книги / Методы оптимального проектирования
..pdfдиться как на поверхности сферического многогранника, образованного поверхностями ограничений, так и внутри его. Функция F может достигать экстремального значе ния не в определенной точке, а на некотором множестве точек (гиперлинии или гиперповерхности).
Другая особенность задачи нелинейного программи рования (часто встречающаяся в практических задачах) состоит в том, что в области допустимых значений хи Xi, .... хп оптимизируемая функция может иметь не один, а несколько локальных экстремумов. Решение задачи нелинейного программирования состоит в опре делении глобального экстремума, т. е. наименьшего (или
'наибольшего) |
значения F(xu Xi, |
... хп) во всей области |
||
допустимых значений переменных. |
.., хп) эквива |
|||
Поиск максимума функции Ф(л'1, хг, |
||||
лентен минимизации |
функции |
F(xu х2, ..., хп) = |
||
= — ф(*1, х2, |
.., х„). |
Поэтому |
для |
определенности |
в дальнейшем будем говорить о поиске минимального значения критерия оптимальности, предполагая, что в противном случае произведено указанное преобразо вание.
Формализация понятий допустимой области и опти мальных значений конструктивных параметров. Каждая точка х пространства Еп' (в данном случае «-мерного пространства конструктивных параметров), в которой выполняются условия (1-2) и (1-3), называется допу стимой точкой (или допустимым решением). Множество всех допустимых точек (решений) называется допусти мой областью G. Допустимая область может быть не прерывной или дискретной. Она может быть односвяз ной, как это показано на рис. 1-1, или многосвязной, т. е. распадаться на отдельные изолированные подоб ласти.
Точка х* называется локальным минимумом (локаль
ным оптимумом), если неравенство |
|
F (x *)^ F (x ) |
(1-4) |
справедливо для всех точек из области G, которые на ходятся в некоторой окрестности точки х*1.
1 Окрестностью V точки |
является множество таких точек |
у ^ Е я, для которых норма разности |
|х—у\ не превышает некоторое |
положительное число, т. е. |
|
I*—у\^г, г>0.
Внутри области допустимых значений переменных, включая его границу, может находиться несколько ло кальных оптимумов функции F.
Если точка х* такова, что условие (1-4) оказывается
справедливым |
для всех точек из области1 G, то точка |
|
х* называется |
глобальным |
экстремумом (оптимумом) |
в области G. |
|
оптимальности. Важнейшим |
Формирование критерия |
||
моментом в оптимальном проектировании является опре деление и обоснование критерия оптимальности.
Выбор критерия оптимальности значительно облег чается, если характер и назначение проектируемого изделия таковы, что среди его характеристик (показате лей) имеется характеристика (показатель), которая со всей очевидностью определяет качество изделия. Такое положение часто имеет место при проектировании агре гатов бортового оборудования, для которых в зависи мости от условий применения очевидными критериями оптимальности могут служить, например, значение мас сы, потребляемая мощность, КПД.
Во многих практических проектных задачах вопрос оказывается значительно сложнее: качество изделия оценивается значениями целого ряда экономических и технических характеристик. В этом случае оптимальное проектирование должно обеспечивать улучшение показа телей не по одной, а сразу по нескольким характеристи кам., Такого рода задачи называют многокритериальной оптимизацией [34].
Примитивным подходом является выбор одной из функций, описывающих модель изделия, в качестве кри терия оптимальности и рассмотрение всех других как ограничений. Более общий подход — разбиение указан ного множества функций на критерии и ограничения.
Пусть ф1 (х), ф2 (х), .., фр (х) — выделенный в ре зультате такого разбиения набор технико-экономических характеристик, которые должны быть улучшены в ре зультате оптимального проектирования. Выбор комп лексного критерия оптимальности состоит в формирова нии такой функции . F = F ^ i ( x ) , ф2(х), фР(х)), макси мальное (минимальное) значение которой соответствует наиболее эффективному проектному решению.
В общем случае формирование комплексного крите рия оптимальности является весьма сложной задачей,
1 Принадлежность точки х* области G обозначается х *е С .
требующей всестороннего анализа требований к проек тируемому объекту.
