книги / Методы оптимального проектирования

при наличии линейных ограничений

Геометрическое представление задачи приводится на рис. 7-3. Для решения задачи методом барьерных функ­ ций воспользуемся критерием оптимальности (7-12). Ре­ зультаты поиска оптимума с помощью метода перемен­ ной метрики представлены в табл. 7-2.

Оптимальное значение х * = (0,764; 1,05) достигается после решения пяти задач безусловной оптимизации при различных значениях параметра г.

Указанный метод гарантирует, что каждая следую­ щая итерация не выйдет за пределы допустимой области. При уменьшении г уменьшается влияние штрафного члена и возрастает влияние исходного критерия опти­ мальности. Поэтому последовательность функций U(x, ги) дает сколь угодно точное (для достаточно большого номера k) приближение к локальному экстремуму. Если

ких первых значений параметра г. Наибольшие'сложности при решении задачи возни­

кают в тех случаях, когда оптимум расположен на гра­ нице допустимой области. Поскольку при приближении к границе значения обобщенного критерия оптимально­ сти, по существу, определяются барьерной функцией, экстремум не всегда может быть вычислен с заданной степенью точности. Чтобы избежать этот недостаток, производится так называемая регуляризация допусти-

мой области. Она основана на ослаблении ограничений на начальных этапах поиска. Иными словами, ограни­ чения вида (7-1) заменяются неравенствами:

Д((х)<:Г, i= l, 2, т , (7-13)

где г — некоторое положительное число.

Построенный для этих ограничений обобщенный кри­

С его помощью удается избежать трудностей поиска вблизи границы, однако некоторые ограничения при этом могут быть нарушены.

Решение задач безусловной оптимизации для сходя­ щейся к нулю последовательности {гл}, k = l, 2 ... при­ водит к постепенному уменьшению этих нарушений. Пос­ ле достаточного числа итераций (которое определяется в процессе решения задачи) значение погрешности, с ко­ торой выполняются ограничения, оказывается в преде­ лах требуемой точности.

Основная трудность применения метода барьерных функций обусловлена тем, что начальная точка х° долж­ на находиться внутри допустимой области. Поиск этой точки иногда представляет собой задачу, по сложности сравнимую с задачей определения экстремума. В сле­ дующем параграфе рассматривается один из подходов

кее решению.

Втех случаях, когда критерий оптимальности или функции ограничений определены не для всех, а лишь для некоторых значений переменных, барьерные функ­ ции представляют собой единственный способ исклю­ чения ограничений.

При практических расчетах иногда используется ком­ бинированный подход, учитывающий особенности барьер­ ных и штрафных функций. Обобщенный критерий опти­ мальности включает в себя слагаемые в виде барьерных функций для ограничений типа неравенств, штрафных функций — для равенств. Например, обобщенный крите­ рий оптимальности может иметь вид логарифмически квадратичной функции

где первая сумма получена методом барьерных, а вто­ рая— методом штрафных функций. Функция W{x, г) удобна также тем, что последовательность задач без­ условной оптимизации зависит от одного параметра, ко­ торый удовлетворяет требованиям, предъявляемым к по­ следовательности значений штрафных коэффициентов Ы и {h}.

Построенные в результате применения методов штраф­ ных функций обобщенные критерии оптимальности объединяют исходный критерий оптимальности и огра­ ничения модели. Поэтому сложность вычисления каждо­ го значения обобщенного критерия оптимальности суще­ ственно возрастает. Это приводит к необходимости эф­ фективного использования каждого вычисленного значения критерия оптимальности для приближения к оптимуму.

7-2. ОСОБЕННОСТИ ПОИСКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

Полученная в результате преобразования с помощью методов штрафных функций последовательность задач безусловной оптимизации обладает рядом свойств, ко­ торые позволяют ускорить решение .общей задачи. Рас­ смотрим лишь некоторые особенности методов штраф­ ных функций, позволяющие осуществить:

вхождение в допустимую область, когда обобщенный критерий оптимальности формируется с помощью барьерных функций;

экстраполяцию последовательности безусловных оптимумов хк

выбор последовательности штрафных h и барьерных Гк коэффициентов.

Использование специальных приемов, разработанных для осуществления перечисленных этапов, позволяет по­ высить скорость сходимости методов и сократить время счета на ЭВМ.

