книги / Основы механики глубокого бурения

имеет выражение Avx * 0 (удар долота о породу вдоль оси х). Рассмотрим теперь некоторые случаи.

Случай k = 0. В этом случае со, = 0, что говорит об отсутствии крутильных колебаний. Согласно формуле (13.5) имеем, что

Рпр 1

*;<$)= 7

2а(ап П ? ’

а потому Нт * '( £ ) - » -оо, и, следовательно, соотношения (13.7)

дают:

Дьу = 0, Avx = а, - v2.

Следовательно, как в верхнем (Е, = 1) так и в нижнем (Е, = -1) положениях венца вертикальный удар отсутствует, а удары в го­ ризонтальном направлении (Avx * 0) при наличии волнистого забоя будут сбивать забойные волны.

Итак, при отсутствии крутильных колебаний волнистый за­ бой будет разрушаться.

Случай k = 1. В этом случае щ* = со,,, что говорит о равенстве частот крутильных и продольных колебаний. Согласно (13.5) получаем

% sin (a rcco s^ -P )--f

Полученное соотношение с учётом того, что

sin (arccos£ - Р) = sin arccos £ •cos Р- cos arccos E3•sin P =

= y[l-E? •cosP- ^ •sinp,

преобразовывается к виду:

Пусть между кинематическими параметрами выполнено соот­ ношение

Ф0сол sinp = щ.

131

В этом случае

< © = £ ( < f t ,c ° s p - a | i| ) .

Рассмотрим нижнее положение венца. В этом случае 4 = -1 и х '( - 1) запишется

Av - , Ъ-.Ъ + 'й

У yj 4а1+ Фо D2 cos2 р

Av _ %DCOS$ (V2- Vx)

(13.8)

Х^4а2 + сро£52 cos2 Р

со„ sin Р ‘

Из соотношений (13.8) следует, что для устойчивости волни­ стого забоя наиболее выгодным значением разности фаз про­ дольных и крутильных колебаний будет р = п/2. В этом случае Avy = vi + i>2. Avx = 0 и во впадинах удар будет производиться в строго вертикальном направлении (на рис. 13.2 угол а = 0), а в горизонтальном направлении (вдоль оси х) составляющая удара равна нулю и забойные волны сбиваться не будут, в то время как впадины будут углубляться в силу вертикальных ударов. Вели­ чина же угловой амплитуды крутильных колебаний в данном случае запишется как

lim х'у(£) - » 00 , откуда Avy = 0, Avx = v\+ v2, причём в силу плав­

ности траектории разница Avx мала. Поэтому, как вертикальный, так и горизонтальный удары отсутствуют, то есть вершины за­ бойных волн в данной ситуации будут наиболее устойчивы к разрушению.

Итак, кинематический анализ показал, что для формирова­ ния устойчивого волнистого забоя необходимо значение k = 1 ,

132

то есть совпадение крутильной и продольной частот: = со^. К такому же выводу мы пришли и в лекции 11 при анализе ав­ токолебаний БК. Установленный факт позволяет с большой до­ лей уверенности сказать, что рассмотренная картина работы до­ лота в режиме автоколебаний БК соответствует действительному положению вещей.

Наконец, в заключение настоящей лекции необходимо кос­ нуться вопроса взаимосвязи между геометрическими параметра­ ми волнистого забоя и кинематики долота [1, 2, 3]. Дело в том, что довольно часто при исследованиях низкочастотных продоль­ ных (так называемых «грунтовых») колебаний бурильной колон­ ны профиль развертки периферийного участка забоя, как прави­ ло, отождествляется с траекторией центра периферийного венца шарошки, что можно делать далеко не всегда.

