массой т и к свободному торцу стержня приложена сила Q в направлении координатной оси Ох, начало которой связано с неподвижной преградой. Рассмотрим переме­ щения тел в том и другом случаях в предположении, что между основаниями и контактирующими с ними поверхностями тел трение отсутствует.

В первом случае из условия равновесия находим величину перемещения тела хо как

0=f -

Поскольку любая точка абсолютно жёсткого тела переместит­ ся на одинаковую величину хо, то для описания перемещения тела (любой его точки) необходима в данном случае только одна

96

ниями). Далее, вбив ещё четыре «гвоздя», получим восемь участ­ ков, которые вновь имеют независимые друг от друга переме­ щения. Повторяя указанную процедуру, можно заметить, что число «гвоздей» будет стремиться к бесконечности (теорети­ чески «гвозди» имеют бесконечно малый диаметр). Следователь­ но, механическая система с распределёнными параметрами имеет бесконечно большое число степеней свободы. Чем же характеризует число степеней свободы рассматриваемые нами механические системы? Чтобы ответить на этот вопрос проана­ лизируем поведение механических систем, изображённых на рис. 1 0 .2 .

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В этом случае уравнение движения массы тп\запишется как

мени £.

Установившееся решение уравнения (10.1) ищем в виде

х = i4sin©(.

Подставив это выражение в исходное уравнение найдём ам­ плитуду колебаний массы mi.

Очевидно, что при © = ©i мы имеем случай резонанса (знак «+» или « -» перед значением частоты роли не играет). Отсюда следует, что механическая система с одной степенью свободы имеет одно значение резонансной частоты.

100