Вхождение в допустимую область. При достаточно сложной геометрии области допустимых значений пара­ метров даже отыскание допустимого решения (т. е. на­ бора значений параметров, удовлеворяющего всем огра­ ничениям) представляет значительные трудности. Чтобы отыскать допустимое решение, необходим алгоритм, по­ зволяющий из произвольной точки n-мерного простран­ ства попасть в допустимую область.

Кй, КотСфай слуйсйт начальным приближением для поис­ ка. Метод гарантирует вхождение в допустимую область, если в ней есть хотя бы одна внутренняя точка.

Недостатком вспомогательногокритерия Us{x, г) является игнорирование влияния критерия оптималь­ ности исходной задачи оптимального проектирования при поиске допустимого решения вхождения в допусти­ мую область. Функцию F(x) можно включать в обоб^- щенный критерий оптимальности (7-19), однако в слу­ чае большого числа ограничений такой подход не может привести к «блужданию» вокруг допустимой области, что приводит к возрастанию общего времени счета.

Процедура вхождения в допустимую область не пре­ дусматривает проверки факта существования хотя бы одного допустимого решения. Однако на практике зара­ нее предполагается существование хотя бы одного изде­ лия с параметрами, находящимися в заданных пре­ делах.

Экстраполяция по штрафным коэффициентам. В про* цессе решения последовательности задач безусловной оптимизации для обобщенных критериев оптимальности иногда удается по нескольким начальным задачам для параметров п, г2, .... гт довольно точно определить рас­ положение оптимума для обобщенного критерия, завися­ щего от гр+1. Эта идея положена в основу некоторого приема, позволяющего ускорить поиск оптимального ре­ шения с помощью методов штрафных функций.

чем на каждом г{ точка минимума единственна. Экстра­ поляция минимальных значений может преследовать две цели: построить предполагаемое значение минимума для критерия W(x\, rm+i) или предсказать расположение предела последовательности х1, х2, . . хт .

Наиболее естественный способ достижения этих це­ лей— построение прогнозирующего многочлена, завися­ щего от скалярной переменной г. Для каждой коорди­

степень которого определяется номером итерации и точ­ ностью прогноза. При этом возможны два способа ПО­

лем q < \ . Она может быть получена путем подстановки

Наименее разработанной проблемой, возникающей при решении задачи оптимального проектирования с по­ мощью штрафных функций, является выбор последова­ тельностей {rft} и {th}. В (7-15) для обобщенного крите­ рия оптимальности задача оптимизации решается путем выбора некоторой последовательности {rfi}, к = \, 2 ..., сходящейся к нулю. В некоторых случаях последователь­ ность можно задать в форме геометрической прогрессии (7-22). При этом проблема определения последователь­ ности {/•/,}, k = \, 2 . . . сводится к выбору знаменателя прогрессии.

Пусти по некоторому признаку выделен класс задач оптимального проектирования, например задачи проек­ тирования асинхронных двигателей. Для этого конкрет­ ного класса можно сформулировать задачу выбора опти­ мального, в некотором смысле, алгоритма с обобщен­ ным критерием W(х, г) [см. (7-15)]. Для заданной точности поиска в и знаменателя геометрической про­ грессии q решение задачи оптимального проектирования достигается за N итераций. Поэтому каждой ларе вели­ чин в и q можно поставить в соответствие целое число

е и q.

Задавая требуемую точность поиска ео, можно опре­ делить значение q, при котором достигается минимум

функции N (е0, q).

Отличие этой задачи от задач, решаемых методами однопараметрической оптимизации, состоит в следую­ щем. Критерий оптимальности F(x), зависящий от ска­ лярной переменной х, является детерминированной функцией, и поэтому каждому значению аргумента х со­ ответствует единственное значение функции. В свою оче­ редь N(Bо, q) является случайной функцией от аргумен­ та q, т. е. при каждом q возможен целый набор значе­

ний N. Оптимизация таких функций осуществляется методами стохастической аппроксимации и составляет самостоятельный предмет исследования [33].

7-3. МОДИФИКАЦИЯ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИИ ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ о б л а с т и п о и с к а

Методы штрафных функций дают хорошие результа­ ты, если переменные задачи — конструктивные параме­ тры— являются непрерывными. При наличии параме­ тров, изменяющихся дискретно, значительно усложни-, ются алгоритмы поиска. Поэтому поиск экстремума в дискретной области производится обычно путем пред­ варительного решения задачи в предположении непре­ рывности параметров. Полученное решение округляется и интерпретируется на основе «здравого смысла». При этом фактически производится округление до ближай­ шего дискретного значения.

