книги / Основы механики глубокого бурения

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

В этом случае система дифференциальных уравнений, описы­ вающая движения масс тп\и т2, будет:

Установившееся решение системы (10.3) ищем в виде

.г, = Л, sin о)£, дг2 = Л2 sin cot.

После подстановки данных выражений в систему дифферен­ циальных уравнений (10.3), сокращения на sin cot и приведения подобных членов, получаем:

(oof + 0)J2 - ю2)Д - со22 Д = О,

-со2 Л, +(со2 -со2)Д =q0.

Отсюда найдём искомые амплитуды колебаний масс т\и т?.

д= _______________________

ш4 - (ш2 + ю?2 + (фсо2 +о202

(10.4)

2 СО4 - (со1 + ©22 + с^)©2 + ©2©г

Из (10.4) видно, что при значениях квадратов частот возму­ щающей силы

<й]л = \ (со? + со?2 + СО? ± yj ( со? + 0)?2 + со?)2 - 4со?о^)

101

Лекция 11

ПРОДОЛЬНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ

В лекции 6 были рассмотрены крутильные автоколебания БК, которые, как было показано в лекции 8 , весьма негативно сказы­ ваются на процессе бурения, поскольку снижают механическую скорость бурения и способствуют накоплению усталостных на­ пряжений в силу возникновения знакопеременных нагрузок в колонне. Однако, в ряде случаев крутильные автоколебания мо­ гут вызывать интенсивные продольные вибрации БК как при разбуривании неоднородных, так и однородных горных пород. Поскольку этот вид вибраций вызывается именно крутильными автоколебаниями, то в дальнейшем мы будем именовать их про­ дольными автоколебаниями бурильной колонны. Настоящая лекция посвящена выявлению механизма возникновения данного явления.

Проанализируем процесс взаимодействия шарошечного доло­ та с забоем бурящейся скважины [5, 6 ]. Для этого обратимся к рис. 1 1 .1 , на котором схематически изображен процесс взаимо­ действия зубчатого венца шарошки долота с горной породой. Через R на этом рисунке обозначен радиус венца, через ¥ - угол между радиусами, проведенными из центра венца О к вершинам двух соседних зубцов.

Рассмотрим, для простоты, случай недеформируемого забоя. Пусть в начальный момент времени опорным является зубец 1. Тогда центр венца О занимает наивысшее положение над забоем, а расстояние от центра венца до дна лунки равно радиусу венца R (положение 01). Из-за вращения венца (направление враще­ ния венца показано на рис. 1 1 .1 круговой стрелкой) фигура 102 переходит в положение 10'2', и минимально возможное положе­ ние центра венца характеризуется прямой О'В. Очевидно, что расстояние по вертикали между точками О и O' будет равно раз­ ности длин прямых 01 и О'В. Так как угол 102' равен Т, а (УВ является его биссектрисой, то угол 10'В равен 0,5Т. Отсюда по­ лучаем, что О'В = R cos 0,54!. Обозначив расстояние между О и О' через 2А, где символ А является амплитудой высокочастотных

103

Рис. 11.1. Схема процесса взаимодействия зубчатого венца с горной породой

(так называемых «зубцовых») вертикальных колебаний, будем иметь, что

2А = 0i-0'B = R -R -cos у ,

откуда

Формула (11.1) позволяет оценить величину амплитуды вы­ сокочастотных забойных возмущений при взаимодействии зубча­ тых шарошечных долот с забоем скважины. Учитывая, что при малых углах а с достаточной степенью точности справедливо приближенное равенство

cos а = 1 -0 ,5 а 2,

выражение (11.1) при а = 0,5 запишется

Далее, если через Z обозначить число зубцов на периферий­ ном венце шарошки, а через dm- диаметр периферийного венца,

104

мет вид:

(11.3)

Заметим, что выражение (11.3) есть оценка амплитуды по максимуму.

