книги / Основы механики глубокого бурения

Из рис. 2.5, поз. 2 очевидно, что приращение угла ф есть раз­ ность между положением прямой оа, проведенной в направлении радиуса из центра о верхнего сечения элемента, и ее новым по­ ложением, которое она заняла бы в нижнем сечении при непре­ рывном перемещении вдоль оси цилиндра ох, отслеживая при этом текущий угол поворота поперечного сечения. В случае вы­ полнения закона упругости Гука касательное напряжение х свя­ зано с угловой деформацией 0 соотношением

где G - постоянная для данного материала величина, именую­ щаяся модулем сдвига. Она связана с модулем Юнга Е, как G =

, где р - коэффициент Пуассона (отношение поперечной

2(1+ Ю деформации к продольной).

В силу малости угла 0 очевидно, что длина проекции дефор­ мированной образующей (наклонная прямая на рис. 2.5, поз. 2) на нижнее сечение будет равна Дг tg 0 = 0 Ах. С другой стороны длина дуги радиусом г, заключенной в секторе с углом Дф, прак­ тически равна указанной проекции: гДф = 0 Дг. Поделив левую и правую части полученного равенства на Дг и устремив Дг —» О, получим:

Воспользовавшись (2.5) и (2.6), запишем элементарный мо­ мент ДА/ относительно оси стержня, как

ДМ * 2ягДг xr = G ^ 2 nr3dr.

ах

Очевидно, что текущее значение г изменяется от d/2 до D/2.

А тогда, поскольку модуль сдвига G и величина ^ от радиуса г

не зависят, выражение для крутящего момента может быть запи­ сано:

M(x) = G ^ Г 2 nr3dr = GJp^ .

0,5d

22

Лекция 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕ (ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ)

Данная лекция предназначена для выявления некоторых важ­ ных сторон протекания волновых процессов в однородных и со­ ставных стержнях с привлечением элементарного математическо­ го аппарата, что позволяет «прочувствовать» механизм распро­ странения волновых возмущений, являющийся основой материа­ лов, представленных в настоящих лекциях [1, 2, 3].

Получим некоторые соотношения, характеризующие распро­ странение волновых возмущений вдоль стрежня. Для этого обра­ тимся к рис. 3.1, на котором изображен полуограничеиный одно­ родный стержень, в торец которого помещено начало координат­ ной оси х. В момент времени t = 0 к торцу стержня прикладыва­ ется постоянная по величине и направлению сила Р, в результате чего торец начинает поджиматься и двигаться с некоторой по­ стоянной скоростью v„. Через некоторое время t на некотором участке стержня все сечения начинают двигаться со скоростью v„. Обозначим длину этого участка через /о. Очевидно, что к мо­ менту времени t длина участка с движущимися поперечными сечениями /0 = Kt, где к - скорость распространения возмущения по стержню в результате движения торца стержня (х = 0). За­ фиксируем полученную картину (рис. 3.1, поз. 1) в момент вре­ мени t и рассмотрим механику процесса (на рис. 3.1, поз. 1 уча­ сток с движущимися сечениями затенен). При этом заметим, что в случае идеально твердого стержня все его поперечные сечения начали бы двигаться одновременно со скоростью v„, в то время как при упругом стержне более удаленные сечения начинают приходить в движение в более поздний момент времени. С точки зрения энергетического баланса очевидно, что работа силы Р, приложенной к торцу, за время t на участке поджатая А/ пошла, с одной стороны, на создание кинетической энергии участка /0 со скоростью v„, поскольку все сечения этого участка движутся с одинаковой скоростью v„, с другой стороны - на создание потен­

циальной энергии участка /0 в результате его сжатия на величину А/ = v„t.

24

Это можно записать так (уравнение энергетического баланса):

А = К + Л,

где А - работа силы Р на пути А/ за время t; К - кинетическая энергия движущегося участка стержня; П - потенциальная энер­ гия движущегося участка стержня.

Определим величины, входящие в уравнение энергетического баланса. Начнем с вычисления силы Р.

Очевидно, что за время t участок величиной /о поджался си­ лой Р на величину А/. Тогда согласно закону Гука деформация е этого участка запишется, как

с _ А/ _ v„t _ v„

откуда получаем, что [см. соотношение (2.1, лекция 2)]

Здесь F - площадь поперечного сечения стержня, являющаяся постоянной по его длине.