Обратимся к рис. 13.3, где в верхней части показан процесс перемещения окружности радиуса R с центром в точке О по профилю, задаваемому функцией у = F(x) (см. рис. 13.3, поз. 1). Угловая скорость вращения окружности обозначена через лш, а траектория движения центра Оизображена прерывистой линией, уравнение которой дано некоторой зависимостью Y= F0(X). При этом оси координат хОу и X0Y совпадают. Представленная рас­ четная схема отражает процесс перемещения периферийного венца шарошки по забою скважины; участок профиля забоя, со­ ответствующего данному венцу, представлен в виде развертки. Очевидно, что зная закон движения этого венца, можно описать и движение долота. Для этого необходимо найти взаимосвязь между функциями у = F(x) и Y = FQ(X), поскольку тогда можно определить при известном законе движения шарошек долота профиль забойных волн, и наоборот - зная профиль забойных волн, оценить траекторию движения шарошек долота. Обозначим через С точку контакта венца с породой. Очевидно, что эта точка является мгновенным центром скоростей. Проведем из центра О в точку С прямую. Прямая ОС будет перпендикулярна касатель­ ной к профилю у = F(x) в точке С. Обозначим через а угол меж­ ду этой касательной и горизонталью. Легко показать, что такой же угол образует с радиусом ОС перпендикуляр, опущенный из точки О на ось (hr. Из рис. 13.3, поз. 1 легко установить связь между х\\ X, у и У:

х -Х =Rsina =R-TM = ,

V 1 + tg2a

Y -y =Rcosa =R- 1

V I + tg2a

133

Памятуя, что производная у‘' = F(x) = tg а, после несложных преобразований получаем:

1 + F\xf

(13.10)

Соотношения (13.10) дают запись траектории центра венца Y = FQ(X) в параметрической форме (параметр .г ) и позволяют найти эту функцию при известном профиле забоя у = F(pc). Легко решается и обратная задача: при известной траектории центра венца Y = FQ(X) определить профиль забоя у = F(x).

Для этого необходимо построить касательную к функции Y= = FQ(X) в центре венца О, угол между которой и горизонталью будет равен а, и провести рассуждения, аналогичные изложен­ ным выше:

х =Х + R F 0 ( X)

(13.11)

y =Y-

Эти формулы представляют в параметрической форме (пара­ метр X) уравнение у = F(x) профиля поверхности забоя скважи­ ны и позволяют найти его при известной траектории движения центра периферийного венца Y= F0(X).

На рис. 13.3, поз. 2 и 3 представлены примеры профилей за­ бойных волн при продольных колебаниях долота (примеры, есте­ ственно, носят качественный характер). Очевидно, что при из­ вестной траектории центра венца профиль забоя является оги­ бающей семейства окружностей радиусом R, центры которых расположены на кривой Y = F0(X)i эта огибающая и находится согласно (13.11).

ЛИТЕРАТУРА

1.Симонов В.В., Юнин Е.К. Влияние колебательных процессов на работу бу­ рильного инструмента. - М : Недра, 1977.

2.Юнин Е.К. Введение в динамику глубокого бурения. - М : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

3.Юнин Е.К., Хегай В.К. Динамика глубокого бурения. - М;: Недра, 2004.

135

Лекция 14

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НИЗКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ

В настоящей лекции мы коснёмся некоторых сторон элемен­ тов теории низкочастотных продольных колебаний БК. Подроб­ ная теория этих явлений содержится в литературе, указанной в лекции 1 1 , а здесь рассмотрим случай простейшей одноразмер­ ной компоновки, которую можно принять эквивалентной прямо­ линейному однородному стержню.

Рассмотрим состояние стержня при воздействии на него осе­ вых нагрузок с учетом инерционных сил. Перемещение попереч­ ного сечения зависит от его местоположения (координата х) и текущего момента времени £, а потому оно является функцией двух независимых переменных величин: и = и(х, £). На рис. 14.1 показан элемент стержня массой Am = р FAx, где р, F и Ах - со­ ответственно плотность материала, площадь поперечного сечения и длина элемента стержня (р и F - постоянные величины). На единицу длины стержня действует сила сопротивления переме­ щению стержня fs и сила его веса Amg, где g - ускорение свобод­ ного падения. Направление движения элемента совпадает с на­ правлением оси х, а потому проектируя силы, действующие на элемент стержня, на ось х согласно второму закону Ньютона имеем:

где N(x, t) и N(x + Ax, t) - нормальные усилия соответственно в верхнем и нижнем сечениях элемента.