Одним из наиболее распространенных способов фор мирования такого критерия является аддитивный учет критериев ф,-, t = l , 2, ..., р, при котором F(x) представ ляется с помощью линейной комбинации:
i=1
где весовые коэффициенты с\ определяются «а основе экспертных-оценок. Такой метод удобен, когда крите рии ф* измерены в одинаковых единицах или для их оценки используются относительные величины.
Примером подобного критерия может служить кри терий оптимальности приведенных затрат при оптималь ном проектировании асинхронных двигателей [12]. Этот критерий включает затраты на изготовление двигателя, а также на его эксплуатацию (затраты на электроэнер гию) в течение определенного периода.
Следующий подход к решению многокритериальной задачи оптимизации состоит в упорядочении критериев по степени из важности и введении допусков Д* по каж дому из критериев. Оптимизацию производят сначала по наиболее важному критерию, cpj. Пусть минимальное значение этого критерия равно ф*ь Затем в модель вво дится ограничение
<Pi- |
(*X<P*i+Ai |
(1-5) |
и осуществляется поиск |
оптимума |
по второму крите |
рию фгрс).
Если ф* 2 — минимум по второму критерию, то в мо дель добавляется ограничение'
Ф 2 (.*) г£^ф*2 + Д 2
и осуществляется поиск оптимума по критерию ф3(.т) и т. д.
Использование вектора допусков Д = (Д ь Дг, . . Др) позволяет также ввести такой комплексный критерии, чтобы производился поиск варианта изделия, характе ристики которого наименее всего отклонялись бы от значений ф*ь ф* 2 ........ ф*р (взятых с соответствующими
допусками). В частности, этому условию удовлетворяет критерий
F (x )= m i a шах(<рг (л:) — <р*г — Д(). |
(1-6) |
В результате проблема формирования критерия опти мальности сводится к выбору вектора допусков. Выбор численных значений допусков может существенно по влиять на характеристики проектируемого изделия. Не обоснованное ужесточение допуска по одному критерию может существенно ухудшить качество изделия и не по зволит добиться улучшений по другим критериям.
Поскольку конструктор нередко формирует свое представление о критерии оптимальности и оптималь ном варианте изделия в процессе проектирования, целе сообразно корректировать определение комплексного критерия оптимальности по результата^ серии оптими зационных расчетов. В качестве исходной информации для формирования критерия могут использоваться зна чения исходных критериев <pi (л;), <р2(л:), ..., <pp (jc), соот ветствующие допустимым значениям проектируемых параметров. Такой подход носит название адаптивного способа формирования критерия.
Поиск оптимума при адаптивном формировании кри терия оптимальности разбивается на две стадии: по строение комплексного критерия на основе вычисли тельных экспериментов и поиск оптимума по выбран ному критерию. Указанные стадии могут многократно повторяться. При этом для построения комплексного критерия осуществляется вычисление гиперповерхности отклика с помощью методов планирования эксперимен та [4].
Адаптивные методы формирования критерия полу чают в настоящее время значительное распространение благодаря применению в проектировании диалоговых режимов взаимодействия с ЭВМ, позволяющих опера тивно пересчитывать оптимум, более полно использо вать опыт проектировщика, в наглядной форме пред ставлять результаты расчетов.
1-2. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
При создании новых видов изделий возникают за дачи оптимального проектирования в самой общей по становке, когда критерий оптимальности и ограничения
являются нелинейными функциями конструктивных параметров. В общем случае эти задачи являются многоэкстремальными и поэтому требующими определе ния глобального экстремума.
Если данная конкретная задача оптимального про ектирования является одноэкстремальной, на практике, как правило, этот факт заранее, до ее решения, не мо жет быть установлен из-за сложности функций крите рия оптимальности и ограничений. Поэтому даже к та ким задачам приходится подходить как к многоэкстре мальным.
Решение задачи оптимального проектирования до статочно сложно. В последние годы развитию методов решения этих задач (задач нелинейного программиро вания) уделялось большое внимание. Был предложен ряд методов, позволяющих получить (точное или при ближенное) решение для специальных классов задач. Однако, по-видимому, вообще невозможно создать ме тод, позволяющий получить точное решение общей за дачи нелинейного программирования за конечное число итераций (шагов). Теоретически сложно доказать схо димость для процедур, применяемых при практических расчетах.
В теоретических работах исследуются главным об разом частные случаи общей задачи, например мини мизация вогнутой функций при выпуклой области до пустимых значений переменных, задачи с линейными ограничениями, с квадратичным критерием оптимально сти и т. п.