В целом ряде задач такой подход может привести к результатам, весьма далеким от оптимума. Существу­ ют также задачи, которые просто не удается математи­ чески сформулировать без предположения дискретности (или даже целочисленности) некоторых переменных, поскольку с ошибкой округления может быть потерян не только эффект оптимизации, но и нарушены условия допустимости решения.

Формирование штрафной функции. При дискретных конструктивных параметрах вектор х в задаче оптималь­ ного проектирования с дискретными параметрами может быть представлен в виде

* = ( * ? ) .

где Rc— пространство изменения непрерывных параме­ тров, a Rd— пространство изменения дискретных пара­ метров.

Обобщенный критерий оптимальности имеет вид:

где 1(х) является барьерной функцией, например (7-9), а, выражение J(xd) является штрафной функцией, соот­ ветствующей условию дискретности. Она должна обла­ дать следующим свойством:

Таким образом, задача формирования штрафной функции V(x, г, р) сводится к построению такого выра­ жения для I(xd), которое удовлетворяет равенству (7-25). Очевидно, что функция J{xd) многоэкстремаль­ на, если имеется несколько возможных дискретных зна­ чений вектора xd. Отсюда следует, что штрафная функ­ ция V(д:, г, р) также многоэкстремальна и ее оптимиза­ ция заключается в поиске глобального экстремума.

Определим:

и Zji^Xj, Zju^Xj являются двумя соседними дискретны­ ми точками. Максимальное значение каждого слагаемо­ го в (7-26) равно единице, и функция I(xd, р) непре­ рывна в точах дискретности для всех р^1 вместе со своими первыми производными.

Преобразованный по формуле (7-23) критерий зада­ чи оптимального проектирования с частично дискретны­ ми переменными минимизируется для последовательно­ сти коэффициентов P;t, rh и р/£ так, чтобы полученная последовательность безусловных экстремумов сходилась к решению исходной задачи. На практике такая после­ довательность содержит от 5 до 10 элементов.

Применение метода штрафных функций для поиска экстремума в дискретной области связано с решением проблемы формирования процедуры обхода локальных экстремумов, которые не являются глобальными.

Процедураобхода локальных экстремумов. В про­ цессе поиска оптимального решения задачи с дискрет­ ными переменными возникают локальные оптимумы

.двух типов. Одни соответствуют некоторому допустимо­ му, но не оптимальному решению, другие — недопусти­ мым значениям параметров (рис. 7-4). Такая ситуация возникает обычно, когда одна из допустимых дискрет­ ных точек расположена близко к ограничивающей по­

В общем случае, если обобщенный критерий опти­ мальности на k-й итерации имеет вид:

V(x, rk, рк)=чР(дг)+г*/(дс)+рк/к(х),

процедура выхода из локального оптимума состоит из двух циклов. В первом цикле значения г*. увеличивают­ ся, а значения рд уменьшаются. Это позволяет осущест­ вить выход из окрестности точки локального оптимума. В следующем цикле уменьшается значение /д и увеличи-

Рис. 7-4. Процедура обхода локальных экстремумов при примене­ нии метода штрафных функций для поиска глобального экстремума в дискретной области.

Локальный экстремум в допустимой (о) и недопустимой (б) обла­ стях значений параметров.

вается рд, чтобы достигнуть хорошей точности резуль­ тата.

Пусть локальный оптимум достигнут при значениях параметров рд и гд. Тогда:

1.В первом цикле первого шага процедуры обхода локального экстремума (R1.1) следует положить гщ.1 =

=7 /1 - 2 И p R i.ic« 2 p / i_ 1.

2.Во втором цикле первого шага процедуры обхода (R1.2) следует положить гщ.2= гь - 1 и pRi.2^2pf,..

Если это не приводит к новой точке оптимума, пер­

вый и второй шаг повторяются для следующих этапов процедуры обхода локальных экстремумов. В частности, на втором шаге имеем:

7B2.1=7fc-3i р и г л ^ я р д . И rR 2.2= r j t_ 2, рН 2.2=2рд+1.

После достаточного числа таких процедур удается найти точку дискретной допустимой области с лучшим значением обобщенного критерия оптимальности.

Указанная процедура обхода дает хорошие результа­ ты на тестовых примерах и в практических расчетах. При неблагоприятной геометрии допустимой области