Учитывая малость величины Ах, перепишем полученное ра­ венство следующим образом:

A m ^ ^ ^ A x - f s A x + Amg.

Воспользовавшись теперь соотношением (2.4) (лекция 2), по­ делив левую и правую части полученного данного равенства на

136

Уравнение (14.1) - волновое уравнение, описывающее дина­ мику продольных возмущений, распространяющихся вдоль стержня.

А теперь рассмотрим математическую модель продольных колебаний стержня, эквивалентного простейшей компоновке БК. Для простоты примем диссипативный член / в уравнении (14.1) равным нулю, что, однако, не скажется на полученных выводах. Граничные условия задачи даются соотношениями (9.1) (забой) и (9.2) (устье скважины), которые получены в лекции 9.

Запишем осевое усилие P(f), приложенное к долоту, в виде

где первое слагаемое Рс = const - постоянная составляющая (так называемая статическая составляющая) осевой нагрузки на до­ лото, а второе слагаемое - динамическая составляющая нагруз­ ки, принятая изменяющейся по гармоническому закону. В даль­ нейшем будет рассматриваться установившийся режим колеба­ ний бурильной колонны, а потому начальные условия не требу­ ются.

Исходная задача записывается следующим образом:

Э2ц

(14.3)

Эе2

Граничные условия:

1. x = 0:EF^. = cu-,

дх

2. х = Н: EF = ~(РС+ Р0sin cot).

Рассмотрим состояние покоя БК, а на её нижний торец (до­ лото) действует со стороны забоя осевая нагрузка Р = Рс. В этом случае функция и(х, t) не зависит от времени t и является функ­ цией только х. Обозначив и = щ(рс) и приняв во внимание, что

= 0 и — = 0, перепишем (14.3) как

138

Граничные условия:

1 . х = 0 : £Г^ь=смо; dx

2.х = Н: E F ^ =-PC.

ах

Решение задачи (14.3) легко находится:

Очевидно, что оно полностью совпадает (с точностью до обо­ значений) с уравнением (9.5) при fs = 0 (лекция 9).

Представим искомую функцию перемещения текущего попе­ речного сечения бурильной колонны в произвольный момент времени t в виде суммы смещения щ(х) этого сечения в случае покоя колонны и некоторой функции U(x, t), характеризующей степень отклонения сечения относительно его положения в со­ стоянии покоя:

(146)

После подстановки этой функции в задачу (14.3) и неслож­ ных преобразований получаем:

Граничные условия:

Задача (14.7) описывает вибросостояние БК под действием динамической составляющей осевой нагрузки на долото.

Теперь сделаем замечание следующего рода. Коэффициент упругости крепления верха БК с, а следовательно и параметр h в граничном условии 1 , изменяется от максимального значения в момент начала бурения после наращивания бурильной колонны до минимального значения, когда долото углубилось на величину ведущей трубы. Но изменение во времени этого коэффициента пренебрежимо мало по сравнению со скоростями протекания

139

волновых процессов в бурильной колонне, а потому принимаем его медленно изменяющимся параметром, что позволяет при проведении соответствующих исследований считать его постоян­ ной величиной. Однако на практике определение коэффициента с затруднительно, а потому он принимается изменяющимся от нуля (верх колонны свободен) до бесконечности (абсолютно же­ сткое закрепление верха) [1, 2, 3, 4]. Подобный подход выбран с целью унификации: такое изменение коэффициента c(t) охва­ тывает с точки зрения упругих характеристик все конструкции, служащие для крепления верха бурильной колонны.

Установившееся решение задачи (14.7) ищется в виде

Здесь амплитуда колебаний текущего поперечного сечения БК зависит только от координаты х. Подставив (14.8) в (14.7) и со­ кратив на sin соt полученные равенства, имеем:

Граничные условия:

1.дс = 0: A' = hA\

2.х = Н: А' = -ро.

Решение задачи (14.9) легко находится:

что после подстановки в (14.8) и даст решение задачи (14.7). Условие возникновения продольного резонанса требует ра­

венства нулю знаменателя в выражении для амплитуды А(лг):

t соЯ _ xh

6 к со

(14.11)

140