Работа А будет равна:

Поскольку масса участка стержня при свободном его состоя­ нии и в сжатом состоянии не меняется, то кинетическая энергия движущейся части может быть рассмотрена, как кинетическая энергия тела массой М = pF/o (напомним, что р - плотность ма­ териала стержня), движущегося со скоростью vn(рис. 3.1, поз. 2), откуда

Наконец очевидно, что в момент времени t сечение стержня х = /о еще не сдвинулось, то есть его смещение равно нулю. Се­ чение же с любой другой координатой х е [0, /0] в силу равно­ мерного движения со скоростью v„ сдвинется пропорционально координате х, а потому график смещений сечений в зависимости от х описывается линейной функцией (рис. 3.1, поз. 3). Вычис­ лим теперь потенциальную энергию сжатия участка длиной /о-

26

Для этого рассмотрим стержень длиной /0, один торец которого жестко заделан, а второй торец статически поджимается (то есть очень медленно во времени) на величину от нуля до Д/ (рис. 3.1, поз. 4). При этом очевидно, что графики смещений сечений как в движущейся части стержня (рис. 3.1, поз. 3), так и у стержня, нагруженного статически (рис. 3.1, поз. 4), совершенно идентич­ ны, в силу чего и потенциальная энергия П у этих стержней одна и та же. В случае статического нагружения при изменении вели­ чины поджатия свободного торца от нуля до А/ сжимающая сила согласно закону Гука возрастает от нуля до Р. Потенциальная энергия сжатия при этом будет равна работе сжимающей силы на пути величиной Д/, то есть площади заштрихованного прямо­ угольного треугольника на графике (Р, Al) (рис. 3.1, поз. 4):

(3.4)

Подставим полученные значения А, К и П в уравнение энер­ гетического баланса:

что после сокращения левой и правой частей записанного равен­ ства на неравную нулю величину Fvlt и приведения подобных

членов дает: рк2 = Е, откуда

(3.5)

Итак, параметр к является скоростью распространения про­ дольных возмущений вдоль стержня. Следует заметить, что ве­ личины v„ и к существенно различны и их ни в коем случае нельзя путать. Если v„ - скорость возмущения элемента стержня

всоответствующей и неизменной для данного сечения координа­ те х, то к - скорость распространения возмущения вдоль оси х (то есть скорость передачи движения от сечения к сечению; ее иногда именуют скоростью звука в стержне; в случае стального стержня параметр к = 5130 м/с). Эту разницу можно проиллюст­ рировать следующим примером, который, вероятно, наблюдался

вприроде каждым.

Пусть на невозмущённой поверхности (глади) водоёма плава­ ет лёгкое тело и пусть в момент времени £ = 0 на некотором рас­

27

стоянии / от плавающего предмета в воду упал камень. По по­ верхности водоёма начинает двигаться волна возмущения со ско­ ростью Со во все стороны от участка возмущения. Данная ситуа­ ция схематически изображена на рис. 3.2, где точкой О обозначе­ но место падения камня, а плавающее тело изображено в виде затенённого квадрата на расстоянии / от точки О (рис. 3.2, а и 3.2, б).

Проведём через точку О и плавающее тело ось Ох. Сечение возмущённой камнем волны, полученное пересечением её тела плоскостью, проходящей через ось Ох и перпендикулярной по­ верхности водоёма, показано на рис. 3.2, а, где волна длиной L движется со скоростью со вдоль оси Ох. На рис. 3.2, б показан вид сверху движения гребня волны со скоростью с0. Очевидно,

вверх, а затем вниз и после прохождения волны в момент t2сно­ ва наступает покой (на рис. 3.2, а перемещение тела в процессе прохождения волны даётся высотой его подъёма 5 над поверхно­ стью водоёма, а направление движения до прихода и после про­ хождения гребня волны указано стрелками). На рис. 3.2, в изо­ бражён характер зависимости перемещения тела 5(f), которая

Рис. 3.2. Схема распространения волны возмущения по глади водоёма

28

границы а-а раздела двух сред (место состыковки стержней), и мы наблюдаем процесс, изображенный на рис. 3.3, поз. 2: прямая волна (скорость v„) направлена к сечению а-а в сторону возрас­ тания координаты х; отраженная волна (скорость уО направлена от сечения а-а противоположно направлению Ох ; поглощенная волна (скорость vi) направлена от сечения а-а в направлении оси Ох. Очевидно, что процесс отражения будет длиться на от­ резке времени t = Г, где Т - время действия граничного возму­ щения, вызвавшего волну длиной А = К|Г (см. рис. 3.3, поз. 1). Поскольку согласно третьему закону Ньютона, сила Ph дейст­ вующая со стороны первого участка в сечении а-а, равна силе Р2, действующей со стороны второго участка в этом же сечении, а выражения для этих сил с учетом знаков скоростей перемеще­ ний поперечных сечений v,„ vx и V2, как видно из рис. 3.3, поз. 2, записываются, как

р - M S L_ M S L= M ( D - а ) ,

Kj к, к,

_ E2F2V2

Р2 =

то после приравнивания этих сил с учетом противоположности их направлений действия и несложных преобразований получим:

(3.6)

После завершения процесса отражения по первому участку будет распространяться отраженная волна (скорость иО, а по второму - поглощенная (скорость v{)- Эта картина показана на рис. 3.3, поз. 3. Очевидно, что энергия прямой волны (рис. 3.3, поз. 1) пошла на создание энергий отраженной и поглощенной волн (рис. 3.3, поз. 3).

Полная энергия волны состоит из суммы ее кинетической и потенциальной энергий. Выражения для этих составляющих по­ лучены выше [см. формулы (3.3) и (3.4)]. С учетом того, что t = Т, сумму кинетической и потенциальной энергий (то есть полную энергию бегущей волны) легко преобразовать к следую­ щему виду:

30