Круговая частота со продольных колебаний долота равна

(11.4)

где i - передаточное отношение шарошки (отношение скорости вращения долота к скорости вращения шарошки), причем в

первом приближении его можно взять равным i = аш где Dd -

диаметр долота; пц - скорость вращения долота, об/мин. Оче­ видно, что максимальная скорость вертикального перемещения долота может быть оценена произведением шА

При равномерном вращении долота пн = п0высокочастотную составляющую вертикальных колебаний долота (нижнего торца БК) можно представить в виде

где А и (Во = со(яо) вычисляются согласно (11.3) и (11.4). Ско­ рость же вертикального перемещения в этом случае будет равна

Пусть теперь имеет место режим крутильных автоколебаний БК (лекция 6 ) с периодом Г, определяемом согласно (6.1). Тогда половину периода долото вращается с максимальной скоростью пн = Ящт, а половину периода - с минимальной пн = птах (см. формулу ( 6 .2 )):

105

что вызывает, как легко установить (см. соотношение ( 1 1 .4 )), периодическое изменение частоты продольных колебаний долота и, следовательно, скорости его продольного перемещения. В этом случае скорость вертикального перемещения запишется как

При этом очевидно, что период изменения названных вели­ чин равен периоду Т. С другой стороны, при развитии крутиль­ ных автоколебаний периодически изменяется механическая ско­ рость бурения v. Оба отмеченных фактора вызывают периодиче­ ское изменение скорости вертикального перемещения нижнего сечения бурильной колонны. А тогда согласно (3.1) (см. лекцию 3) и изменение во времени t осевой нагрузки на долото P(t) бу­ дет так же периодическим с периодом Т. Всё изложенное показа­ но на рис. 1 1 .2 .

Итак, при возникновении крутильных автоколебаний бу­ рильной колонны осевая нагрузка на долото изменяется во

Рис. 11.2. Периодическое изменение осевой нагрузки, вызываемое крутильными автоколебаниями

106

времени периодически с периодом крутильных автоколебаний, что аналитически записывается следующим образом:

Сделаем еще одно очень существенное замечание. Поскольку крутильные автоколебания могут развиваться как в неоднород­ ных, так и в однородных, изотропных породах, то в данном случае пульсация осевой нагрузки на долото происходит неза­ висимо от характера разбуриваемой породы (неоднородная, трещиноватая или же однородная, изотропная).

Это очень хорошо видно на рис. 11.3, где приведены экспери­ ментальные данные замеров непосредственно на забое скважины изменения во времени скорости вращения долота «//(£) (нижний график), осевой нагрузки на долото P(t) (средний график) и за­ бойного момента MH(t) (верхний график) [9].

А теперь рассмотрим следующий пример. На рис. 11.4 изо­ бражено тело массой т, которое может передвигаться на катках в горизонтальном направлении. Тело посредством пружины с ко­ эффициентом упругости k соединено с неподвижной преградой. К телу приложена сила ()(£), закон изменения которой во време­ ни показан в верхней части рисунка. Найдём закон движения тела при воздействии на него силы Q(t).

Свяжем с центром масс тела координатную ось Ох. При дви­ жении тела кроме силы Q(t) на него со стороны пружины дейст­ вует сила kx, где х - смещение тела от начального положения. Тогда уравнение его движения запишется как

тх = -kx + Q(t),

107

Следовательно, с учётом (11.13) и принятых обозначений (11.11) решением исходного уравнения (11.9) будет

Очевидно, что резонанс наступает при обращении в нуль зна­ менателя какого-либо члена суммы выражения (11.15), то есть когда выполняется равенство

Итак, мы видим, что под действием периодической возму­ щающей силы в рассмотренной механической системе возникает весьма сложное периодическое движение, состоящее из суммы гармонических колебаний, определяемых приложенной к системе силой. При этом амплитуда каждого члена суммы зависит от пе­ риода силы Г, а резонансные условия возникают при ряде после­ довательных значений периода Т, определяемых соотношением (11.16).

Поэтому даже в простейшем случае механической системы с сосредоточенными параметрами шансы войти в состояние резо­ нанса довольно велики.

А теперь обратимся к рис. 11.2, на котором изображён харак­ тер изменения осевой нагрузки на долото в режиме крутильных автоколебаний. В данном случае осевая нагрузка так же, как и в рассмотренном сейчас примере, разлагается в ряд Фурье, и лю­ бая гармоника этого ряда может вызвать состояние продольного резонанса БК. Но, в отличие от систем с сосредоточенными па­ раметрами, БК является механической системой с распределён­ ными параметрами, которая, как было показано в предыдущей лекции, обладает бесконечным числом собственных частот, при совпадении с любой из которых любая гармоника разложения осевой нагрузки в ряд Фурье может вызвать продольный резо­ нанс колонны - её продольные автоколебания. И шансы воз­ никновения этого явления, как показывают и промысловые ис-

110