книги / Методы оптимального проектирования
..pdf
независимыми (выполнение этого условия достигается исключением линейно-зависимых векторов). Тогда они образуют базис некоторого векторного пространства Ми- Вектор sk определяется как проекция антиградиента на пространство, ортогональное к Ми- Чтобы вычислить эту проекцию, рассмотрим матрицу Qh, отображающую
пространство Еп на подпространство Ми'-
|
а и2 |
|
• Q>i\n |
• |
Т |
|
e i,l |
|
атн |
|
|||
a i>2 |
|
. а : |
|
|
||
а Ы |
|
12 |
|
а и |
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
a lt2 |
|
• а 11л |
|
а |
(6-10) |
|
|
|
‘ г |
|||
0 . |
. — 1 |
0 . |
. 0 |
|
Т |
|
|
~ ehг |
|||||
0 . |
0 — 1 . |
. 0 |
|
|||
|
~ еЬ |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• |
|
• • |
« |
0 . |
0 |
0 . |
. — 1 |
|
Т |
|
|
ei |
|
||||
|
|
|
|
|
•р |
|
где ii, iÿ, ..., |
(Л) j ji, |
j2, • • *, |
(Й). |
|
Mu может |
|
Произвольный |
вектор |
m пространства |
||||
быть представлен в виде линейной комбинацйи векторов
базиса, т. е. с помощью линейной комбинации строк ма трицы Qu:
m =Q Thа, |
(6-11) |
|
причем aT= ( o i, аг, . .. . «/, |
аг+ь ..., |
а/+Р) — вектор коэф |
фициентов в разложении т |
по базисным векторам про |
|
странства Ми- Направление антиградиента может быть представлено в виде суммы двух векторов:
—VF (xh) = s h+m h, |
(6-12) |
где mk^Mk и sh ортогонален любому вектору простран ства Ми- В силу ортогональности sk базисным векторам из Ми имеем:
Qhsh= 0 . |
(6-13) |
Для определения sh из равенства (6-12) следует вы числить вектор mh. Умножая вектор (6-12) слева на Qu и используя свойство (6-13), получаем:
—QhVF(xh)=Qhmh.
Подставляя выражение для вектора tnh из |
(6-11), |
получаем: |
|
aft= - (QKQTK) -* QKVF (*'<), |
(6-14) |
ИЗ
подпространство Мк, полученное путем исключения из базиса вектора с коэффициентом аь отлична от нуля. Следовательно, движение в направлении sk позволяет уменьшить значение критерия оптимальности.
Если же все а< неотрицательны, то в точке хк подхо дящие направления отсутствуют и, следовательно, в ней достигается оптимум критерия F (х).
Модификация отдельных процедур метода при расче тах на ЭВМ ! Условие sh= 0, подлежащее проверке на каждой итерации, не может выполняться точно при рас четах с помощью ЭВМ из-за погрешностей вычислений. Поэтому ограничиваются приближенной проверкой это го равенства. Так, относительная устойчивость метода по отношению к погрешностям вычислений достигается при использовании в качестве контрольного параметра вели чины проекции градиента на направление sh. Величина проекции в точке хк вычисляется.по формуле
* (Л < )= |
‘ ■’у |
. |
(6-18) |
|
S* S* |
|
|
В точке xh вычисляется величина g($k, хк) для на |
|||
правления sk= —PhVF(xh). Если g(sh, |
произво |
||
дится выбор mina,. Пусть |
a. =m in ai, |
тогда матрица |
|
Qk получается исключением из матрицы Q* строки, со ответствующей ограничению to, и матрица Ркполучается из Qk с помощью формулы (6-16).
Для вектора sh——PkVF(xk) также производится вычисление величины g(sh, xh). Движение к экстремуму происходит по тому из двух направлений sh и sh, для которого проекция градиента принимает большее значе ние. Процесс вычислений заканчивается, если проекция градиента на каждое из направлений с щ < 0 не превос ходит е.
Применение проекционного градиентного метода при водит иногда к необоснованному увеличению числа ите раций. Чтобы этого избежать, используют обычно два приема, каждый из которых обладает своими достоинст вами и недостатками.
Первый прием состоит в том, что из матрицы Qk исключаются все ограничения, для которых коэффициен ты «| принимают отрицательное значение. Полученная в результате матрица проектирования Рк позволяет бо
лее быстро продвигаться к экстремуму. Недостаток та*
кого |
приема |
в том, что матрица <2л+ь |
вычисляемая |
в точке Xh+h никак не связана с матрицей |
Q;t. В резуль |
||
тате |
матрицу |
Qft+i приходится вычислять |
заново, что |
значительно усложняет процесс вычислений. Этот недо статок становится особенно заметным при наличии боль шого числа ограничений.
Второй прием основан на предположении, что на чальная точка поиска выбирается по возможности, вну три области, а не на ее границе. В этом случае матрица Qh имеет вначале небольшую размерность, которая по степенно возрастает с ростом числа итераций. Однако выбор начальной точки внутри области сопряжен со' зна чительными трудностями. Обычно он осуществляется на основе предварительных пробных расчетов проектируе мых конструкций.
Модификации метода. С целью ускорения поиска оптимума в [35] предлагается при выходе на границу допустимой области проектировать направление
—VF(xh) на одно из существенных ограничений и про верять, является ли такая проекция допустимым направ лением. Если это условие не выполняется ни для одного из существенных направлений, то строится проекция антиградиента на пересечение всех существенных в данной точке ограничений.
Такой алгоритм, иногда приводит к преждевремен ному прекращению поиска, хотя оптимум еще не най ден. Это иллюстрируется в следующих примерах [20].
П р и зе р |
1. Пусть |
v ^ ( ^ * ) = ( l: |
1/8; |
—1); |
(•**)= |
= \(—У 2/2; |
— - /2 /2 ; |
0); xf> 0 , |
/ = |
1, 2, 3 и в |
точке |
xh имеет место xh2=0, Ri (хк)= 0 . Поскольку ограничение является существенным, то по алгоритму [35] предлагается двигаться по проекции антиградиента на гиперплоскость, касатёльную к Ri (х) в точке хк. Это направление s ft= ( + 7/16; —7/16, — 1), однако, не явля ется возможным, так как. противоречит условию (sh, е2)^ 0 . Между тем в этом случае существует подхо
дящее направление, например s ft= ( 0 , 0, — 1).
П р и м е р |
2. Пусть |
V/7(x,l) = ( l ; |
0; |
1; |
1); Rs(хк)=0, |
|
i = l , 2, 3; |
V iM *ft) = ( - 4 / 5 ; 3/5; 0; |
0); |
VR2(x *)= (- 4 /5 ; |
|||
- 3 /5 ; 0; |
0); |
VR3(x^) = |
(-5/6;. - 1 /2 ; |
1/6; |
1/6). |
|
Все ограничения являются существенными, и ни одна из проекций на касательные гиперплоскости ограниче ний нё является возможным направлением. В то же вре-
116