Методы численного решения задач нелинейного про граммирования с помощью ЭВМ продолжают создавать ся. В то же время многие практически важные задачи оптимального проектирования уже удалось решить на
ЭВМ.
На рис. 1-2 представлена классификация методов решения задач оптимального проектирования-для детер минированных моделей проектируемых объектов, в ко торых все параметры изменяются непрерывно.
Каждый уровень классификационной таблицы, пред ставленной на рис. 1-2, соответствует либо некоторому этапу расчета, либо конкретному методу, применяемому на этом этапе. Пунктирными вертикальными линиями разделены этапы поиска, • входящие в качестве состав ных элементов в процедуру поиска более высокого уров-
1Е
ня. Так, поиск глобального оптимума включает в себя один из способов генерации начальных точек, а также поиск локальных оптимумов. Поиск локального оптиму ма состоит из следующих этапов:
выбор формы представления математической модели; определение направления движения к оптимуму; определение длины шага поиска.
Рис. 1-2. Классификация методов поиска оптимума при оптимальном проектировании.
Сплошной вертикальной линией на рис. 1-2 разделе* ны альтернативные варианты. Например, формирование обобщенного критерия оптимальности осуществляется одним из методов: штрафных или барьерных функций.
Поскольку решение общей задачи оптимального про ектирования' происходит обычно в условиях отсутствия информации о числе локальных оптимумов, поиск всегда направлен на выявление глобального оптимума.
В основе всех алгоритмов поиска глобального опти-
I 6
мума лежит получение и использование информации о расположении локальных экстремумов. Алгоритмы по иска глобального оптимума различаются по способу ге нерации начальных точек. Простейшими являются так называемые последовательности независимых испыта ний. Каждое испытание состоит в вычислении в неко торой допустимой точке значения критерия оптимально сти и сравнении его со значениями, полученными в пре дыдущих точках поиска. Последовательности испытаний могут быть детерминированными (например, обход узлов я-мерной сетки в пространстве конструктивных параметров) или стохастическими. Для обоих случаев можно указать правила прекращения поиска после до статочного числа испытаний.
Следующая группа методов поиска глобального экстремума основана на использовании априорной ин формации о характере критерия оптимальности. Обычно эти методы пригодны лишь для специальных классов задач, поскольку указанная информация может быть получена лишь на основе исследования специфики про ектируемого объекта. В дальнейшем рассмотрим два априорных условия: Липшица и сепарабельности крите рия оптимальности. При справедливости первого из них оказывается возможным перейти к перебору значений конструктивных параметров на неравномерной сетке (с учетом предыдущих значений критерия оптимально сти), а при справедливости второго — применить мето ды динамического программирования.
Наиболее общим и в то же время достаточно эффек тивным подходом к поиску глобального оптимума яв ляется использование последовательных испытаний с адаптацией. Адаптация в данном случае состоит в по степенном автоматическом совершенствовании процеду ры поиска (сокращении числа испытаний) по мере на копления информации, в частности процедуры выбора начальных точек, а также направлений поиска локаль ных экстремумов.
Следующий уровень классификации охватывает ме тоды поиска локального оптимума. Методы поиска ло кального оптимума включают: выбор способа представ ления математической модели для поиска, процедуру оценки направления, на экстремум и определение длины шага поиска.
В зависимости от механизма формирования пробных
точек способы оценки направления движения ,к опти муму разделяются на детерминированные и стохастиче ские. Стохастические методы содержат алгоритмы вы бора направлений на основе некоторой случайной функ ции с заданным распределением.
Схема отражает два существенно различных подхода
квыбору способа представления математической модели для поиска оптимума.
Первый из них, метод штрафных функций, объеди няет критерий оптимальности и ограничения в один обобщенный критерий оптимальности. При приближении
кгранице допустимой области (или при выходе из нее) обобщенный критерий оптимальности начинает резко
возрастать за счет штрафных коэффициентов, и поиск автоматически возвращается в допустимую область. На иболее часто используемыми на практике методами формирования обобщенного критерия оптимальности яв ляются метод штрафных функций и метод барьеров.
