книги / Методы оптимального проектирования
..pdfостальных k—1 шагов. Связь между шагами в методединамического программирования задается с помощью формулы
ЛА(т))= т т [с РА( у + ЛА. 1(7’ (^ ) т]))]. |
(2-13) |
k |
|
В. частности, динамическое программирование может применяться в тех случаях, когда критерий оптималь ности удовлетворяет свойству сепарабельности, т. е. представляет собой сумму функций одной переменной:
р С*) = 2 ¥/(*/>• |
(2-14)< |
/= 1 |
|
Это возможно, если tpj(Xj) — критерий оптимальности элемента проектируемого 'изделия, зависящий от един ственного параметра Xj.
В простейшем случае ограничение в этой задаче име
ет вид линейного неравенства |
|
|
2 |
aix ,<b . |
(2-15), |
/=i |
|
|
Эту задачу можно представить в виде |
|
|
Afe(i))= m in [%(•**) + Л* (т) — akxk)]t k = 2 , 3, |
п, |
|
xk |
|
( 2- 16); |
|
|
|
поскольку функция |
СОСТОЯНИЯ Л*(т]) записывается |
|
с помощью выражения |
k |
|
|
|
|
Л *(Т])= |
min 2 ?/(*/)» |
|
*■ .....xk]Zi |
|
|
где' минимум берется по неотрицательным дискретным: значениям, удовлетворяющим условию
k
2 |. /=i
Функция AI (T]) определяется непосредственно; остальные A *(ÏJ) — с помощью рекуррентных соотно шений.
мул. Для решения задачи проектируемые параметры разбиваются на две группы. К первой относятся пара метры, позволяющие произвести расчет электромагнит ных характеристик конструкции, ко второй — параметры ik и di, лежащие в основе тепловых и гидравлических расчетов. Выделение указанных групп параметров при водит к двум задачам оптимального проектирования для меньшего числа параметров:
1) минимизировать критерий оптимальности при по стоянных tft, dr,
'2) минимизировать критерий оптимальности путем изменения Ut и d^ при постоянных остальных парамет рах в формуле (2-17).
Каждая из задач оптимизации решается с помощью ранее изложенных методов оптимизации, а рекурсивное представление критерия оптимизации в виде (2-13) по зволяет реализовать двухшаговый процесс поиска гло бального минимума на основе динамического програм мирования.
2-4. АДАПТАЦИЯ ПРИ ПОИСКЕ ГЛОБАЛЬНОГО ОПТИМУМА
В основе независимого стохастического поиска лежит предположение о равновероятном нахождении экстрему ма в любой точке допустимой области. Это предположе ние справедливо лишь для нескольких начальных точек, т. е. тогда, когда отсутствует информация о характере изменения критерия оптимальности. В результате на копления информации о ходе поиска (одного или не скольких) локальных экстремумов удаётся выделить окрестности, в которых случайные начальные точки с большей вероятностью приводят к одному и тому же локальному экстремуму. Поскольку поиск носит вероят ностный характер, можно говорить о наименее и наибо лее вероятных районах расположения новых локальных экстремумов. Процесс адаптации заключается в измене нии вероятностей генерирования начальных точек по ин формации, накопленной в процессе поиска.
Формирование вероятностной меры в допустимой об ласти. По результатам поиска локального экстремума формируются вероятностные оценки расположения на чальных точек поиска, приводящих к другим локальным экстремумам.
точных точек в процессе поиска локального экстремума, •особенно с помощью стохастических методов, оказыва ют влияние различные неконтролируемые воздействия (неизвестная геометрия критерия оптимальности, по грешности вычислений и т. д.), распределение этих то чек можно до известной степени считать нормальным.
Нормальное распределение л-мерной случайной ве
личины— вектора параметров х=(хи Хг, |
хп) |
харак |
|||
теризуется |
вектором математического ожидания х— |
||||
= (х\> Х2, .... хп) |
и матрицей ковариаций |
С размерно- |
|||
сти п. |
В |
этом |
случае согласно [54]г 7г’-мерные |
эллип- |
|
-сопды |
' |
|
|
|
|
|
|
|
(х—х)тС~1(х—х )= г2 |
|
(2-20) |
представляют собой поверхности постоянной плотности случайной величины х.
Центром этих эллипсоидов служит х, а направле ния главных полуосей определяются собственными век торами матрицы С-1. При этом наибольшему собствен
ному значению соответствует максимальная суммарная проекция векторов х'1—х, где xh(k=\, 2, N) — после
довательные итерации, полученные в процессе поиска. Второе по величин^ собственное значение соответствует максимальной сумме проекций в (п—1)-мерном про странстве (т. е. в ортогональном дополнении к уже вы бранному подпространству) и т. д.
В качестве оценки математического ожидания может
.быть выбрано среднеарифметическое значение парамет ров, полученных в процессе поиска
( 2-21)
где N — число пробных точек.
В отдельных случаях оценкой математического ожи дания служит один из найденных локальных оптимумов х = х л?к (в этом случае начальные итерации, находящие ся далеко от экстремума, следует исключить из рассмот рения) .
Для оценки матрицы ковариаций вводится матрица
X отклонений пробных точек от среднего значения: |
|
|
Ж= (лл — X, Х г — X, |
xN- X). |
(2-22) |
55
Оценкой матрицы ковариаций служит выражение
С * = 7 Г = П |
(2-23) |
В соответствии с этим матричным представлением каждый коэффициент ковариации оценивается по фор муле
с „ = Т = T S (•*"' -*'<><■ |
**/ - |
р |
'>- |
(2’24) |
||
|
fc=l |
|
|
|
|
|
Величина c,-j (t = |
l, 2, . |
. п\ / = |
1, 2....... п) характери |
|||
зует степень связи |
между |
параметрами |
в |
процессе по |
||
иска локального экстремума.
Для определения вероятности события, состоящего в том, что из данной точки алгоритм приводит к уже известному локальному экстремуму, следует оценить, на границе какого эллипсоида вида (2-20) находится исследуемая'точка. Поэтому, определив с помощью фор мул (2-22) и (2-24) уравнение эллипсоида, следует оце нить функцию распределения величины г, которую бу дем называть радиусом эллипсоида. Чтобы получить это распределение, величина г2 представляется как сумма независимых случайных величин.
Эллипсоид (2-20) ортогональным преобразованием приводится к главным осям. Это означает, что в про странстве Проектируемых параметров производится ли нейное (ортогональное) преобразование, в результате
которого оси новой |
системы |
координат направлены |
|
вдоль главных осей эллипсоида |
(2-20). В новой системе |
||
координат уравнение эллипсоида имеет вид: |
|
||
«*i + х.*2 |
и*2 + . . |
1 и* -- |
(2-25) |
|
|
“ |
|
где Xi, À2, .... Лп — собственное |
значение матрицы |
С. |
|
С помощью линейного ортогонального преобразова |
|||
ния каждой точке хР =(хри ..., |
хрп) ставится в соответ |
||
ствие точка в новой системе координат ир= ( и ри ир2,
..., ирп) . Координаты вектора ир, полученного в резуль тате преобразования, являются независимыми, нормаль но распределенными случайными величинами с нулевым
математическим |
ожиданием |
и дисперсиями Л2ь Л22, |
..., Л2„. Отсюда |
следует, что |
величина г2 является сум- |
56
экстремуму. Чтобы определить, найдены ли все содер. жащиеся в области локальные экстремумы, производит, ся выборочный контроль начальных, точек поиска.
Поскольку любой план выборочного контроля не обеспечивает проверку всех точек области, всегда имеет, ся риск закончить вычисления раньше, чем искомая ве роятность достигнет 1—а, или продолжить поиск не смотря на то, что вероятность найти новый экстремум меньше сг. В связи с этим формирование плана выбороч ного контроля начальных точек предполагает задание величин ро, Pi, а, р. Величины р0, р\ определяются из
условия ро<11—о^ри При этом прекращение вычислений рассматривается
как ошибка, имеющая практические последствия тогда и только тогда, когда 1—о^р\. В свою очередь, продол жение вычислений рассматривается как ошибка с прак тическими последствиями в том и только том случае, когда 1—о^ро- Условие риска формулируется следую щим образом: вероятность продолжать вычисления (генерирование новых начальных точек и поиск локаль ных экстремумов) не должна превышать некоторой на перед заданной малой величины а, когда 1—а^ро, и наперед заданной малой величины р, когда 1—в^р\ [8].
При условии, что проверка производится до первого неудачно'го испытания, общее число случайным образом выбранных начальных точек вычисляется по формуле
лг —- |
In (1 — g) — In р |
(2.27) |
|
^ l n ( l |
— Pt) — In (1 — Pi) |
||
|
|||
Испытание считается удачным, если выполнено не |
|||
равенство |
|
|
|
1—Рд(*о)<ст. |
(2-28) |
||
Если же для некоторой точки я0 оно не выполняется, производится поиск локального экстремума с точкой х° в качестве начальной итерации. При этом возможны два исхода:
а) |
поиск приводит к уже известному х^лок, 7=1, |
2, .... |
q\ |
б) |
поиск приводит к новому локальному экстремуму |
^г/4-1лок<
Первый случай приравнивается к выполнению нера венства (2,-28). Во втором — производятся вычисление
58
Вычисление допустимого числа
неудачных попыток N (но парамехрам ос, fi)______________________
Сброс счетчика неудачных попыток: СНП=0. Задание распределения pq(x)
Выбор среди локальных оптицуыов вектора с наиме ньшим значением F(x)
Выход; глобальный оптимум найден
Рис. 2-4. Адаптация при поиске глобального экстремума.
60