Второй подход, объединяющий методы возможных направлений, основан на разделении этапов определения направления убывания критерия оптимальности и кор рекции этого направления в соответствии с ограничи вающими условиями (на основе проекций градиента на допустимую область). В качестве направления движения к оптимуму наиболее часто используется антиградиент критерия оптимальности, а способы построения проекций различаются по признакам, которые положены в основу проекции. Так, построение направления с максимальной длиной проекции осуществляется методами квадратич ного программирования, проектирование на ограничива ющие гиперповерхности — проекционным градиентным методом и т. д. Методы возможных направлений наибо лее эффективны при линейных ограничениях. В случае нелинейных ограничений используются их различные модификации.
Трудности, возникающие при переходе к нелинейным ограничениям, обусловлены тем, что проектирование на криволинейную поверхность приводит к необходимости ее кусочно-линейной аппроксимации вдоль направления движения. В результате значительно снижается эффек тивность методов и возрастает погрешность вычислений. В то же время формирование обобщенного критерия оп тимальности дает наиболее эффективные результаты при нелинейных 'ограничениях.
Синтезом рассмотренных подходов является построе ние обобщенного критерия оптимальности только для нелинейных ограничений. При наличии в исходной за даче линейных ограничений используются методы воз можных направлений. В этом случае допустимая область представляет собой многогранник, а обобщенный крите рий оптимальности учитывает все оставшиеся ограниче ния.
Алгоритмы поиска локального оптимума х* являют ся, как правило, итеративными, т. е. порождают после довательность векторов {хк} —х\ х2........х'\ сходящуюся к вектору х*.
Говорят, что вектор х* является пределом сходя щейся последовательности {хЛ}, если для любого е > 0 найдется такой номер N, что при k > N выполняется неравенство \xh—х * |< е. Отсюда следует,1что допусти мая область G должна вместе с любой сходящейся последовательностью содержать и ее предел. Такая об ласть называется замкнутой. Примером замкнутой об ласти может служить множество всех точек, которые удовлетворяют ограничениям (1-2) и (1-3).
Множество всех точек пространства Еп, которые не содержатся в замкнутой области G (этот факт обозна чается En\G ), называется открытым. Каждая точка открытого множества М обладает окрестностью, пол ностью содержащейся в М. Точки, обладающие указан ным свойством, называются внутренними. Следователь но, в открытом множестве М все точки являются внут ренними. В отличие от открытых множеств в замкнутой области G (если она не совпадает со всем пространст вом Еп) имеются точки, в любой окрестности которых имеются точки из En\G . Такие точки области .G на зываются граничными. Множество всех граничных точек образует границу области G. В частности, если об ласть G определяется условиями (1-2) и (1-3), его гра ницу составляют те точки, в которых хотя .бы одно из ограничений выполняется как строгое равенство.
Эффективность методов поиска локального оптимума определяется их скоростью сходимости к х*. Говорят, что последовательность {xft} сходится к х* быстрее последовательности {ук}, если начиная с некоторого k > N выполняется неравенство
|х,(—х* | < |ук—х* |, k = N + 1, N + 2 . . . |
(1-7) |
Критериями оценки качества выбора направления по ряду обращений к модели обычно являются:
1)улучшение значения критерия оптимальности по сравнению с имеющимся в данной точке;
2)наиболее быстрое убывание (возрастание) крите рия оптимальности в окрестности данной точки;
3) наиболее вероятное расположение экстремума с учетом кривизны гиперповерхности, представляющей критерий оптимальности.
|
Рис. 1-3. Выбор направления* |
|
поиска. |
|
/— направление антпградиеита; // — |
|
направление, выбранное с учетом |
о |
кривизны критерия оптимальности |
(метод Ньютона). |
Использование указанных трех критериев показано на рис. 1-3. Выбор направления по критерию 1 является неоднозначным. Заштрихована область, внутри которой ■ все направления из точки xh позволяют улучшить зна чение критерия оптимальности. Однако в зависимости от выбора направления критерий оптимальности при фик сированном шаге убывает на различное значение. На ибольшее значение убывания достигается, при движении в сторону, противоположную градиенту (направление антиградиента), т. е. при выборе направления по кри
терию 2.
Градиентом называется вектор
( 1-8)
координатами которого служат частные производные критерия оптимальности по переменным Xi, Хг, ., хп.
Направление вектора-градиента соответствует на правлению наибольшей скорости возрастания критерия оптимальности.